精品解析：2026年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题

二〇二六年齐齐哈尔市初中学业水平考试数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上，夜间平均温度零下．若将零上记作，则零下可记作（ ） A. B. C. D. 2. 运用科学的体育与健康知识指导体育运动和生活实践，才能形成终身保持健康的能力．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一块含角的直角三角板的两个顶点分别在直线和上，若直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于的分式方程的解为正数，那么实数的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 7. 将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 5月18日是国际博物馆日．某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个3元，乙种文创纪念品每个5元．某游客欲将60元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9. 如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 我国人工智能高速发展，实现了综合实力整体性、系统性跃升，智能算力规模已超过159000亿亿次/秒．将159000用科学记数法表示为__________． 12. 若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，是边的中点，，点在边上，，反比例函数（）的图象经过点，．若，则的值为____________． 15. 菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________． 16. 数学活动课上，同学们把底角为的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点在经过原点的直线上，，点在轴正半轴上，是以为底边的“友好三角形”，以为底边向右作“友好三角形”；过点作的平行线，分别交直线和轴正半轴于点，，以为底边向右作“友好三角形”；过点作的平行线，分别交直线和轴正半轴于点，，以为底边向右作“友好三角形”…按此规律，点的纵坐标为____________． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算、分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 求不等式组的所有整数解． 19. 解方程：． 20. 2026年是长征胜利90周年．某校开展了以“赓续血脉，永恒记忆”为主题的长征知识竞赛，满分为100分，学生的成绩均高于60分且为整数．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，将抽取的学生成绩（分）按，，，四个等级（：，：，：，：）进行了整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取了            名学生的成绩； （2）扇形统计图中，“等级”对应的扇形圆心角为            度； （3）请直接补全条形统计图； （4）若参加本次竞赛的学生有2700人，请估计本次竞赛中获得“等级”的学生约有多少人． 21. 如图，四边形内接于，为的直径，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求阴影部分的面积． 22. 2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有，两地，机器人甲、乙分别从，两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后，立即以米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1），两地之间的距离为            米，图中的值为            ； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可） 23. 综合与实践 综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动． 已知有公共顶点的矩形和矩形，，，．先将矩形的边，分别落在矩形的边，上，再将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，． （1）【问题初探】如图，当，时，与的数量关系是              ，与的数量关系是              ； （2）【类比推理】如图，当，时，试探究与的数量关系，请写出结论，并说明理由； （3）【深入探究】如图，当，时，点为边的中点，直线交线段于点，若，则的长为              ； （4）【拓展延伸】如图，当，时，过点作，垂足为，在线段上取点，使，连接．若的面积为，则的取值范围是              ． 24. 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值及最大时点的坐标； （3）如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为               ； （4）当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为               ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年齐齐哈尔市初中学业水平考试数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上，夜间平均温度零下．若将零上记作，则零下可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正负数表示一对相反意义的量，根据题干对零上温度的记法，即可推出零下温度的记法． 【详解】∵题干规定零上温度记作正数， ∴与零上意义相反的零下温度记作负数， ∴零下可记作． 2. 运用科学的体育与健康知识指导体育运动和生活实践，才能形成终身保持健康的能力．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方运算法则计算各选项，即可判断结果． 【详解】解：选项A：，A计算正确； 选项B：，B计算错误； 选项C：，C计算错误； 选项D：，D计算错误． 4. 如图，一块含角的直角三角板的两个顶点分别在直线和上，若直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，再由平行线的性质得出，结合图形即可求解 【详解】解：如图所示： ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 5. 如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】它的俯视图如图所示： 6. 如果关于的分式方程的解为正数，那么实数的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再结合解为正数、分式分母不为零两个条件，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：原方程，变形得， 方程两边同乘得：， 展开整理得：， ∵分式方程分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数，∴，即，解得， 综上，实数的取值范围是且． 7. 将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． 8. 5月18日是国际博物馆日．某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个3元，乙种文创纪念品每个5元．某游客欲将60元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程，再结合正整数和两种都买的条件，找出所有符合要求的购买方案. 【详解】解：设购买甲种文创个，乙种文创个，均为正整数， 根据题意得 ， 整理得， ∵是正整数， ∴为整数， ∵与互质， ∴必须是的倍数， ∵两种纪念品都要买， ∴，， ∴ ， 解得， ∴符合题意的整数的值为，共3种， 故有3种不同的购买方案. 9. 如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，分三段讨论： 时，在上，在上；时，在上，在上；时，在上，到达点停止．分别求出与的函数关系式，结合图象即可判断． 【详解】解：在 中，，，， ，，． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上，，， 过点作于点， 则， ， 此时图象为开口向上的抛物线，当 时，； ②当时，点在上，点在上，过点作于点 ，， ∴，  ， 此时图象为开口向下的抛物线，当时，；当时，； ③当时，点在上，点到达点停止运动， 此时（即变为），， 以为底，为高， ， 此时图象为线段， 当时，； 当时，． 综上所述，图象 C 符合题意． 10. 如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判定、、正负，判断①；利用抛物线对称性得到，结合点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由推出，代入抛物线得到与、关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案。 【详解】解：由二次函数图象可得： 抛物线开口向下， ； 顶点坐标为，则对称轴为直线， 由对称轴公式， 整理得，结合，得 ； 抛物线与轴交于正半轴， ； 抛物线与轴正半轴交点满足． ， ， 故①错误 根据二次函数轴对称性质：对称轴为，则 将代入解析式： 把代入化简： ，说明直线在交点左侧，此位置抛物线图象在轴上方 ，即 故②错误 ∵顶点坐标为， ∴ 故③正确 抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 平方作差比较距离大小： ， ， 即，得 点离对称轴更近，， 故④正确 由得，由得 ， ，即， 将代入抛物线解析式： ， 设一元二次方程的两根为，由韦达定理： ， 将代入： ， 故⑤正确 综上所述正确结论一共有3个． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 我国人工智能高速发展，实现了综合实力整体性、系统性跃升，智能算力规模已超过159000亿亿次/秒．将159000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关系列方程即可求解母线长． 【详解】解：圆锥底面半径为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的母线长为，根据题意得， 整理得， 解得． 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】过点作，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点E，如图所示， 由题可知，平分， 又， ∴， ∴． 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，是边的中点，，点在边上，，反比例函数（）的图象经过点，．若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形性质及在轴上，确定、平行于轴，结合及点、的位置关系求出点、的横坐标；设点的坐标为，点的坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征建立等式，再通过解直角三角形利用正切值求出纵坐标之间的关系，联立求解即可得出的值 【详解】解：四边形是矩形，在轴正半轴上， 轴，轴，轴， 反比例函数的图象在第二象限， 矩形在第二象限， ， ， ∴点、的横坐标为，点、的横坐标为， 是边的中点， 点的横坐标为， 点在边上，， ， 点的横坐标为， 设点的坐标为，点的坐标为，其中， 点的坐标为，点的坐标为， 点、在反比例函数的图象上， ， ， 过点作于点， 点的坐标为， ，， 在中，， ， ， ， ， 联立， 解得， ． 15. 菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，点F在线段上和点F在的延长线上，设菱形边长为未知数，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设菱形的边长为， ∴，， 点是的中点， ， ， ， ， 为平行线与之间的距离，即． 分两种情况讨论： 情况1：点在线段上， 过点作，交直线于点． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 又 ，为直角三角形，， 在中，由勾股定理，得 ， ． 情况2：点在的延长线上， 在中，由勾股定理，得 ， ． 16. 数学活动课上，同学们把底角为的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点在经过原点的直线上，，点在轴正半轴上，是以为底边的“友好三角形”，以为底边向右作“友好三角形”；过点作的平行线，分别交直线和轴正半轴于点，，以为底边向右作“友好三角形”；过点作的平行线，分别交直线和轴正半轴于点，，以为底边向右作“友好三角形”…按此规律，点的纵坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图过点作轴于点，得出，进而可得，据此规律求得，结合题意可得轴，求得的纵坐标为，即可求解． 【详解】解：如图过点作轴于点， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴轴，则的纵坐标为 ∴ 同理可得：，， ∴ ∴的纵坐标为， 同理可得轴，则的纵坐标为 ∵ ∴， ∴，则， ∴ ∴的纵坐标为 …… ∴的纵坐标为， 又轴，则的纵坐标为 ∴点的纵坐标为 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算、分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 求不等式组的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为 满足不等式组的所有整数解是1，2，3． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 或 ，． 20. 2026年是长征胜利90周年．某校开展了以“赓续血脉，永恒记忆”为主题的长征知识竞赛，满分为100分，学生的成绩均高于60分且为整数．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，将抽取的学生成绩（分）按，，，四个等级（：，：，：，：）进行了整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取了            名学生的成绩； （2）扇形统计图中，“等级”对应的扇形圆心角为            度； （3）请直接补全条形统计图； （4）若参加本次竞赛的学生有2700人，请估计本次竞赛中获得“等级”的学生约有多少人． 【答案】（1）50 （2）144 （3） （4）810人 【解析】 【分析】（1）由两个统计图中等级数据信息可求抽取人数； （2）用乘以B等级人数占抽取人数的比值即可； （3）用抽取总数减去其他三个等级的人数即可； （4）用本次竞赛学生人数乘以样本中获得等级的学生占抽取人数的比值即可． 【小问1详解】 解：由两个统计图中组数据信息可知，抽取人数为（人） 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：C组人数：（人）； 图略 【小问4详解】 解：（人） 答：估计本次竞赛中获得“等级”的学生约有810人． 21. 如图，四边形内接于，为的直径，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接 ， ． ， ． ， ，即． 为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，结合已知条件得到，即，根据切线的判定可证得结论； （2）连接，设的半径为，则，．在中，利用勾股定理求得，则．利用特殊角的三角函数值求得．根据圆周角定理求得，，则，根据含30度角的直角三角形的性质求得，然后利用扇形面积公式及求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 设的半径为，则，． 在中，， ，解得， ． ， ． ． ， 是的直径， ， ． ． ． ， ． ∴． 22. 2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有，两地，机器人甲、乙分别从，两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后，立即以米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1），两地之间的距离为            米，图中的值为            ； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可） 【答案】（1）3600，6 （2） （3）5分或7分或20分 【解析】 【分析】（1）由图可知距离为米，甲乙相向而行，相遇时间为总路程除以甲乙速度和，即可求出的值； （2）由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点，根据甲、乙速度得到，设解析式为，根据待定系数法求解即可； （3）先求出n的值，进而分四种情况作答即可． 【小问1详解】 解：时，甲乙还未出发，距离就是A、B两地距离，因此距离为米； 甲乙相向而行，速度和为米/分， 相遇时间（分）， 因此； 【小问2详解】 解：由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点， 甲走完全程的时间为分钟， 此时乙走了米， 因此甲乙距离为2400米， 即． 设解析式为，代入两点坐标： ， 解得：， 因此的解析式为：； 【小问3详解】 解：由图象可知，两地距离为米． 乙从匀速跑到，速度为米/分， 因此乙走完全程的时间为：分钟 即图中点对应的时间分钟， 此时乙已经到达地，甲乙相距米，从甲开始返回到乙到达地，一共经过了分钟，甲返回走了米， 因此， 即甲到达B后返回速度为米/分，返回全程需分钟，总耗时分钟， 乙从B到A速度为米/分，走完全程到A的时间为分钟， 设甲行进时间为分钟，甲乙距离米，分阶段计算： 阶段1：相遇前（）， 甲乙相向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段2：相遇后，甲未到B地（）， 相遇后甲乙背向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段3：甲到B开始返回，乙未到A地（）， 甲在B后返回，乙仍向A行走，两人距离满足：， 该阶段的范围是，始终大于600，此阶段无解； 阶段4：乙到达A停止，甲仍在返回途中（）， 乙已经停在A点，两人距离就是甲到A点的距离，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 综上所述，机器人甲行进时间为5分或7分或20分时，甲乙相距600米． 23. 综合与实践 综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动． 已知有公共顶点的矩形和矩形，，，．先将矩形的边，分别落在矩形的边，上，再将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，． （1）【问题初探】如图，当，时，与的数量关系是              ，与的数量关系是              ； （2）【类比推理】如图，当，时，试探究与的数量关系，请写出结论，并说明理由； （3）【深入探究】如图，当，时，点为边的中点，直线交线段于点，若，则的长为              ； （4）【拓展延伸】如图，当，时，过点作，垂足为，在线段上取点，使，连接．若的面积为，则的取值范围是              ． 【答案】（1）， （2）解：，证明如下： ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ； （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到，； （2）证明，得到，则； （3）分两种情况：点E在上方和点E在下方，分别画出示意图，讨论求解即可； （4）过点P作于点M，证明，推出，根据，推出；由勾股定理得，则可证明，根据可得答案． 【小问1详解】 解：当时，则， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，当点E在上方时，连接，过点B作于点T， ∵， ∴； ∵点M为的中点， ∴； ∵四边形是矩形， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线，即点E与点T重合； ∴， 由（2）得； 如图所示，当点E在下方时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 如图所示，过点E作交的延长线于点T， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或； 【小问4详解】 解：如图4所示，过点P作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 24. 综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值及最大时点的坐标； （3）如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为               ； （4）当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为               ． 【答案】（1） （2）当时，的值最大，最大值为2，此时点的坐标为 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得平移后的新抛物线的解析式，再分为当点Q在x轴上方时和当点Q在x轴下方时两种情况，利用坐标与图形性质求解即可； （4）由（2）知，，，直线的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，设，易得与x轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，求出点G关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：对于，当时，，则， ∵，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得或（舍去）， ∴； 当点Q在x轴下方时，如图，设， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或（舍去） ， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为或； 【小问4详解】 解：如图， 由（2）知，，，直线的解析式为， 设，则， ∴ ∵，， ∴直线的解析式为，则与x轴正方向成， ∵于F， ∴设，且与x轴所形成的锐角为，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K，如图，则是等腰直角三角形， ∴，即 ∴，则， ∴，设， ∴， ∴，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值， 设点G关于直线的对称点为，则，则的最小值为的长度， ∵， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $