精品解析：2026年黑龙江省绥化市中考数学试题

二〇二六年绥化市初中学业水平考试 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑 1. 下列有理数中，没有倒数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵乘以任何数都等于，不可能等于， ∴不存在倒数． 2. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 正六边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 若分式有意义，则满足的条件是（ ） A. 为任意实数 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得． 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、，所以A错误； 选项B、，所以B错误； 选项C、，所以C错误； 选项D、，计算正确． 5. 某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间（单位：小时），数据如下表所示： A组 6 7 8 8 8 9 10 B组 4 7 9 9 9 11 14 下列说法正确的是（ ） A. 两组数据的众数相等 B. A组数据的平均数大于B组数据的平均数 C. A组数据的方差小于B组数据的方差 D. A组数据的中位数大于B组数据的中位数 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算两组数据的众数、平均数、中位数、方差，再逐一判断选项即可． 【详解】解：整理得A组数据为，共7个；B组数据为，共7个， A、 A组的众数为8，B组的众数为9，两组众数不相等，∴A错误； B 、， ， ∵，∴A组平均数小于B组平均数，B错误； D 、两组均有7个数据，中位数为排序后第4个数据，A组中位数为，B组中位数为， ∵，∴A组中位数小于B组中位数，D错误； C、 ， ， ∵，∴A组数据的方差小于B组数据的方差，C正确． 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 正五边形的外角和是 B. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 C. 三角形两边的和大于第三边 D. 一组对角相等的四边形一定是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形外角和性质、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定，逐一判断各命题正误即可得到结果． 【详解】解：A、正五边形外角和为，故本选项的命题错误； B、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定是菱形，故本选项的命题错误； C、三角形两边的和大于第三边，故本选项的命题正确； D、平行四边形需要两组对角分别相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项的命题错误． 8. 如图，AD∥BC，∠C =30°， ∠ADB∶∠BDC= 1∶2，则∠DBC的度数是( ) A. 30° B. 36° C. 45° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC，进而得出∠ADB的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵AD∥BC，∠C=30°， ∴∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC， ∵∠ADB∶∠BDC=1∶2， ∴∠DBC=∠ADB=×150°=50°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键． 9. 《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】核心思路是抓住车的总数不变，用含的式子分别表示两种情况下的总车数，即可列出方程． 【详解】解：∵设共有人，车的总数固定不变， 第一种情况：3人共车，2辆车空，载人的车辆数为，因此总车数为， 第二种情况：2人共车，9人步行，坐车的总人数为，因此总车数为 ， ∴可列方程为． 10. 如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（ ）（其中，计算结果精确到） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 11. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是等腰直角三角形得到，，即可判断旋转后点在x轴上，轴，，，通过解直角三角形得到，，得到点的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴与x轴的夹角为， ∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴点在x轴上，轴，，， ∴， ， ∴， ∵以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到， ∴顶点在第一象限对应点的坐标是，即． 12. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内 13. 海水淡化，利国利民．2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨．把300万用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：300万， 科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，因此． 14. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提取公因式法和平方差公式，即可分解因式． 【详解】， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查提取公因式法和平方差公式，掌握平方差公式，是解题的关键． 15. 某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据三视图确定几何体的形状及小正方体的排列情况，利用几何体表面积等于主视图、左视图、俯视图面积之和的2倍进行计算． 【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，共3个小正方体． 故表面积为． 16. 如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点  多边形是正六边形  ， 是等边三角形   在中，由勾股定理得：  正六边形的面积为： ． 17. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得，所以，再通过三角形内角和定理可得，最后由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，反比例函数与边长为10的等边三角形相交于，两点，边与轴重合，，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，设，则，利用锐角三角函数分别表示出点C和点D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于a的方程，求出a的值，进而求出k的值 【详解】解：∵是等边三角形，边长为10， ∴，， ∴点B的坐标为． 设， ∵， ∴． 过点C作轴于点M，过点D作轴于点N， ∴在中，， ， ∴点C的坐标为． ∵在中，， ， ∴， ∴点D的坐标为， ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴． 20. 如图，在直角三角形中，，，，点，分别在边，上运动，连接，．则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，过点作，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质及垂线段最短可得此时有最小值，即的长度，然后通过解直角三角形求得的长度，从而利用面积法求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， 过点作，交于点，过点作于点， ，所以， 这时有最小值，即的长度， ，，， ， ， ，， ， 即， ， 的最小值是3． 21. 按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】解题思路为将数据对应其序号，通过对比已知数据归纳规律，再验证规律是否符合所有已知项，从而得到第个数的表达式． 【详解】解：设第个数对应序号为，为正整数， 将已知数据按序号整理： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此可得第个数的表达式为，即为． 22. 已知是腰长为4的等腰直角三角形，，是的中点，连接，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别是点，，连接．当时，则的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知：，根据勾股定理可以求得的值，然后再根据平行线的性质和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值；还有一种情况就是点F在点C的左侧时，同理可以求得的值． 【详解】解：作于点G，如图所示， ∵，，点D是的中点， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点F运动到点时，此时， 同理可得，，， ∴； 综上所述，的长为或． 三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内 23. 尺规作图：如图，在的内部有一点． （1）【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） （2）【拓展探究】如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 【答案】（1）解∶如图，即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、射线分别交于点C、点D，连接，作射线，以C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线、线段分别交于点E、点F，以P为圆心，为半径画弧，弧与射线相交于G，以G为圆心，为半径画弧，两弧相交于H，作直线，与射线，射线分别相交于点M、点N，则即为所求； （2）直接根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：画图略， 理由：由作图知：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：由作图知：， ∴劣弧的长度为． 24. 为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题： 类别 参与创新实践活动的时间（单位：小时） A B C D E （1）本次随机调查的学生共有_________人，补全条形统计图． （2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生人数． （3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）40； （2）120人 （3） 【解析】 【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出本次调查的学生人数．将本次调查的学生人数减去已知的A，B，D，E类的人数，求出C类的人数，即可补全条形统计图； （2）将该校八年级学生320人乘以本次调查中平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生比例即可解答； （3）通过画树状图或者列表，找出所有等可能的情况数，和满足要求的情况数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有（人）， C类的学生有（人）． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生有120人． 【小问3详解】 解：画树状图为： 由此可得，从中抽取两名同学共有6种等可能情况，其中所抽取的两名学生恰好是一男一女的情况有4种情况， ∴所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为． 25. 我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等． （1）求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元？ （2）快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？ （3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量（件）与甲机械手工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． ①乙机械手的工作速度为_________件/分钟，_________． ②直接写出所在直线的函数表达式：_________． ③当乙机械手工作_________分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同． 【答案】（1）A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元； （2）购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元； （3）①20；60；②；③ 【解析】 【分析】（1）设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为万元，根据题意列出分式方程，据此求解即可； （2）设购买A型机械手m台，则购买B型机械手台，所需费用为w万元，根据题意列出不等式组，求得，再列出w关于m的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可； （3）①根据函数图象求解即可；②利用待定系数法求解即可；③相同数量是件，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为万元， 由题意得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， B型机械手的单价：（万元）， 答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元； 【小问2详解】 解：设购买A型机械手m台，则购买B型机械手台，所需费用为w万元， 由题意得， 解得：， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大，且m取正整数， ∴当时，w的最小值为（万元）， 此时B型机械手：（台）， 答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元； 【小问3详解】 解：①乙机械手的工作速度为件/分钟， 甲机械手的工作速度为件/分钟， ∴； ②设所在直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； ③∵乙机械手的工作速度为件/分钟， 由图象知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同的数据是件， ∴， ∴当乙机械手工作分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同． 26. 如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，交直径于点，交过点的直线于点，连接并延长，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∵，垂足为E， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为P， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，证明是等腰三角形，推出，即可证明是的切线； （2）证明，得到，设的半径为，证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，再证明，据此计算即可求解． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：∵是的直径，，垂足为P， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 27. 综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． （1）求该抛物线的解析式． （2）在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） （3）把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 28. 综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．在矩形中，点，分别是边，上的动点． （1）【观察感知】如图1，当点，运动到时，连接，．求证：． （2）【探索发现】如图2，连接，点是上的一点，，连接，，与相交于点，连接．当平分，平分时，且，试求出与的数量关系，并说明你的理由． （3）【问题拓展】如图3，当，时，作直线，若直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作于点，连接．当矩形的边与直线的夹角成时，请你直接写出的正切值．（自行完成作图并作答） 【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形， ∴， 在 和中 ； （2），理由如下： 如图，连接 ，过点 作 于点 ， 平分、平分，且与 相交于点， 点是 的内心， 点到三边的距离相等 设， ， 即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合已知条件根据，即可证明； （2）连接 ，过点 作 于点 ，根据已知可得点是 的内心，设，根据三角形的面积关系结合已知条件得出，即，证明，，根据相似三角形的性质，即可得出结论； （3）矩形的边与直线的夹角成，分以下两种情况讨论，当点在的上方，点在的下方时，分别画出图形，根据直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作，垂足为，过点作，交于点，设，根据，建立方程，解方程求得的值，进而根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：理由如下：矩形的边与直线的夹角成， 分以下两种情况讨论 情况一：当，且点在的上方时，如图， 过点作，垂足为，连接 设 ， ，垂足为 ， 直线将矩形分成周长相等的两部分 过点作，交于点 四边形 是矩形 在中， ， 解得： 情况二：当，且点在的下方时，如图2， 同情况一可得 解得 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年绥化市初中学业水平考试 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑 1. 下列有理数中，没有倒数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 正六边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等边三角形 3. 若分式有意义，则满足的条件是（ ） A. 为任意实数 B. C. D. 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间（单位：小时），数据如下表所示： A组 6 7 8 8 8 9 10 B组 4 7 9 9 9 11 14 下列说法正确的是（ ） A. 两组数据的众数相等 B. A组数据的平均数大于B组数据的平均数 C. A组数据的方差小于B组数据的方差 D. A组数据的中位数大于B组数据的中位数 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 正五边形的外角和是 B. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 C. 三角形两边的和大于第三边 D. 一组对角相等的四边形一定是平行四边形 8. 如图，AD∥BC，∠C =30°， ∠ADB∶∠BDC= 1∶2，则∠DBC的度数是( ) A. 30° B. 36° C. 45° D. 50° 9. 《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（ ）（其中，计算结果精确到） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内 13. 海水淡化，利国利民．2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨．把300万用科学记数法表示为_________． 14. 分解因式：_________． 15. 某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 16. 如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 17. 计算：_________． 18. 如图，在中，，，则______． 19. 如图，反比例函数与边长为10的等边三角形相交于，两点，边与轴重合，，则的值是_________． 20. 如图，在直角三角形中，，，，点，分别在边，上运动，连接，．则的最小值是_________． 21. 按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 22. 已知是腰长为4的等腰直角三角形，，是的中点，连接，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别是点，，连接．当时，则的长为_________． 三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内 23. 尺规作图：如图，在的内部有一点． （1）【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，并使等腰三角形的底边经过点，点，点分别在射线，射线上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹） （2）【拓展探究】如图2，若，连接，．以为圆心，为半径画圆，交射线，射线于，两点，则劣弧的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含的代数式表示的结果） 24. 为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题： 类别 参与创新实践活动的时间（单位：小时） A B C D E （1）本次随机调查的学生共有_________人，补全条形统计图． （2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生人数． （3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 25. 我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手（以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B型机械手），已知A型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等． （1）求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元？ （2）快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于B型数量的2倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？ （3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量（件）与甲机械手工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． ①乙机械手的工作速度为_________件/分钟，_________． ②直接写出所在直线的函数表达式：_________． ③当乙机械手工作_________分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同． 26. 如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，交直径于点，交过点的直线于点，连接并延长，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 27. 综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． （1）求该抛物线的解析式． （2）在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） （3）把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 28. 综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．在矩形中，点，分别是边，上的动点． （1）【观察感知】如图1，当点，运动到时，连接，．求证：． （2）【探索发现】如图2，连接，点是上的一点，，连接，，与相交于点，连接．当平分，平分时，且，试求出与的数量关系，并说明你的理由． （3）【问题拓展】如图3，当，时，作直线，若直线将矩形分成周长相等的两部分，过点作于点，连接．当矩形的边与直线的夹角成时，请你直接写出的正切值．（自行完成作图并作答） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $