3.6.1建模问题及行程问题 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

这是一份初中数学湘教版八年级下册同步教学课件，聚焦“一次函数的应用”第1课时，包含情境导入、探究新知（建模问题与行程问题）、归纳总结、练一练及课堂练习，以问题解决为支架，引导学生掌握一次函数建模步骤与实际应用。 资料特色突出核心素养，以乌鸦喝水故事导入培养数学眼光，通过指尖距与身高建模问题发展抽象能力和推理意识，结合行程问题函数图像分析强化模型观念，实例丰富且步骤清晰。八年级学生处于逻辑思维发展关键期，该资料帮助学生从具体到抽象建立函数模型思想，提升应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

八年级下册数学（湘教版） 3.6 一次函数的应用 第3章 一次函数 第 1 课时 建模问题及行程问题 情境导入 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事. 故事梗概为：“一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水.”告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解 的道理. 数学问题也一样哦. 如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口吗？说说你的做法！ 10 cm 9 cm 探究新知 建模预测问题 现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义. 下面有一个实际问题，你能否利用已学的知识给予解决？ 1 伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指 指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与 身高具有如下关系： 指尖距 x (cm) 19 20 21 身高 y (cm) 151 160 169 (1) 身高 y 与指尖距 x 之间可用函数关系式刻画吗？ 如可以，其表达式是怎样的？ (2) 若李华的指距为 22 cm 时，你能估计他的身高吗？ +1 +1 +9 +9 因变量随自变量的变化是均匀的，所以身高y是指尖距x的一次函数 待定系数法 解：(1)设身高 y 与指尖距 x 之间的一次函数表达式为 y＝kx＋b (k，b 为常数，k≠0). 19k + b = 151， 20k + b = 160. 解得 k＝9，b＝-20. 于是 y＝9x - 20. 故 y＝9x - 20就是身高 y 与指尖距 x 之间的函数表达式. 将 x＝19，y＝151 与 x＝20，y＝160 代人上式，得 指尖距 x (cm) 19 20 21 身高 y (cm) 151 160 169 (2) 当 x = 22 时， y = 9×22 - 20 = 178. 因此，李华的身高大约是 178 cm. 建立一次函数模型步骤： (1) 观察数据，是否满足均匀变化； (2) 建立一次函数模型，并由已知数据求出函数表达式； (3) 进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式； (4) 应用这个函数模型解决实际问题. 归纳总结 1.给某长方体游泳池注水，池深2m. 假如注水的时长与水深 具有如下关系： 练一练 （1） 你能为注水的时长与水深之间的关系建立函数模型吗？ （2） 用求出的函数表达式分别估计注水2h、2.5h后的水深. +0.5 +0.5 +40 +40 水深与注水的时长之间的关系是一次函数 y=80x+20. 【课本P113 练习 第1题】 利用一次函数解决行程问题 2 例1 已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8∶00 骑自行车由甲地 去乙地，平均车速为 8 km/h；小李10∶00 坐公共汽车也由甲地 去乙地，平均车速为 40 km/h.设小徐所用的时间为 x h，小徐离 甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为 y2 km. (1) 分别写出 y1， y2 与 x 之间的函数解析式； 找等量关系 解 (1) 由“路程＝速度×时间”可知 y1＝8x，（ 0≤x≤5）. 由于小李比小徐晚出发 2 h，因此小李所用时间为(x－2) h， 从而 y2＝40(x－2)，（ 2≤x≤3）. 1 2 3 4 5 8 16 24 32 40 y2＝40(x-2) y1＝8x (2) 在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. (2) 将以上两个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，如图所示. 过点 M(0，40) 作射线 l 与 x轴平行，它先与 y2＝40(x－2)相交，这表明小李先到达乙地. l M 2. 小刚和小强在一条公路上由西向东行走，出发的时间相同 . 小强 从 A地出发，小刚从小强东边80m处出发，小刚、小强每分钟分别 走40m，60m. （1） 分别写出小刚、小强离A地的距离 y（m）与行走时间 t （min） 之间的函数表达式. （2） 在同一平面直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图象. （3） 根据图象回答：在出发后几分钟小强追上小刚？谁先到达与 A 地相距300 m的B地？ 练一练 【课本P113 练习 第2题】 找等量关系 (2) 将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示. （3）由图象知出发4min后 小强追上小刚. 小强先到达与A地相距300m的B地。 l 课堂练习 1. 我市制定的用水收费标准是生活用水费用为每吨1.54元，每月加 卫生费9.5元，小明家5月份用水x吨，他家5月份应付费y（元），则 y与x之间的关系式为________________. y=1.54x+9.5 2. 某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的 质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次 函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的 最大质量为(　　) A.20 kg　　　B.25 kg　　C.28 kg　　D.30 kg A 找等量关系 待定系数法 y=30x-600. 3. 如图，射线 OA、BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中 s、t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h. 解析：根据图象可得出：甲的速度为 120÷5 = 24 (km/h)， 乙的速度为(120﹣4)÷5 = 23.2 (km/h)， 速度差为 24 - 23.2 = 0.8 (km/h). 0.8 B 4. 某公司到果园基地购买某种优质水果慰问医务工作者, 购买量在3000千克以上(含 3000千克), 果园基地对此有两种销售方案. 甲方案：每千克9元, 由基地送货上门；乙方案：每千克8元, 由顾客自己租车运回. 已知该公司租车从基 地到公司的运输费为5000元. (1)分别写出该公司两种购买方案的费用y(元) 与所购买的水果量x(千克)之间的函数表达式, 并写 出自变量x的取值范围； (2)采用哪种购买方案费用少？并说明理由. 分析 画出两个一次函数图像, 利用图像法选择方案 思路2 分y甲=y乙, y甲>y乙, y甲<y乙三种情 形讨论, 确定方案 思路1 y甲=9x(x≥3000)； y乙=8x+5000(x≥3000). 解: (1)y甲=9x(x≥3000)； y乙=8x+5000(x≥3000). (2)解法一：①当y甲=y乙时, 有9x=8x+5000, 解得x=5000. 所以当x=5000时, 两种方案费用一样； ②当y甲<y乙时, 有9x<8x+5000. 所以当3000≤x<5000时, 选择甲方案费用少； ③当y甲>y乙时,有9x>8x+5000,解得x>5000. 所以当x>5000时, 选择乙方案费用少. 解法二：分别作出函数y甲=9x(x≥3000)和 y乙=8x+5000(x≥3000)的图像, 如图所示： 由图像可得当购买量大 于或等于3000千克且小 于5000千克时, y甲<y乙, 选择甲方案费用少； 课堂小结 一次函数模型的应用 建立一次函数模型解决实际问题 对函数图象的理解及运用 $