3.5 一次函数与二元一次方程的关系课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程的关系，涵盖两者相互转化、方程解与函数图象点的对应等核心知识点。通过旧知回顾（如方程解与函数值关系）搭建学习支架，衔接已学一次函数与二元一次方程知识。 其亮点是以“议一议”“探究”活动引导学生抽象方程与函数关系，培养抽象能力和几何直观（数学眼光）。通过画图象验证对应关系发展推理意识（数学思维），例题与练一练强化模型意识（数学语言），助学生理解数形结合，教师可提升教学效率。

八年级下册数学（湘教版） 3.5 一次函数与二元一次方程的关系 第3章 一次函数 情景导入 1．方程x＋1＝0的解是________． 2．已知一次函数y＝x＋2，当x＝_____时，y＝0，可以直接把y＝0代入y＝x＋2，得_________．解得_______；也可以画出一次函数y＝x＋2的图象，观察图中直线所经过的点与满足方程y＝x＋2的点相同． 旧知回顾： x＝－2 －2 x＋2＝0 x＝－2 1 一次函数与二元一次方程(组)的关系 议一议 (1) (4，1) 与 (1，7) 是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个. (1) 由七年级知识可知，(4，1) 与 (1，7) 都是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解，并且这个方程有无数个解，如 (-1，11)，(0，9)，等等. (2) 给定一个二元一次方程 2x＋y－9＝0，若把方程中的未知数 y 用含未知数 x 的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？ (2) 对于二元一次方程 2x＋y－9＝0，整理可得 y＝－2x＋9. 若把 x 看作自变量，y 看作因变量，则得到一次函数 y＝－2x＋9. 反过来，一次函数 y＝－2x＋9 也可以写成二元一次方程 2x＋y－9＝0 的形式. 探究新知 无数个! 画函数图象的一般步骤: ①列表 ②描点 ③连线 二元一次方程与一次函数图象的关系 探究一:方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个. 探究二:请画出一次函数 y= -x+5 的图象. 探究新知 请画出一次函数y= - x+5的图象. ①列表: x 0 y= - x+5 0 y x O 65 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ②描点: ③连线: 如图所示: 5 5 y= - x+5 探究新知 y x O 65 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 y=-x+5 都在! (-1,6) (0,5) (1,4) (2,3) 二元一次方程与一次函数图象的关系 探究三:以方程x+y=5的解为坐标的点,它们都在一次函数y=-x+5的图象上吗? 知识模块一　一次函数与二元一次方程的对应关系 自学互研 (1)(4，1)与(1，7)是二元一次方程2x+y-9=0的解吗?方程还有其他解吗?如有，再说出几个. 由七年级知识可知，(4，1)与(1，7)都是二元一次方程2x+y-9=0的解，并且这个方程有无数个解，如(-1，11)，(0，9)，等等. (2)给定一个二元一次方程2x+y-9=0，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗? 对于二元一次方程2x+y-9=0，整理可得y=-2x+9.若把x看作自变量，y看作因变量，则得到一次函数y=-2x-9.反过来，一次函数y=-2x+9也可以写成二元一次方程2x+y-9=0的形式. (1) 一次函数 y＝－2x＋9 的图象任一点的坐标都是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解吗？ 思考 (1) 如图，一次函数 y＝－2x＋9 的图象上任一点的坐标可以表示为 (c，－2c＋9)，其中 c 为任意实数. 由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解. (2) 以二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解为坐标的点组成的图形是一次函数 y＝－2x＋9 的图象吗？ (2) 又二元一次方程 2x＋y－9＝0 的所有解都可以表示为 (c，－2c＋9)，其中 c 为任意实数. 于是以二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数 y＝－2x＋9 的图象. 而所有点 (c，－2c＋9)都在一次函数 y＝－2x＋9 的图象(一条直线)上，如图所示. 归纳总结 一次函数 y＝kx＋b 二元一次方程 kx－y＋b＝0 图象上所有点坐标满足 解为坐标的点都在图象上 二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0) 一次函数 任意一个解为坐标的点都在其图象上 任意一点的坐标都是其一个解 小结归纳 二元一次方程x+y=5的解: 一次函数y=-x+5 图象上点的坐标: (a,b) 从数到形 从形到数 一次函数 y＝kx＋b 二元一次方程 kx－y＋b＝0 图象上所有点坐标满足 解为坐标的点都在图象上 二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0) 一次函数 任意一个解为坐标的点都在其图象上 任意一点的坐标都是其一个解 小结归纳 (1)一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标都是二元一次方程2x+y-9=0的解吗？ (2)以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y=-2x+9的图象吗? (1)如图，一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标可以表示为 (c，-2c+9)，其中c为任意实 数，由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程2x+y-9=0的解. y x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 O (2)又二元一次方程2x+y-9=0的所有解都可以表示为(c，-2c+9)，其中c为任意实数.而所有点 (c，-2c+9)都在一次函数y=-2x+9的图象(一条直线)上，如图所示.于是以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数y=-2x+9的图象. y x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 O 17 知识要点 在平面直角坐标系中，关于 x，y 的二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数 图象. 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程－2x＋3y－6＝0 表示的直线. 解 由 －2x＋3y－6＝0 可得一次函数 ， 从而当 x＝0 时，y＝2，当 x＝3 时，y＝4. 在平面直角坐标系，描出 A(0，2)，B(3，4) 两点，过这两点作直线，如图所示，则这条直线是一次函数 的图象，从而它是二元一次方程－2x＋3y－6＝0表示的直线. A(0，2) B(3，4) 例2 如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过 P (0，－2)，Q(－4，5) 两点，哪个二元一次方程表示这条直线？ 解 设直线 PQ 是一次函数y＝kx＋b ( k，b 为常数，k≠0) 的图象. 因为点 P (0，－2) 和点 Q(－4，5) 都在该函数的图象上，所以 b = －2， k·(－4) + b = 5. 解得 因此，直线 PQ 是一次函数 的图象，从而它是二元一次方程 表示的直线 P(0，－2) Q(－4，5) 关于 x，y 的二元一次方程 kx－y＋b＝0 (k≠0) 所表示的直线与 x 轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？ 议一议 一次函数 y＝kx＋b 的图象上任一点的坐标是 (c，kc＋b). 由于函数的图象与 x 轴的交点的纵坐标为 0，因此交点的横坐标 c 满足 kc＋b＝0，于是 c＝ ，从而一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点坐标是( ，0). 因此，关于关于 x，y 的二元一次方程 kx－y＋b＝0 (k≠0)所表示的直线与 x 轴的交点坐标为( ，0). 直线与 x 轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当 y＝0 时的 x 值；直线与 y 轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当 x＝0 时 y 的值，注意数形结合． 归纳总结 在平面直角坐标系中，关于 x，y 的二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数 图象. 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 小结归纳 1. 方程 x – y = 1 有一个解是 ，则一次函数 y = x – 1 的图象上必有一个点的坐标为 . 2. 一次函数y = 2x – 4的图象上有一个点的坐标为(3，2)， 则方程 2x – y = 4 必有一个解是________. (2，1) 练一练 合 探 作 究 1．以二元一次方程3x＋2y＝6的解为坐标的点都在某一次函数的图象上，则这个一次函数是 ( ) A．y＝3x＋6　　 B．y＝－3x＋6　　 C．y＝－x＋3　 D．y＝－x－3 C 2．在平面直角坐标系中，已知一条直线经过点(0，4)，(－2，8)，哪个二元一次方程能表示这条直线？ 解：设直线是一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象． 直线经过点(0，4)，(－2，8)，所以 b＝4， －2k＋b＝8， 解得 k＝－2， b＝4. ∴该直线是一次函数y＝－2x＋4的图象，从而它是二元一次方程2x＋y－4＝0表示的直线． 例3 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x－2y＝2 的解的是 (　　) 解析：观察直线与坐标轴的交点坐标与二元一次方程的相应数值对应情况即可找到答案．对于二元一次方程 x－2y＝2，当 x＝0 时，y＝－1；当 y＝0 时，x＝2，故直线与两坐标轴的交点应该是(0，－1)，(2，0)． C “数”的角度 “形”的角度 两个一次函数 y = k1x + b1 (k1≠0)， y = k2x + b2 (k2≠0) 的自变量 x，y 的一组相同的值⇔二元一次方程组 的解 直线 y = k1x + b1 (k1≠0)，y = k2x + b2 (k2≠0)的交点坐标 (m，n) ⇔二元一次方程组 的解为 x = m，y = n 一次函数与二元一次方程组的关系 2.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是 二元一次方程 x－2y＝2 的解的是 (　　) 小试牛刀 1.请将下列方程改写为y关于x的一次函数. (1)2x+y=1 (2)x-y=2 (3)2y-x=-6 y=-2x+1 y=x-2 y=0.5x-3 C 思考：对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 2x－y＝l， 3x＋5y＝8， 分析：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数 y＝2x－l 与 方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标，因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解. 二元一次方程组与一次函数图象的关系 探究新知 课堂小结 一次函数与二元一次方程的关系 一元一次方程的解为对应一次函数的值为0时相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 二元一次方程的解为对应一次函数图象上点的坐标 $