第13讲 随机事件与概率（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

第13讲 随机事件与概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1事件的分类 题型2判断事件发生的可能性的大小 题型3概率及其意义 题型4频率与概率 题型5 列举所有机会均等的结果 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 必然事件、不可能事件、随机事件、确定事件、概率、频率、频数、等可能事件、概率计算公式 1. 能区分必然事件、不可能事件、随机事件，理解确定事件与不确定事件的概念。 2. 理解频数、频率、概率的定义，掌握频率与概率的联系与区别。 3. 掌握等可能事件的概率计算公式，能计算简单随机事件的概率。 4. 能结合实际情境判断事件类型、求解概率，理解概率的现实意义。 学习重点：事件的分类、频数与频率的概念、等可能事件的概率计算公式、简单概率计算。 学习难点：区分频率与概率的关系、复杂情境下随机事件的判断、实际生活中的概率应用计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 事件的分类 必然事件：一定发生的事件，概率。如：太阳东升西落、三角形内角和为180°。 不可能事件：一定不发生的事件，概率。如：掷骰子点数为7、负数大于正数。 随机事件：可能发生、可能不发生的事件，概率。 确定事件：包含必然事件和不可能事件两类。 核心区分：必然事件、不可能事件为确定性事件，随机事件为不确定性事件 【易错提醒】 1. 混淆随机事件与必然事件，主观判断事件发生可能性。 2. 确定事件只认必然事件，遗漏不可能事件。 【方法总结】 一定发生为必然，一定不发生为不可能，不确定为随机。 即时即练以下事件属于随机事件的是（     ） A．任意画一个三角形，它的内角和是 B．抛掷一枚6个面上分别刻有点数的正方体骰子，朝上一面的点数是6 C．从1，2，3，4四个数中随机选取三个数字构成一个三位数，三位数大于500 D．正数大于负数 知识点02 频数与频率 频数：一次试验中，某个事件实际发生的次数。 频率：频数与总试验次数的比值，无单位，取值0~1之间。 频率稳定性：大量重复试验下，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为概率。 【易错提醒】 1. 混淆频数（次数）与频率（比值）。 2. 单次试验频率等同于概率。 【方法总结】 频数是数，频率是比，大量频率趋近概率。 即时即练下列说法正确吗？请说明理由． (1)在做抛瓶盖的试验时，每名学生用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计； (2)在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； (3)在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值． 知识点03 可能事件概率计算 适用条件：所有试验结果出现的可能性大小相等。 计算公式：。 公式补充说明：该公式仅适用于古典概型，要求试验结果有限、每个结果发生概率均等，是初中概率核心计算方法。 【易错提醒】 1. 计算时分母漏算全部等可能结果，遗漏部分情况导致概率偏小。 2. 结果出现可能性不相等时，强行套用古典概型公式计算，结果出错。 3. 最终计算结果未化简为最简分数，答题不规范扣分。 【方法总结】 概率计算三步法：①判断是否为等可能事件；②枚举或计算总结果数、目标事件结果数；③代入公式化简求值。 即时即练天气预报显示，某地明天降水概率是，后天降水概率是，那么当地居民这两天中哪一天出门时更有可能会带伞？ 知识点04 概率的求解方法 枚举法：试验结果数量较少时，直接逐一列举所有情况，再统计目标事件数量计算概率，适用于单次试验题型。 列表法：适用于两步试验、结果较多的概率问题，通过表格清晰罗列所有等可能结果，不重不漏。 树状图法：适用范围最广，两步及以上试验均可使用，分层梳理试验过程，适合复杂多步骤概率题型。 【易错提醒】 1. 列举结果时出现重复、遗漏，导致概率计算偏差。 2. 区分不清放回试验与不放回试验：放回试验总结果数不变，不放回试验总结果数逐步减少。 3. 混淆有序、无序结果，错误合并或拆分独立结果。 【方法总结】 两步试验优先列表法，三步及以上优先树状图；先判断是否放回，再枚举所有结果，最后精准计数求概率。 即时即练在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（2）条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 知识点05 频率估计概率 核心原理：当重复试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，可用频率估算概率。 适用场景：试验结果不是等可能、无法用古典概型计算概率的题型。 核心公式：概率近似值。 【易错提醒】 1. 单次、少量试验的频率不能等同于概率，频率是波动值，概率是固定值。 2. 误认为试验次数越多，频率就一定等于概率，忽略频率的波动性。 【方法总结】 少量试验看频率，大量试验估概率；频率动态波动，概率固定不变。 即时即练年“苏超”即江苏省城市足球联赛再度开赛，小驰、小成和小龙都是足球迷，三人都已经买到足球票，相约一起去看足球赛．已知奥体中心，两个入口均能进入场馆． (1)小龙从入口进入场馆的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求三人从同一入口进入场馆的概率． 题型1事件的分类 【例1】掷两个质地均匀的小正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1到6．若向上两面的数字之和为x，则下列事件为必然事件的是（     ） A． B． C． D．为奇数 【例2】下列事件是随机事件的是（     ） A．对顶角相等 B．三角形内角和等于 C．平行四边形对角线互相平分 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【变式1-1】下列说法不正确的是（    ） A．为了解扬州早茶中蟹黄汤包的受欢迎程度，适宜采用抽样调查的方式 B．统计扬州东关街各类小吃的销量占比，最适宜选用条形统计图直观展示 C．游玩瘦西湖时，途经五亭桥恰好遇到画舫驶过，这一事件是随机事件 D．扬州马拉松比赛中，若甲选手分段配速方差大于乙选手，则乙选手分段配速更稳定 【变式1-2】2025年春节期间，各种富有现实教育意义的电影轮番上映，如A—《哪吒之魔童闹海》、B—《蛟龙行动》、C—《唐探1900》、D—《射雕英雄：侠之大者》，某音乐老师要求甲、乙两同学分别从中选择一部电影作为学校电影节的放映内容． (1)事件“《封神第二部：战火西岐》被选择作为放映内容”是________事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） (2)请用树状图或列表法求甲、乙两同学选择同一部电影的概率． 题型2判断事件发生的可能性的大小 【例3】将事件①水中捞月；②购买1张福利彩票中奖；③玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”时获胜；按发生的概率从小到大的顺序排列为______．（只填序号） 【例4】下列事件中，发生的概率最大的是（     ） A．朝霞不出门，晚霞行千里 B．种瓜得瓜，种豆得豆 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．大雁不过九月九，小燕不过三月三 【变式2-1】下列事件： ①购买一张福利彩票，中大奖． ②甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，甲出“石头”获胜． ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化． ④从13个不同的“苏嘟嘟”（分别对应苏超的13支球队）盲盒中任意抽取1个，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”． 按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是（     ） A．②④①③ B．③①④② C．①②④③ D．③①②④ 【变式2-2】袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 题型3概率及其意义 【例5】已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（     ） A．做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B．第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C．两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D．重复多次试验，该事件发生的频率稳定在左右 【例6】下列说法中，正确的是（     ） A．经过红绿灯路口时，遇到绿灯概率为（红、黄、绿亮灯时间不等） B．连续掷同一枚硬币，前九次都是国徽面朝上，掷第十次国徽面朝上的概率是 C．班里的两名同学，他们的生日是同一天是不可能事件 D．对某批汽车的抗撞击能力调查适用全面调查 【变式3-1】下列说法中错误的是(     ) A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是 B．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件 C．某种彩票的中奖率为，买100张彩票一定有1张中奖 D．了解我市居民知晓“创建文明城市”的情况，适合抽样调查 【变式3-2】下列事件中，属于不可能事件的是（     ） A．今天下雨，明天还下雨 B．将铁块投入水中，铁块下沉 C．明天的太阳从西边升起 D．抛掷一枚硬币，正面朝上 题型4频率与概率 【例7】如图，在平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明用这个图案进行如下实验，他用一个长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此可估计小球落在不规则图案内的概率是（     ） A． B． C． D． 【例8】为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这种绿豆种子发芽的概率是______． 【变式4-1】在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是________；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 题型5 列举所有机会均等的结果 【例9】一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 【例10】一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 【变式5-1】某地区在连续50年中，每年干燥月份（即降水量低于这50年的平均月降水量）的统计情况如下表： 每年干燥月份的月数 0 1 2 3 4 5 相应的年数 0 0 0 1 5 9 每年干燥月份的月数 6 7 8 9 10 相应的年数 10 10 8 3 2 2 根据上述统计表估计： (1)一年中恰有5个月是干燥月份的概率是多少？ (2)一年中干燥月份小于7个月的概率是多少？ (3)一年中干燥月份大于9个月的概率是多少？ 【变式5-2】某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． (1)教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． (2)教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． 一、单选题 1．某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（    ） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 2．如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 3．根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 4．下列说法正确的是（    ） A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 5．下列说法正确的是（　　） A．调查2025年春节联欢晚会的收视率适宜采用全面调查方式 B．5位同学月考数学成绩分别为95，83，76，83，100，则这5位同学月考数学成绩的中位数为83 C．某游戏的中奖率为，则买100张奖券，一定有1张中奖 D．若甲、乙两班在某次知识竞赛中，成绩的平均数相同，方差分别为40，80，则乙班成绩更稳定 6．将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 7．一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（    ） A．面朝上的点数是2 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 8．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 9．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 11．某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为_________．（结果精确到0.01） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 12．数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝下次数 22 46 94 143 236 473 944 1413 2350 盖面朝下频率 0.440 0.460 0.470 0.477 0.472 0.473 0.472 0.471 0.470 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为______．（精确到0.01） 13．某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为_____． 14．为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是______． 三、解答题 15．“九三阅兵”后，某班图书角准备添置一些关于国防类的图书，小贤家与小艺家都有“战斗机”“坦克”“导弹”三个系列的相关图书，需要他们各自从家中带一本相关图书放置在班级图书角，学期结束后再带回家．为确定他们各自所带图书，小艺制作了背面完全相同，正面写着“战斗机”“坦克”和“导弹”的三张卡片． (1)若小贤随机抽取一张卡片，恰好正面是“潜艇”的事件是_______． A．必然事件    B．随机事件    C．不可能事件 (2)若小贤随机抽取一张卡片，记下正面内容，放回并洗匀，小艺再从中随机抽取一张，求两人恰好抽中同一系列的相关图书的概率． 16．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 17．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 18．数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． (1)转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________； (2)若同时转动盘和盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 19．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张． (1)请用列表法或树状图法列出所有可能出现的结果总数； (2)请你求出小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是多少？ 20．根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 乙 甲 0 1 1 0 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 随机事件与概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1事件的分类 题型2判断事件发生的可能性的大小 题型3概率及其意义 题型4频率与概率 题型5 列举所有机会均等的结果 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 必然事件、不可能事件、随机事件、确定事件、概率、频率、频数、等可能事件、概率计算公式 1. 能区分必然事件、不可能事件、随机事件，理解确定事件与不确定事件的概念。 2. 理解频数、频率、概率的定义，掌握频率与概率的联系与区别。 3. 掌握等可能事件的概率计算公式，能计算简单随机事件的概率。 4. 能结合实际情境判断事件类型、求解概率，理解概率的现实意义。 学习重点：事件的分类、频数与频率的概念、等可能事件的概率计算公式、简单概率计算。 学习难点：区分频率与概率的关系、复杂情境下随机事件的判断、实际生活中的概率应用计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 事件的分类 必然事件：一定发生的事件，概率。如：太阳东升西落、三角形内角和为180°。 不可能事件：一定不发生的事件，概率。如：掷骰子点数为7、负数大于正数。 随机事件：可能发生、可能不发生的事件，概率。 确定事件：包含必然事件和不可能事件两类。 核心区分：必然事件、不可能事件为确定性事件，随机事件为不确定性事件 【易错提醒】 1. 混淆随机事件与必然事件，主观判断事件发生可能性。 2. 确定事件只认必然事件，遗漏不可能事件。 【方法总结】 一定发生为必然，一定不发生为不可能，不确定为随机。 即时即练以下事件属于随机事件的是（     ） A．任意画一个三角形，它的内角和是 B．抛掷一枚6个面上分别刻有点数的正方体骰子，朝上一面的点数是6 C．从1，2，3，4四个数中随机选取三个数字构成一个三位数，三位数大于500 D．正数大于负数 【答案】B 【分析】首先明确事件分类定义，必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，任意三角形内角和为，一定成立，是必然事件，不符合要求； ∵选项B中，抛掷刻有点的骰子，朝上点数可能是，也可能不是，可能发生也可能不发生，是随机事件，符合要求； ∵选项C中，从中选三个数组成的三位数，最大为，一定小于，不可能大于，是不可能事件，不符合要求； ∵选项D中，正数一定大于负数，是必然事件，不符合要求． 知识点02 频数与频率 频数：一次试验中，某个事件实际发生的次数。 频率：频数与总试验次数的比值，无单位，取值0~1之间。 频率稳定性：大量重复试验下，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为概率。 【易错提醒】 1. 混淆频数（次数）与频率（比值）。 2. 单次试验频率等同于概率。 【方法总结】 频数是数，频率是比，大量频率趋近概率。 即时即练下列说法正确吗？请说明理由． (1)在做抛瓶盖的试验时，每名学生用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计； (2)在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； (3)在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值． 【答案】(1)说法不正确，理由如下：在做抛瓶盖的试验时，每名学生应该尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计，这样做的目的是保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求． (2)说法不正确，理由如下：因为随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，所以原说法错误． (3)说法不正确，理由如下：因为用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，所以原说法错误． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 知识点03 可能事件概率计算 适用条件：所有试验结果出现的可能性大小相等。 计算公式：。 公式补充说明：该公式仅适用于古典概型，要求试验结果有限、每个结果发生概率均等，是初中概率核心计算方法。 【易错提醒】 1. 计算时分母漏算全部等可能结果，遗漏部分情况导致概率偏小。 2. 结果出现可能性不相等时，强行套用古典概型公式计算，结果出错。 3. 最终计算结果未化简为最简分数，答题不规范扣分。 【方法总结】 概率计算三步法：①判断是否为等可能事件；②枚举或计算总结果数、目标事件结果数；③代入公式化简求值。 即时即练天气预报显示，某地明天降水概率是，后天降水概率是，那么当地居民这两天中哪一天出门时更有可能会带伞？ 【答案】后天 【分析】降水概率表示降水发生的可能性大小，概率越大，降水的可能性越高，比较两天降水概率的大小即可得到结果． 【详解】解：由于后天降雨的可能性比较大， 所以居民后天出门时更有可能会带伞． 知识点04 概率的求解方法 枚举法：试验结果数量较少时，直接逐一列举所有情况，再统计目标事件数量计算概率，适用于单次试验题型。 列表法：适用于两步试验、结果较多的概率问题，通过表格清晰罗列所有等可能结果，不重不漏。 树状图法：适用范围最广，两步及以上试验均可使用，分层梳理试验过程，适合复杂多步骤概率题型。 【易错提醒】 1. 列举结果时出现重复、遗漏，导致概率计算偏差。 2. 区分不清放回试验与不放回试验：放回试验总结果数不变，不放回试验总结果数逐步减少。 3. 混淆有序、无序结果，错误合并或拆分独立结果。 【方法总结】 两步试验优先列表法，三步及以上优先树状图；先判断是否放回，再枚举所有结果，最后精准计数求概率。 即时即练在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（2）条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)20个 (3)10个 【分析】（1）根据统计图容易得出结果； （2）根据摸到白球的概率和球的总数进行计算即可； （3）设需要往盒子里再放入个白球； 根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据统计图可知：当很大时，摸到白球的概率将会接近； （2）解：∵摸到白球的概率将会接近， ∴摸到白球（个）， ∴黑球（个）， 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）解：设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入个白球． 知识点05 频率估计概率 核心原理：当重复试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，可用频率估算概率。 适用场景：试验结果不是等可能、无法用古典概型计算概率的题型。 核心公式：概率近似值。 【易错提醒】 1. 单次、少量试验的频率不能等同于概率，频率是波动值，概率是固定值。 2. 误认为试验次数越多，频率就一定等于概率，忽略频率的波动性。 【方法总结】 少量试验看频率，大量试验估概率；频率动态波动，概率固定不变。 即时即练年“苏超”即江苏省城市足球联赛再度开赛，小驰、小成和小龙都是足球迷，三人都已经买到足球票，相约一起去看足球赛．已知奥体中心，两个入口均能进入场馆． (1)小龙从入口进入场馆的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求三人从同一入口进入场馆的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由简单概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能的结果及满足题意的结果，由简单概率公式求解即可． 【详解】（1）解：奥体中心，两个入口均能进入场馆， 小龙从入口进入场馆的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中三人从同一入口进入场馆的有种结果，则三人从同一入口进入场馆的概率为． 题型1事件的分类 【例1】掷两个质地均匀的小正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1到6．若向上两面的数字之和为x，则下列事件为必然事件的是（     ） A． B． C． D．为奇数 【答案】B 【分析】必然事件是一定条件下一定发生的事件，先确定两个小正方体向上数字之和的取值范围，再逐一判断各选项的事件类型即可． 【详解】解：∵每个小正方体向上一面的数字最小为，最大为， ∴掷两个标有的正方体，得到的两个数字和的最小值为，最大值为，即， A选项，不一定发生，是随机事件，不符合题意； B选项，∵，∴一定成立，是必然事件，符合题意； C选项，最大为，不可能满足，是不可能事件，不符合题意； D选项，可能为奇数也可能为偶数，不一定发生，是随机事件，不符合题意． 【例2】下列事件是随机事件的是（     ） A．对顶角相等 B．三角形内角和等于 C．平行四边形对角线互相平分 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【答案】D 【分析】必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、对顶角相等是一定发生的事件，属于必然事件，不符合要求； B，任意三角形内角和为，三角形内角和等于是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合要求； C，平行四边形对角线互相平分是一定发生的事件，属于必然事件，不符合要求； D，抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，也可能是反面向上，正面向上是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，符合要求． 【变式1-1】下列说法不正确的是（    ） A．为了解扬州早茶中蟹黄汤包的受欢迎程度，适宜采用抽样调查的方式 B．统计扬州东关街各类小吃的销量占比，最适宜选用条形统计图直观展示 C．游玩瘦西湖时，途经五亭桥恰好遇到画舫驶过，这一事件是随机事件 D．扬州马拉松比赛中，若甲选手分段配速方差大于乙选手，则乙选手分段配速更稳定 【答案】B 【分析】结合抽样调查适用条件、不同统计图的特点、随机事件定义、方差的意义，逐一判断选项正误． 【详解】解：调查蟹黄汤包的受欢迎程度，调查范围较大，不适合全面调查，适宜采用抽样调查，因此A说法正确； 要直观展示各类小吃的销量占比，最适宜选用扇形统计图，条形统计图适合展示具体数量，因此B说法不正确； 途经五亭桥遇到画舫驶过，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件， C说法正确； 方差越大表示数据波动越大，稳定性越差，甲选手配速方差大于乙选手，因此乙选手配速更稳定，D说法正确． 【变式1-2】2025年春节期间，各种富有现实教育意义的电影轮番上映，如A—《哪吒之魔童闹海》、B—《蛟龙行动》、C—《唐探1900》、D—《射雕英雄：侠之大者》，某音乐老师要求甲、乙两同学分别从中选择一部电影作为学校电影节的放映内容． (1)事件“《封神第二部：战火西岐》被选择作为放映内容”是________事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） (2)请用树状图或列表法求甲、乙两同学选择同一部电影的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】（1）根据事件的分类作答即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：事件“《封神第二部：战火西岐》被选择作为放映内容”是不可能事件； （2）解：画出树状图如下： 总共有16种等可能性结果，其中甲、乙两同学选择同一部电影的情况有4种， ∴P（甲、乙选择同一部电影）． 题型2判断事件发生的可能性的大小 【例3】将事件①水中捞月；②购买1张福利彩票中奖；③玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”时获胜；按发生的概率从小到大的顺序排列为______．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】先判断各事件的类型，得到各事件发生的概率范围，再比较概率大小，即可完成排序． 【详解】解：①水中捞月是不可能事件，因此发生的概率； ②购买张福利彩票中奖是随机事件，发生的概率满足； ③玩“石头、剪刀、布”游戏，对方共有种等可能的出法，出“剪刀”时获胜只有种等可能情况，因此； 比较概率大小得 ， 因此按发生的概率从小到大的顺序排列为①②③． 【例4】下列事件中，发生的概率最大的是（     ） A．朝霞不出门，晚霞行千里 B．种瓜得瓜，种豆得豆 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．大雁不过九月九，小燕不过三月三 【答案】B 【分析】结合生活常识和规律，比较各事件发生的可能性大小即可得到结果． 【详解】解：A、“朝霞不出门，晚霞行千里”，是气象经验总结，并不一定每次都应验，发生概率小于1； B、“种瓜得瓜，种豆得豆”由生物遗传规律决定，种下瓜必然收获瓜，种下豆必然收获豆，是必然发生的事件，概率为1； C、“乌云脚底白，定有大雨来”， 是气象经验总结，并不一定每次都应验，发生概率小于1； D、“大雁不过九月九，小燕不过三月三”是对候鸟迁徙规律的总结，受气候变化等因素影响，并非每次都严格应验，发生概率也小于1； 故发生的概率最大的是B． 【变式2-1】下列事件： ①购买一张福利彩票，中大奖． ②甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，甲出“石头”获胜． ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化． ④从13个不同的“苏嘟嘟”（分别对应苏超的13支球队）盲盒中任意抽取1个，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”． 按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是（     ） A．②④①③ B．③①④② C．①②④③ D．③①②④ 【答案】B 【分析】先计算每个事件发生的概率，再将概率从小到大排序即可得到结果． 【详解】分别计算各事件的概率： ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化，是不可能事件，概率为； ④从13个等可能的盲盒中抽取1个指定盲盒，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”的概率为； ②甲出“石头”时，乙共有3种等可能出法，仅乙出剪刀时甲获胜，此时概率为； ①购买福利彩票中大奖是小概率事件，概率远小于； 因此按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是③①④②， 故选：B． 【变式2-2】袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】根据摸到球的可能性大小与球的数量的关系，得到的取值范围，结合三种球数量互不相等，为正整数即可求解． 【详解】解：根据可能性的意义，球的数量越多，摸到该种球的可能性越大， 摸到红球的可能性最大，红球有5个，黑球有3个，白球有个， ，，即， 摸到黑球的可能性最小， ， 即， 又三种球的数量互不相等，为正整数， ∴． 题型3概率及其意义 【例5】已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（     ） A．做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B．第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C．两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D．重复多次试验，该事件发生的频率稳定在左右 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，概率反映随机事件发生的可能性大小，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，概率不代表试验中必然得到确定的结果． 【详解】根据概率的定义，概率是描述随机事件发生可能性大小的量，不是确定的必然结果。 选项A，概率为仅表示发生可能性，做次重复试验，该事件不一定恰好发生次，故选项A错误； 选项B，每次试验都是独立的随机事件，第一次试验该事件没发生，第二次试验不一定发生，故选项B错误； 选项C，两次重复试验中，该事件可能发生0次，1次或2次，不是必定发生一次，故选项C错误； 选项D，重复多次试验时，该事件发生的频率稳定在概率左右，符合概率的基本意义，故选项D正确． 【例6】下列说法中，正确的是（     ） A．经过红绿灯路口时，遇到绿灯概率为（红、黄、绿亮灯时间不等） B．连续掷同一枚硬币，前九次都是国徽面朝上，掷第十次国徽面朝上的概率是 C．班里的两名同学，他们的生日是同一天是不可能事件 D．对某批汽车的抗撞击能力调查适用全面调查 【答案】B 【分析】根据概率计算，事件分类和调查方式选择的相关概念逐一判断选项即可． 【详解】解：选项：红、黄、绿三种灯的亮灯时间不相等，三种灯出现的可能性不相等，遇到绿灯的概率不是，错误； 选项：抛掷硬币每次试验相互独立，国徽面朝上的概率始终为，故第十次抛掷国徽面朝上的概率仍为，正确； 选项：两名同学生日在同一天是可能发生的事件，该事件是随机事件，不是不可能事件，错误； 选项：调查汽车抗撞击能力具有破坏性，故该调查适用抽样调查，不适用全面调查，错误． 【变式3-1】下列说法中错误的是(     ) A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是 B．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件 C．某种彩票的中奖率为，买100张彩票一定有1张中奖 D．了解我市居民知晓“创建文明城市”的情况，适合抽样调查 【答案】C 【分析】根据概率计算，不可能事件的定义，概率的意义以及抽样调查的适用条件即可判断各选项正误． 【详解】解：∵掷一枚普通正六面体骰子，共有种等可能的结果，出现向上一面点数是的结果只有种， ∴其概率为，故A选项说法正确； ∵袋子中只有个红球，没有白球， ∴摸出个白球是不可能事件，B选项说法正确； ∵彩票中奖率为是指大量重复试验中，中奖的频率稳定在，仅表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票不一定有张中奖， ∴C选项说法错误； ∵了解我市居民知晓“创建文明城市”的情况，调查范围大，涉及人数多，不适合全面调查， ∴适合抽样调查，D选项说法正确． 【变式3-2】下列事件中，属于不可能事件的是（     ） A．今天下雨，明天还下雨 B．将铁块投入水中，铁块下沉 C．明天的太阳从西边升起 D．抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【详解】不可能事件是一定条件下一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定条件下一定发生的事件． 选项A，今天下雨，明天可能下雨也可能不下雨，属于随机事件，不符合要求； 选项B，铁块密度大于水，投入水中一定下沉，属于必然事件，不符合要求； 选项C，太阳始终从东边升起，明天太阳从西边升起一定不会发生，属于不可能事件，符合要求； 选项D，抛掷一枚硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求． 题型4频率与概率 【例7】如图，在平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明用这个图案进行如下实验，他用一个长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此可估计小球落在不规则图案内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案内的频率逐渐稳定在左右， 由频率估计概率可得小球落在不规则图案内的概率应为，选项符合题意． 【例8】为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这种绿豆种子发芽的概率是______． 【答案】 【分析】在大量重复试验中，可用事件发生的频率估计该事件发生的概率，计算出发芽的频率即可得到概率的估计值． 【详解】解：根据利用频率估计概率的方法，这种绿豆种子发芽概率的估计值等于发芽频率，即． 【变式4-1】在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增大，该事件的频率逐渐稳定在附近． ∴估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 【变式4-2】某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是________；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1) (2) (3)取出了个黑球 【分析】（1）大量重复试验中，可用频率的稳定值估计概率，根据表格频率得到概率估计值； （2）先计算总球数，再利用概率公式计算摸出黄球的概率； （3）设取出黑球的个数为，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：随着抽取彩色弹力球的数量增大，优等品的频率值在附近波动， 故这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是． （2）解：据题可知，袋中共有个球，其中黄球有个， 则从袋子中摸出一个球是黄球的概率为． （3）解：设取出黑球个，则袋中共有小球个， 根据题意可得， 解得， 故取出了个黑球． 题型5 列举所有机会均等的结果 【例9】一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 【答案】15 【分析】本题利用频率估计概率的知识点，先通过稳定的频率得到摸到黄球的概率，再用总球数乘概率得到黄球的估计个数． 【详解】解：根据大量重复试验中，频率稳定在概率附近，可得摸到黄球的概率近似为， 故黄球个数约为个． 【例10】一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 【答案】5 【分析】根据概率计算公式，摸到红球的概率等于红球个数除以球的总个数，代入已知条件即可计算出红球个数． 【详解】解：设布袋中红球的个数为， 由题意得，球的总个数为，摸到红球的概率为 根据概率公式可得，解得 ∴布袋中红球的个数是． 【变式5-1】某地区在连续50年中，每年干燥月份（即降水量低于这50年的平均月降水量）的统计情况如下表： 每年干燥月份的月数 0 1 2 3 4 5 相应的年数 0 0 0 1 5 9 每年干燥月份的月数 6 7 8 9 10 相应的年数 10 10 8 3 2 2 根据上述统计表估计： (1)一年中恰有5个月是干燥月份的概率是多少？ (2)一年中干燥月份小于7个月的概率是多少？ (3)一年中干燥月份大于9个月的概率是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）先求出一年中干燥月份小于7个月的年数和，再根据概率公式计算即可； （3）先求出一年中干燥月份大于9个月的年数和，再根据概率公式计算即可； 【详解】（1）解：一年中恰有5个月是干燥月份的年数是9， 故一年中恰有5个月是干燥月份的概率为． （2）解：一年中干燥月份小于7个月，即干燥月份数为3、4、5、6，对应年数和为 ， 一年中干燥月份小于7个月的概率为． （3）解：一年中干燥月份大于9个月，即干燥月份数为10、，对应年数和为， 故一年中干燥月份大于9个月的概率为． 【变式5-2】某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． (1)教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． (2)教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． 【答案】(1) (2)不是（不一定）．理由是：仅根据前次极少的发球试验结果，无法反映事件发生的概率，因此第个球落在刁钻落点区的可能性不一定比常规落点区大 【分析】（1）根据等可能条件下概率公式，用刁钻落点小方格数量除以总方格数量，直接计算对应概率； （2）明确单次、少量试验得到的落点结果属于频率，频率不能代表事件发生的理论概率，据此判断可能性大小关系并说明理由． 【详解】（1）解：球台共划分个面积相等的小方格，乒乓球落在每个方格的可能性相同，其中刁钻落点区有个小方格， 所以（刁钻落点区）， 答：一次发球落在刁钻落点区的概率是． （2）略 一、单选题 1．某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（    ） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：某事件A发生的概率是，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次， 故选：D 2．如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知， 综上有：， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 3．根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率意义的理解，降水概率表示降水的可能性较低，正确选项需符合概率的实际意义． 【详解】解：降水概率是指在相同的气象条件下，有的可能性出现降水，属于可能性较小的事件． 故选：C 4．下列说法正确的是（    ） A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 【答案】A 【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意； B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意； C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意； D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 5．下列说法正确的是（　　） A．调查2025年春节联欢晚会的收视率适宜采用全面调查方式 B．5位同学月考数学成绩分别为95，83，76，83，100，则这5位同学月考数学成绩的中位数为83 C．某游戏的中奖率为，则买100张奖券，一定有1张中奖 D．若甲、乙两班在某次知识竞赛中，成绩的平均数相同，方差分别为40，80，则乙班成绩更稳定 【答案】B 【分析】本题主要考查了调查方式的选择，概率的意义，中位数和方差与稳定性之间的关系，范围广，人数众多，不易调查的应采用抽样调查，据此可判断A；根据中位数的定义可判断B；根据概率的意义可判断C；根据方差越小，成绩越稳定可判断D． 【详解】解：A、调查2025年春节联欢晚会的收视率，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，原说法错误，不符合题意； B、把这5位同学的乘积按照从低到高排列为76，83，83，95，100，处在最中间的数据是83，则中位数为83，原说法正确，符合题意； C、某游戏的中奖率为，则买100张奖券，不一定有1张中奖，原说法错误，不符合题意； D、若甲、乙两班在某次知识竞赛中，成绩的平均数相同，方差分别为40，80，则甲班成绩更稳定，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 6．将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【答案】C 【分析】本题考查随机事件、概率的意义及等可能事件的判断，需依据相关概念逐一分析选项. 【详解】解：∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. ∴钉尖触地的结果不确定，属于随机事件，A选项说法正确; ∵抛起图钉后，所有可能结果为钉尖触地和钉尖朝上，二者是对立事件; ∴P（钉尖触地）（钉尖朝上），B选项说法正确; ∵“钉尖触地”和“钉尖朝上”这两种结果发生的可能性不相等，不属于等可能事件, ∴不能得出P（钉尖触地），C选项说法错误; ∵根据频率估计概率的知识，大量重复试验后，频率会逐渐接近概率. ∴D选项说法正确. 故选：C． 7．一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（    ） A．面朝上的点数是2 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 【答案】D 【分析】本题考查概率大小，涉及简单概率公式，根据选项，逐项得到相应事件的概率，比较大小即可得到答案，熟练掌握事件概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：A、面朝上的点数是2的概率是； B、面朝上的点数是偶数的数有2、4、6，从而得到概率是； C、面朝上的点数小于2的数有1，从而得到其概率是； D、面朝上的点数大于2的数有3、4、5、6，从而得到概率是； ， 四个选项中可能性最大的是D， 故选：D． 8．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【详解】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 9．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．． 【详解】解：反应的化学方程式为， 与的原子个数比为，与的原子个数比为， 反应后生成的中来自反应物C，而来自反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， ∴反应生成的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 二、填空题 10．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 11．某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为_________．（结果精确到0.01） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 【答案】0.41 【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.41，所以该市初中生近视的概率为0.41； 故答案为0.41． 12．数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝下次数 22 46 94 143 236 473 944 1413 2350 盖面朝下频率 0.440 0.460 0.470 0.477 0.472 0.473 0.472 0.471 0.470 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为______．（精确到0.01） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，熟练掌握频率估计概率的知识是解答本题的关键，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝下”的概率接近， 故答案为：． 13．某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率是必然事件， ∴两个人出生月份相同的概率为， 故答案为：． 14．为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求解概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率即可． 【详解】解：分别记“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团为A，B，C，D， 列表如下： 甲乙 A A 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择相同社团的结果数有4种， ∴他们选择相同社团的概率为， 故答案为：． 三、解答题 15．“九三阅兵”后，某班图书角准备添置一些关于国防类的图书，小贤家与小艺家都有“战斗机”“坦克”“导弹”三个系列的相关图书，需要他们各自从家中带一本相关图书放置在班级图书角，学期结束后再带回家．为确定他们各自所带图书，小艺制作了背面完全相同，正面写着“战斗机”“坦克”和“导弹”的三张卡片． (1)若小贤随机抽取一张卡片，恰好正面是“潜艇”的事件是_______． A．必然事件    B．随机事件    C．不可能事件 (2)若小贤随机抽取一张卡片，记下正面内容，放回并洗匀，小艺再从中随机抽取一张，求两人恰好抽中同一系列的相关图书的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查事件的分类，树状图求概率，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）小贤随机抽取一张卡片恰好正面是“潜艇”的事件是不可能事件； （2）画出树状图，求出所有等可能事件的结果数和两人恰好抽中同一系列相关图书的结果数，根据概率公式计算即可 【详解】（1）解：若小贤随机抽取一张卡片，恰好正面是“潜艇”的事件是不可能事件． 故选：C； （2）解：将抽中“战斗机”“坦克”“导弹”系列的图书分别记为． 根据题意，画树状图如下： 由图可知，所有可能出现的结果有9种，且出现的可能性相等，其中，小贤和小艺同学恰好抽中同一系列相关图书的结果共有3种， （两人恰好抽中同一系列的相关图书）． 16．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 (3)76000 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式频率优秀数量抽取作业数量求，根据优秀数量抽取作业数量优秀频率求． （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． （3）用全市中学生数量乘以估计的优秀概率，得到优秀作业数量． 【详解】（1）解：，， ∴，． 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 故答案为：； （3）解：全市有名中学生，优秀概率约， ∴全市优秀作业数量约为． 故答案为： ． 17．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)60件 【分析】本题考查用频率估计算概率，频率计算公式，求出合格品的频率是解题的关键． （1）根据合格率，计算即可； （2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率； （3）根据次品数，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 18．数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． (1)转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________； (2)若同时转动盘和盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用树状图或列表法求概率． （1）先求出转盘红色部分圆心角， 即可得出一共3个蓝色部分，然后根据概率公式计算概率即可． （2）画出树状图，得出总出现的情况数，再得出出现蓝红的情况数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分， ∴转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为：． （2）转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， 同时转动盘和盘，配成紫色的概率是 19．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张． (1)请用列表法或树状图法列出所有可能出现的结果总数； (2)请你求出小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，可以画出相应的树状图； （2）根据画出的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 【详解】（1）解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，列树状图如下， （2）解：由（1）可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性是2种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是． 【点睛】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和概率的公式是解题的关键． 20．根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $