第08讲 位似图形（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第08讲位似图形 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1位似图形的识别 题型2判断位似中心 题型3位似图形相关概念辨析 题型4求两个位似图形的相似比 题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 位似图形、位似中1.理解位似图形、位似中心、位似比的定义，区分相似与位似的关系。 心、位似比、位似变2.掌握位似图形的核心性质，理解位似变换是特殊的相似变换。 换、对应点、对应3.能根据位似要求画出图开形的放大、缩小图形，掌握基本作图方法。 边、坐标位似、放大 4.掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律，能完成坐标计算与图形 缩小相似 变换。 学习重点：位似图形、位似中心、位似比的概念、位似图形的基本性质、位似与相似的关系。 学习难点：平面直角坐标系中位以坐标的变化规律、根据位似要求作图、利用位似性质解决图形缩放 问题。 02 教材全解 ◇ 知|识|框1架 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义 两个图形不仅相似，且所有对应顶点的连线相交于同一点， 对应边互相平行或在同一直线上，这样的图形为位似图形。 位似图形定义 位似中心 对应顶点连线的公共交点；位似比：两个位似图形的 相似比。 从属关系 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 位似图形 位似图形性质 位似图形对应角相等、对应边成比例，具备所有相似图形性质。 位似中心可在图形内部、外部、边上、顶点上。 原点位似规律 以原点为位似中心，位似比为k,点(x,y)对应点为 平面直角坐标 (kx,ky)(同向位似)或(-kx,-ky)(反向位似)。 系中的位似变 换 缩放规律 k1图形放大，0<k<1图形缩小。 知|识I精|讲 知识点01位似图形定义 定义：两个图形不仅相似，且所有对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行或在同一直线上，这样 的图形为位似图形。 位似中心：对应顶点连线的公共交点；位似比：两个位似图形的相似比。 从属关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 【易错提醒】 1.只满足相似，无公共交点、无平行边，误判为位似图形。 2.混淆相似与位似的包含关系。 【方法总结】 位似三条件：相似、共点连线、对应边平行，缺一不可。 即时即练2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得 到() 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.平移 B. 翻折 C.旋转 D.位似 知识点02位似图形性质 1.对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 2.位似图形对应角相等、对应边成比例，具备所有相似图形性质。 3.位似中心可在图形内部、外部、边上、顶点上。 【易错提醒】 1.距离比不等于边长比，误解位似比含义。 2.固定位似中心位置，认知片面。 【方法总结】 位似是特殊相似，多一个“共点等距比”核心性质。 即时即练如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB与△CDE位似，则下列对两位同学说法的判断正确 的是(). VA 3 B 1234 嘉嘉：△AOB与△CDE的相似比为2：1. 淇淇：位似中心为4,4)， A.只有嘉嘉正确B.只有淇淇正确 C.两人都正确 D.两人都不正确 知识点03平面直角坐标系中的位似变换 原点位似规律：以原点为位似中心，位似比为k,点(x,y)对应点为kx,y）(同向位似)或(-x,-y) （反向位似)。 缩放规律：1k>1图形放大，0<k<1图形缩小。 3/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 1.忽略反向位似的坐标符号变化。 2.位似比大小与缩放关系混淆。 【方法总结】 坐标直接乘位似比，正负定方向，绝对值定缩放大小。 即时即练如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△些关于原点O位似，且OB=2OE,若△的周长 为2，则△ABC的周长为() B.4 c.4 D. 2 03 题型突破 题题型1位似图形的识别 【例1】下面四个图中，△ABC均与△ABC相似，且对应点交于一点；则△ABC与△ABC成位似 图形有( 图3 图4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例2】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，△ABC,△A1B1C1的顶点均 4/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为整点， 1)△ABC可经过 (填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种)的图形变化方式 ACI 得到△A,B,C1,直接写出AC的值： (②)在图中画出△A1BC1关于原点对称的△A2B,C2;若P,P2分别为AC,A,C2的中点，连接OP, OP, PP,直接写出pP,的值. 【变式1-1】下列是相似图形但不是位似图形的是() 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各顶点坐标分别是A1,0,B2,0, C2,2,D0,1,四边形BFGH的各顶点坐标分别是B2,0,F4,0,G4,4,H0,2.有 下列说法：①四边形ABCD与四边形BFGH的形状相同；②CD:GH=1:2;③CD:GH=1:V2;④连 接各对应顶点的直线相交于一点，其中说法正确的有() G 3 B F O1234 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型2判断位似中心 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例3】如图，在7×6的方格纸中，A,B,C,D是格点，线段AB是由线段CD位似放大得到的，则 它们的位似中心是() PP P3 D A B A.点P1 B.点P2 C点P3 D.点P4 【例4】如图在平面直角坐标系中，△FCD与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形. 5 31 -C 2 65432开 34 6 Ai\ 2 2 B (1)指出点P的位置并写出点P的坐标： (2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似△O1A,B1,使它与△OAB的相似比为2：1. 3)设点Ma,b为AB边上一点，则依上述变换后点M在CD边的对应点M1的坐标是 【变式2-1】如图，小华在学习了“位似”后，利用相关知识在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图 形△A1B1C1. 5 7 4-3-2-1 4 5 7 4-3 01 345 2 图1 图2 (1)在图1中标出△ABC与△A1B,C1的位似中心点M的位置（保留作图痕迹，无需说明理由）； 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)以坐标原点O为位似中心，请你帮小华在图2中画出△A1B,C1的位似图形△A2B2C2,且△A1B1C1 与△A,B,C2的位似比为2.（画出所有符合题意的图形） 012 5 -3 图2 图3 【变式2-2】如图，△ABC三个顶点坐标分别为A-4,0、B0,2、C-2,4, 3 B 5-4-3-2-1QB开 2.3.45 -4 5 1)如图，已知△ABC1是△ABC通过位似变换得到的，则位似中心为 ;△A1B1C1和△ABC 位似比为 (2)作图：请在线段AB上找一点M使得AM:BM=2:3, 题型3位似图形相关概念辨析 【例5】如图，以△ABC的顶点A为位似中心，作△ABC的位似图形△ADE.若∠C=35°，则∠E= 【例6】如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为5,3，点A,B的对应点分别为点 A,B.若AB=15,则AB的长为() 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲 乙 A.6 B.9 C.10 D.25 【变式31】一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不 同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则y=一· 2 1 【变式32】如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，按照如下步骤进行作图和操作： B D B (1)以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与AB、BC交于E、F两点： (2)分别以E、F为圆心，大于EF长的一半为半径画弧，两弧交于点P: (3)作射线BP交AC于点D; (4)绕点C按顺时针方向旋转△BCD,使点D落在线段BC的延长线上的点D处，得到△BCD.则有 下列结论：①BD=AB;②AC‖BD;③∠BCD=2∠A;④△BCD沿直线BC平移或翻折，始 终与△ABC是位似图形.其中一定正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 题型4求两个位似图形的相似比 【例7】如图，△ABC与△乙是以点O为位似中心的位似图形，若OA:OD=1,2,△ABC的周长为 2,则△的周长为() 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.4 D.8 【例8】如图，△ABC与△乙是以点O为位似中心的位似图形.若OF=3OC,则△ABC与△乙的面 积比是() E A.1:3 B.1:9 c.1:4 D.1:16 【变式41】如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB与△COD是位似图形，位似中心是原点O,若 CD=2AB,点B的坐标为2,1，则对应点D的坐标为() B A.1 B.4,2 C.6,3 D.8,4 【变式42】如图，△ABC与△乙是位似图形，位似中心为点O,且OA:AD=1:2,则△ABC与△i 的周长比为() D E A.1:2 B.2:1 c.1:3 D.3:1 题型5画已知图形放大或缩)小n倍后的位似图形 【例9】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点和点O都是格点. 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1: (2)以O为位似中心，在网格图中作△A2B2C2,使得△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1： 3)利用网格图，过点C1向A2C2画垂线C1D 【例10】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有△ABC和格点（网格线的交点）O. B (I)以点O为位似中心，在网格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△ABC,画出放大后的△ABC: (2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A1B1C1,请你画出△A1B,C1,并直接写出边AB在旋转过 程中扫过的面积。 【变式51】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个项点和点O都是格 点 1)将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1BC1,请你画出△A1B1C1. (②)以O为位似中心，作△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC的相似比为2. 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)用无刻度直尺过点C1向A2C2画垂线段C1D 【变式52】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A0,3,B2,0,C3,4. (1)在X轴上找一点P,使得AP+CP的长度最小： (②)以原点O为位似中心在第三象限画出△A1B:C1,使它与△ABC的相似比为2. 04 过关检测 一、单选题 1.如图，在△ABC外任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,连接DE,EF,DF得 到△(，则下列说法错误的是() B A.△ABC与△就是位似图形 B.四边形EFCB与△OEF的面积比是4，'1 C.△ABC与△就的周长比为2,1 D.△ABC与△就的面积比为4.1 2.如图，△ABC与△ABC是位似图形，则位似中心为() 11/15 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.点D B.点E C.点F D.点G 3.对于任意三角形而言，下列各点有可能在三角形的顶点处的是() A.三角形的外心 B.三角形的内心 C.三角形的重心 D.两个相似三角形的位似中心 4.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为点O.若△ABC的面积为40cm2, OB:OB,=2:5,则△A1BC1的面积是() A.60cm2 B.90cm2 C.100cm2 D.250cm2 5.如图，△ABC与△乙是以点O为位似中心的位似图形，若OA:OD=4:1,则△ABC与△i的面积 之比为() A.16:1 B.4:1 c.5:1 D.8:1 6.如图，右边的“E与左边的“E是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5.若BC=15,则GH的长 为() 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A A.3 B.6 C.9 D.12 7.下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是() A.= .廣 8.如图，已知△ABC与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A是OA的中点，则△ABC与 △ABC的周长比是() B A.12 B.21 C.14 D.41 二、填空题 9.已知△ABC与△就是位似三角形，且AB=3DE,则△ABC与△就的周长比为 10.如图，△ABC与△位似，位似中心是点O.若OA:AD=1:3,△ABC的面积为2，则△乙的面 积为 E 11.如图，以O为位似中心且与△ABC位似的图形编号是 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 12.如图，△AOB一△COD,原点O是它们的位似中心，若点A的坐标为2,1，点C的坐标为-4，-2， AB 则 CD 13.若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为 14.如图，△ABC与△就位似，位似中心为点O,且OA:AD=2:1,则S△ABc:S△兰的值为 D E B 三、解答题 15.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点和点O均为格点（网格线 的交点)· (1)以O为位似中心，在网格中画出△ABC的异侧位似图形△A1B,C1,且满足△ABC与△A1B1C1的位 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 似比为1：2： (2)若△ABC的面积为3cm2,求△A1B1C1的面积 16.如图，△ABC与△（位似，EB的延长线与FC的延长线交于点O,点A和点D在线段OE上. E B D 0< I)△ABC与△就的位似中心为点 2)若△ABC与△g的位似比为)，AC=3,求DF的长. (3)若∠O=20°，∠E=40°，求∠BCF的度数， 17.如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为： A-2,-4,B-6,-2,C-4,-6. Y (I)作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B,C1: (2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使它与△ABC的相似比是1：2： 3)若Mx,y是线段AB上一点，则点M的对应点M2的坐标为_， 18.如图，已知四边形ABCD,以点O为位似中心画一个四边形ABCD,使四边形ABCD与四边形 ABCD位似，且相似比为1：2（保留画图痕迹，不写画法）· 15/15 第08讲 位似图形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1位似图形的识别 题型2 判断位似中心 题型3位似图形相关概念辨析 题型4 求两个位似图形的相似比 题型5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 位似图形、位似中心、位似比、位似变换、对应点、对应边、坐标位似、放大缩小、相似 1. 理解位似图形、位似中心、位似比的定义，区分相似与位似的关系。 2. 掌握位似图形的核心性质，理解位似变换是特殊的相似变换。 3. 能根据位似要求画出图形的放大、缩小图形，掌握基本作图方法。 4. 掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律，能完成坐标计算与图形变换。 学习重点：位似图形、位似中心、位似比的概念、位似图形的基本性质、位似与相似的关系。 学习难点：平面直角坐标系中位似坐标的变化规律、根据位似要求作图、利用位似性质解决图形缩放问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 位似图形定义 定义：两个图形不仅相似，且所有对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行或在同一直线上，这样的图形为位似图形。 位似中心：对应顶点连线的公共交点；位似比：两个位似图形的相似比。 从属关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 【易错提醒】 1. 只满足相似，无公共交点、无平行边，误判为位似图形。 2. 混淆相似与位似的包含关系。 【方法总结】 位似三条件：相似、共点连线、对应边平行，缺一不可。 即时即练2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，即可得到结果．翻折、旋转可以改变方向，位似可以改变大小． 【详解】解：可以看作由如下的基本图形经过平移得到． 知识点02 位似图形性质 1. 对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 2. 位似图形对应角相等、对应边成比例，具备所有相似图形性质。 3. 位似中心可在图形内部、外部、边上、顶点上。 【易错提醒】 1. 距离比不等于边长比，误解位似比含义。 2. 固定位似中心位置，认知片面。 【方法总结】 位似是特殊相似，多一个“共点等距比”核心性质。 即时即练如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查位似中心的判断，位似比的计算，熟练掌握相关知识是关键． 根据位似的性质判断对应点和对应边，结合网格可计算出相似比，进而验证嘉嘉的说法；对应点所在的直线的交点即为位似中心，作图找到位似中心并判断坐标，即可验证淇淇的说法． 【详解】解：∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选：A． 知识点03 平面直角坐标系中的位似变换 原点位似规律：以原点为位似中心，位似比为，点对应点为（同向位似）或（反向位似）。 缩放规律：图形放大，图形缩小。 【易错提醒】 1. 忽略反向位似的坐标符号变化。 2. 位似比大小与缩放关系混淆。 【方法总结】 坐标直接乘位似比，正负定方向，绝对值定缩放大小。 即时即练如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知与相似，由得出相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与关于原点位似， ∴， ∵， ∴和的相似比是2， ∴， ∵的周长为2， ∴的周长为4． 题题型1位似图形的识别 【例1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 【例2】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2)作图见解析， 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2）解：如图即为所求； ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式1-1】下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化的知识，掌握位似图形的性质是解题的关键； 首先根据两个四边形的顶点坐标的关系，可知四边形 与四边形为位似图形，再结合位似图形的性质分析判断各说法，即可解题． 【详解】解：根据各点坐标可看出四边形横纵坐标都乘2得到四边形，所以两个四边形形状相同，故①正确． 四边形边长扩大2倍为四边形的边长，所以，故②正确，③不正确． 由图知， 连接各个对应顶点的直线相交于点O，故④正确， 综上所述，说法正确的有①②④共3个 故选：C． 题型2 判断位似中心 【例3】如图，在的方格纸中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似中心，注意根据位似图形的性质求解是关键．连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． 【详解】∵如图，连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：C． 【例4】如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了位似的作图、坐标与图形等知识． (1)连接、并延长，交于点，点即为位似中心，借助网格可知点的坐标是； (2)延长到，使，延长到，使，连接点、、得到，即为所求； (3)根据点的坐标是，点的坐标是，可知与的位似比是，设点的坐标是，根据位似三角形的性质可得，解方程求出、即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示， 连接、并延长，交于点， 点即为位似中心， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，延长到，使， 延长到，使， 连接点、、得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，点的坐标是，点的坐标是， 位似中心点的坐标是， 位似比是， 点为边上一点， 设点的坐标是， 则有， 解得：，， 点的坐标是． 故答案为：． 【变式2-1】如图，小华在学习了“位似”后，利用相关知识在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由）； (2)以坐标原点为位似中心，请你帮小华在图2中画出的位似图形，且与的位似比为2．（画出所有符合题意的图形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者，也考查了位似的性质． （1）连接、、，它们的交点即为M点； （2）把、、点的横纵坐标都除以2或得到点、、的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作； （2）解：如图，即为所作． 【变式2-2】如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，已知是通过位似变换得到的，则位似中心为________；和位似比为________； (2)作图：请在线段上找一点使得． 【答案】(1)点， (2)作图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似定义，连接、、交于点，可确定位似中心，由对应边长之比求出和位似比即可； （2）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：连接、、交于点， 则位似中心为点； 和位似 位似比为对应边长之比，即 因此位似比为， 故答案为：点，； （2）解：作图如下： 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3位似图形相关概念辨析 【例5】如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 【例6】如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 【变式3-2】如图，在中，，，按照如下步骤进行作图和操作： （1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与、交于E、F两点； （2）分别以E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线交于点D； （4）绕点C按顺时针方向旋转，使点D落在线段的延长线上的点处，得到．则有下列结论：①；②；③；④沿直线平移或翻折，始终与是位似图形．其中一定正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由作图得，平分，则，通过等边对等角得，绕点C按顺时针方向旋转，使点D落在线段的延长线上的点处，得到，所以，，从而判断②③；连接，证明，则，可判断①；通过位似图形定义即可判断④． 【详解】解：由作图得，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵绕点C按顺时针方向旋转，使点D落在线段的延长线上的点处，得到， ∴，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵，, ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵绕点C按顺时针方向旋转，使点D落在线段的延长线上的点处，得到， ∴， ∴， ∴沿直线平移或翻折，始终与是位似图形，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 题型4 求两个位似图形的相似比 【例7】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据位似图形的性质，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出的周长． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∵的周长为2，相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为 【例8】如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，，即可得到，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴与的面积比为． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似三角形的性质求点的坐标． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴与的位似比为，且B的坐标为， ∴点D的坐标为，即． 【变式4-2】如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵与是位似图形，位似中心为点O， ∴ ∴ ∴ ∴与的周长比为． 题型5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【例9】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； (2)以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； (3)利用网格图，过点向画垂线． 【答案】(1)如图，为所求； (2)如图，为所求； (3)如图，垂线为所求． 【分析】（1）将点A向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至，使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，可得，，，，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【例10】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 【变式5-1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． (2)以O为位似中心，作，使与的相似比为2． (3)用无刻度直尺过点向画垂线段． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至,使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，G，可得，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，则即为所求； （2）解：如图所示，则即为所求； （3）解：如图所示，取点E，连接，交于点D，则即为所求． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在轴上找一点，使得的长度最小； (2)以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 【分析】（1）利用轴对称性质，作点A关于x轴的对称点，连接对称点与C，与x轴交点即为所求P点． （2）位似变换中，位似中心为原点，相似比为2，则各顶点坐标乘以（第三象限为负）． 【详解】（1）解：作点A关于x轴的对称点A′(0,-3)，连接A′C，与x轴交于点P，则点P即为所求． （2）解：∵ 位似中心为原点O，相似比为2，且在第三象限， ，即， ，即， ，即， 在网格中描出三点，顺次连接即可得． 一、单选题 1．如图，在外任取一点，连接，并取它们的中点，连接得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形 B．四边形与的面积比是 C．与的周长比为 D．与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形；由中位线定理得 与相似比为，面积比为，四边形面积是减去的面积，即的倍，故二者面积比为，而非；进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故A选项正确，不符合题意； B、设的面积为， ∵是的中位线， ∴，相似比为，则的 面积为， ∵ 四边形的面积=的面积的面积 ， ∴四边形与的面积比为，故B选项错误，符合题意； C、∵点，为中点， ∴将的三边缩小到原来的得到， ∴与的周长之比为，故C选项正确，不符合题意； D、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． 3．对于任意三角形而言，下列各点有可能在三角形的顶点处的是（   ） A．三角形的外心 B．三角形的内心 C．三角形的重心 D．两个相似三角形的位似中心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心、内心、重心，位似变换，三角形的外心、内心、重心均不可能位于顶点处；但两个相似三角形的位似中心可能位于其中一个三角形的顶点上，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、三角形的外心是垂直平分线的交点，到顶点距离相等，不可能在顶点上； B、三角形的内心是角平分线的交点，总是在三角形内部，不可能在顶点上； C、三角形的重心是中线的交点，总是在三角形内部，不可能在顶点上； D、两个相似三角形的位似中心可能位于其中一个三角形的顶点上，例如以三角形的一个顶点为位似中心作位似变换， 故选：D． 4．如图，与是位似图形，位似中心为点．若的面积为，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：D． 5．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质．本题核心是理解位似图形与相似图形的关系（位似是特殊的相似），以及相似三角形面积比与相似比的数量关系（面积比为相似比的平方）．通过明确相似比，进而求出面积比是解题关键．位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离比；而相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此可逐步推导． 【详解】解： 与是以点为位似中心的位似图形，， 与的相似比为， 与的面积之比为，对应选项A．   故选：A． 6．如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似比的定义是解题的关键．根据位似图形的定义、相似比的定义计算，得到答案． 【详解】解：右边的“”与左边的“”是位似图形，A是位似中心，位似比为． ， ， ， 故选：C． 7．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． 8．如图，已知与是位似图形，点O是位似中心，若是的中点，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握位似图形的性质． 根据线段中点的性质得出，根据位似图形的性质得出，然后得出对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵与是位似图形，点O是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴与的周长比为， 故选：A． 二、填空题 9．已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵与是位似三角形，且， ∴，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 10．如图，与位似，位似中心是点．若，的面积为2，则的面积为________________ 【答案】32 【分析】本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与位似，位似中心是点．得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴， ∵与位似，位似中心是点． ∴， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为， 故答案为：32． 11．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 12．如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用位似图形点的坐标求相似比，利用位似是特殊的相似，求出相似比是，进而即可解答． 【详解】解：∵，点O是位似中心，点A的坐标为，点的坐标为，且， ∴和的位似比为，则和的相似比为， ∴． 故答案为：． 13．若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为______． 【答案】1:3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考查的． 相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方． 【详解】已知两个相似三角形的面积比为1: 9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1: 3， 故答案为1: 3． 14．如图，与位似，位似中心为点，且，则的值为______．    【答案】 【分析】本题考查位似图形及其性质．先求出两个三角形的相似比，再根据面积之比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解： ， ， 与是位似图形， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． (1)以O为位似中心，在网格中画出的异侧位似图形，且满足与的位似比为； (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了位似的作图和相似三角形的性质，正确作图是关键． （1）根据位似的作图方法作图即可； （2）根据位似图形的相似比进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：与的位似比为， 与的面积比为． 的面积为， 的面积为． 16．如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点__________． (2)若与的位似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)O (2) (3) 【分析】本题考查位似变换的概念、相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）由图形结合位似图形定义直接得出结论； （2）由与的位似比为，可得，再求的长即可； （3）根据位似图形的性质先求出的度数，再根据三角形外角的性质求出结论即可． 【详解】（1）解：与的位似中心为点O； （2）解：与的位似比为，， ， ； （3）解：∵与位似，， ， ， ． 17．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于x轴对称的图形； （2）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出缩小后的图形； （3）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵原点O为位似中心，位似比为， ∴点的对应点的坐标为， 故答案为：． 18．如图，已知四边形，以点为位似中心画一个四边形，使四边形与四边形位似，且相似比为（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】 【分析】连接，，，，使得，，，，连接，，，即可． 【详解】解：答案不唯一. 如图，画法如下： （1）连接，，，， （2）分别在射线，，，上取点，，，，使得， （3）顺次连接，，，，得到的四边形即为所求. 【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $