第09讲 图形与坐标（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

第09讲 图形与坐标 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1实际问题中用坐标表示位置 题型2 用方向角和距离确定物体的位置 题型3根据方位描述确定物体的位置 题型4 利用相似求坐标 题型5 求位似图形的对应坐标 题型6在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型7在坐标系中画位似图形 题型8在坐标系中画位似中心 题型9坐标与图形综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平面直角坐标系、横坐标、纵坐标、点的坐标、图形平移、图形对称、图形旋转、位似坐标变化、距离计算 1. 熟练掌握平面直角坐标系的基本概念，能准确读写点的横、纵坐标。 2. 掌握点与图形的平移、对称、旋转的坐标变化规律，能完成图形变换计算。 3. 结合位似知识，掌握坐标系下位似图形的坐标变化特征。 4. 能利用坐标求解线段长度、图形位置关系，实现几何图形与坐标的结合应用。 学习重点：平面直角坐标系的基本应用、图形平移、对称、旋转、位似的坐标变化规律。 学习难点：多种图形变换结合的坐标综合计算、利用坐标求解线段长度与图形位置关系、几何与坐标的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平面直角坐标系基础 组成：由水平x轴、竖直y轴、原点、四个象限构成。 点的表示：平面内任意一点用有序数对表示。 象限符号：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)，坐标轴上的点不属于任何象限。 【易错提醒】 1. 横纵坐标书写颠倒。 2. 误将坐标轴上的点归为象限点。 【方法总结】 先横后竖看坐标，按符号判象限，轴上点无象限。 即时即练从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，结合“红边门”的坐标为，进一步求解即可. 【详解】解：∵“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，“红边门”的坐标为， ∴“文昌阁”的横坐标比“红边门”的横坐标小，“文昌阁”的纵坐标比“红边门”的纵坐标大， ∴A，B，C,不符合题意；D符合题意. 知识点02 图形变换的坐标规律 平移：左右平移变横坐标（左减右加），上下平移变纵坐标（下减上加）。 对称：关于x轴对称，横不变、纵变号；关于y轴对称，纵不变、横变号。 旋转、位似：旋转看角度变换，位似按比例缩放坐标。 【易错提醒】 1. 平移加减方向颠倒，对称坐标符号变化记反。 2. 多种变换叠加时，顺序混乱导致结果错误。 【方法总结】 变换分步计算，先平移后对称、先旋转后缩放，一步一算不混乱。 即时即练如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似的性质、相似三角形的判定与性质，由题意可得，由位似的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质可得，即可推出与的相似比为，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点C的横坐标为1，点F的横坐标为3， ∴， ∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点E的坐标是， 故选：A． 知识点03 坐标几何应用 1. 可利用坐标计算水平、竖直线段长度。 2. 可判断图形位置、形状、变换后对应点坐标。 【易错提醒】 坐标求长度漏取绝对值，出现负数长度 【方法总结】 坐标求长度，差值取绝对值，几何问题代数化求解。 即时即练中，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图方式滚动，则滚动2025次后，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先计算，结合三角形滚动规律为每3次一循环，每滚动3次，点横坐标增量恰好为的周长，求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 此时点B的坐标为； 第1次滚动后，点B的坐标为，即； 第2次滚动后，点B的坐标不变； 第3次滚动后，点B的坐标为，即； 根据图象可得三角形滚动规律为每3次一循环，每滚动3次，点横坐标增量恰好为的周长， ∵， ∴滚动2025次后，点的横坐标为， 故点的坐标为． 题型1实际问题中用坐标表示位置 【例1】敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠”之称．如图是敦煌的个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为，则三危山景区的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：如图， ∴三危山景区的坐标为． 【例2】如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，使“崇”，“明”所在位置的坐标分别是、，则“岛”的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系如下： “岛”的坐标是． 【变式1-1】如图，这是一所学校的平面示意图，已知教学楼的位置坐标为（小正方形的边长代表长）．则校门的位置坐标为_________，图书馆的位置坐标为_________，实验楼的位置坐标为_________． 【答案】 【分析】以国旗杆为坐标原点建立坐标系写出校门，图书馆，实验楼的坐标即可． 【详解】解：以国旗杆为坐标原点建立坐标系， ∴校门的坐标为，图书馆的坐标为，实验楼的坐标为． 【变式1-2】某公园部分景点位置都在如图所示的正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示听雨轩的点的坐标为，表示荷花池的点的坐标为，则表示月季园的点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及轴、轴的位置，进而根据网格结构确定待求点的坐标． 【详解】解：由听雨轩的点的坐标为可知，轴经过听雨轩所在的竖直直线，且原点位于听雨轩上方2个单位长度处； 由荷花池的点的坐标为可知，轴位于荷花池右侧2个单位长度处，轴位于荷花池下方1个单位长度处； 综合上述信息可确定平面直角坐标系的原点位置， 观察网格图可知，月季园的点的坐标是． 题型2 用方向角和距离确定物体的位置 【例3】要确定在你家周围北偏东的某一地点，还需要知道________． 【答案】那一地点到“你”家的距离 【详解】解：根据平面内确定位置的三要素：观测点、方位角、距离可知，还需要知道：那一地点到“你”家的距离． 【例4】如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为个单位长度的正方形）．小芳和妈妈在游玩的过程中，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小芳：“‘竹海听风’的坐标为”． 妈妈：“‘桃花源’位于原点的东北方向”． 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标； (2)若“松韵亭”的坐标为，“碧波潭”的坐标为，请在平面直角坐标系中用点，表示这两个景区的位置； (3)如果个单位长度代表长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“桃花源”的位置． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图：“荷塘月色”的坐标为 (2)点，如图 (3)“碧波潭”在“桃花源”的正南方向，距离桃花源处 【分析】（1）根据“竹海听风”的坐标建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标即可； （2）在坐标系中描点即可； （3）根据桃花源坐标，碧波潭，即可解答； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由坐标系可得桃花源坐标为，碧波潭， 两点横坐标相等，因此碧波潭在桃花源的正南方向； 纵向距离为个单位长度，实际距离为， 故碧波潭在桃花源的正南方向，距离桃花源处． 【变式2-1】小华家在学校北偏东方向200米处，那么学校在小华家的（    ） A．北偏东方向200米处 B．南偏西方向200米处 C．西偏南方向200米处 D．北偏西方向200米处 【答案】B 【分析】本题考查位置与方向的相对性，解题关键是掌握观测点互换时，方向相反，角度和距离不变的规律，根据南北相对，东西相对变换方向即可求解． 【详解】解：根据位置相对性可知，交换观测点后，方向相反，角度和距离保持不变， ∵小华家在学校北偏东方向米处，北与南相对，东与西相对， ∴学校在小华家南偏西方向米处． 【变式2-2】[问题背景]如图①是学校教学楼的平面示意图，每个小方格的边长为1个单位长度，表示的距离，若以正东为x轴的正方向，正北为y轴的正方向建立平面直角坐标系，得到明德楼的坐标是，致远楼的坐标为． 【问题解决】 (1)若建立平面直角坐标系，则原点的位置为______（填写建筑物名称）；知行楼的坐标为______； (2)若利用方向角和距离，如图②，以明德楼为基准点，知行楼在明德楼的北偏西，距离处，记为（北偏西，），进一步使用测量工具并换算，可将启智楼的位置记为______； (3)【拓广延伸】若下课后小华同学以的平均速度从致远楼步行至知行楼，请问需要多长时间？ 【答案】(1)清源楼， (2)（北偏东，） (3)需要400秒 【分析】（1）根据明德楼的坐标是，致远楼的坐标为找到原点坐标，建立平面直角坐标系，即可解答； （2）由网格的特征得，，，求出，即可解答； （3）先根据图象距离求出实际距离，再利用时间路程速度即可解答． 【详解】（1）解：由题意，如图，建立平面直角坐标系， 则原点的位置为清源楼；知行楼的坐标为； （2）解：如图， 由网格的特征得，，， ∴， ∴启智楼的位置记为（北偏东，）； （3）解：由图知致远楼到知行楼的图上距离为，则实际距离为， （秒）， 答：需要秒． 题型3根据方位描述确定物体的位置 【例5】2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 【例6】春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区，四子王旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装．以下能准确描述四子王旗位置的是（   ） A．乌兰察布市的西北方向 B．距离包头249公里 C．北纬，东经 D．与武川县相邻 【答案】C 【详解】解：A选项仅给出方向，缺少其他数据，无法确定准确位置； B选项仅给出距离，缺少其他数据，无法确定准确位置； C选项给出北纬和东经两个确定的数据，可以准确确定四子王旗的位置； D选项仅说明相邻关系，无法确定准确位置． 【变式3-1】根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．亳州中药城南 B．解放路中段 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【详解】解：A、描述的是一个区域，不能准确定位； B、描述的是一个路段，不能准确定位； C、只有一个方向，没有距离，不能准确定位； D、根据经度和纬度可以准确定位. 【变式3-2】根据下列表述，能确定准确位置的是（　　） A．万达影城6号厅1排 B．昭乌达路中段 C．南偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】确定准确位置需要两个可唯一标识位置的有序数据，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项只给出影城厅数和排数，未明确具体座位，无法确定准确位置； B选项“昭乌达路中段”范围模糊，没有精准定位数据，不能确定准确位置； C选项仅有方向，缺少距离等关键数据，无法确定准确位置； D选项东经与北纬是一组有序的定位数据，可确定唯一的准确位置． 所以能确定准确位置的是D选项． 题型4 利用相似求坐标 【例7】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限，过点作轴于点，线段，的长是一元二次方程的两根，，． (1)求点A，的坐标； (2)反比例函数的图象经过点，求的值； (3)在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，A为顶点的三角形相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，点； (2)； (3)存在5个满足条件的点，坐标为或或或或． 【分析】（1）根据完全平方公式化简，用直接开平方法求出方程 的两根，从而得出，进而得出A、C两点的坐标； （2）过点B作，垂足为E， 根据等角对等边得到， 设，在中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出、的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的k值； （3）存在．当点P在上，若，根据相似三角形对应边成比例得出，列出方程，求解即可得出P点的坐标；当点P在上方，若， 根据相似三角形对应边成比例得出，则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；若，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；当点P在y轴负半轴，，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴ ， ∴， （2）如图1，过点作于点． ∵中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中， ∵ ∴， 解得或8， ∵， ∴舍去， ∴， ∴ ， ∴点坐标为， 把代入， 可得， 解得； （3）5个满足条件的点． ①当点在上，如图2，， ∴， ∴， 解得或， 故或； ②当点在的延长线上，若，如图3， ∴， ∴， 解得，故； 若，如图4， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 故； ③当点P在y轴负半轴，如图5， ， ∴， ∴， 解得： 或 (不合题意舍去)， ∴P点坐标为 综上所述，点的坐标为或或或或． 【例8】在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上， ∴，， ∵CE⊥x轴， ∴，， ∵在矩形OABC中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设点A坐标为，则点C坐标为， 连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点A坐标为， 故选A． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴的交点为点，且经过点、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，过点作轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或． 【分析】（1）由直线可得B、C两点的坐标，根据二次函数的对称轴求得A点坐标，然后利用待定系数法即可得； （2）根据绝对值的性质得出的值最小时，点为BC的垂直平分线与直线的交点，求得BC垂直平分线的解析式，联立直线即可求得点； （3）分四种情况进行讨论，设出N的坐标，根据相似三角形的对应边成比例的性质，求得N的横坐标与纵坐标的关系，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当y=0时，即，解得：x=4，则点B的坐标为， 当x=0时，，则点C的坐标为， 由二次函数的对称性可知：点与点关于直线对称， ∴点A的坐标为， 将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）如图1，连结CM、BM，作线段BC的垂直平分线分别交BC、直线于点，则N为BC中点； 由绝对值的性质可得：， ∴当的值最小时，即，则此时， ∴点M为与直线的交点，此时与重合， 设的解析式为：， ∵直线BC的解析式为：， ∴，解得：， 则的解析式可化为：， 由得点N的坐标为， 将代入得：，解得：， ∴， 将代入，得，即， ∴当的值最小时，点的坐标为， （3）抛物线上存在点，使得以点为顶点的三角形与相似； ∵ ∴，，， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， ∵轴， ∴，则， 如图2所示，分四种情况，点的坐标分别为，设点的坐标为， ①当点在x轴的上方，要使，则， 则此时点与点C重合，则此时点与点O重合， 则，满足题意， ∴此时点的坐标为； ②当点在x轴的上方，要使，则， ∴，即，代入抛物线的解析式得： ，化简得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 将代入抛物线解析式得：， ∴此时点的坐标为； ③当点在x轴的下方，要使，则， ∴，即，代入抛物线的解析式得： ，化简得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 将代入抛物线解析式得：， ∴此时点的坐标为； ④当点在x轴的下方，要使，则， ∴，即，代入抛物线的解析式得： ，化简得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 将代入抛物线解析式得：， ∴此时点的坐标为； 综上，抛物线存在点N的坐标为或或或，使得以点为顶点的三角形与相似． 题型5 求位似图形的对应坐标 【例9】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘以或，结合题目中在第一象限的条件，即可求出对应点坐标． 【详解】解：∵的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内， ∴点的对应点的坐标为，即． 【例10】如图，在平面直角坐标系中，已知，，和是以原点为位似中心的位似图形．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，且，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 【变式5-1】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请使用无刻度直尺按照要求作出图形，保留作图痕迹． (1)①以点O为位似中心，在第三象限内画出将放大到原来的2倍后得到的，点A，B，C的对应点分别为点； ②若点为内的一点，则点M的对应点M'的坐标为 ； (2)若y轴上存在一点P，使得的值最小，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)①画图见解析；② (2)画图见解析 【分析】（1）①根据位似比，确定坐标后，画图即可；②根据位似的性质求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：①如图，为所求， ； ②点M的对应点的坐标为； （2）解： 如图，点P为所作． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，已知点，，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】或/或 【分析】本题考查位似变换的性质，根据以原点为位似中心，对应点的坐标等于原坐标乘以相似比或负相似比，计算即可求解． 【详解】解：根据位似变换的性质，点的对应点的坐标为，或． 题型6在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例11】如图，每个小方格都是单位正方形，与是位似图形，点O是位似中心，是由的边扩大为原来的___倍得到的． 【答案】2 【分析】根据点O是位似中心，则连接并延长经过点，然后利用网格和勾股定理求出和，进而得到位似比，即可解答． 【详解】解：根据题意，连接并延长经过点，如下图所示： ∵点，， ∴，， ∴位似比为， 即是由的边扩大为原来的倍得到的． 【例12】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】先求出，根据题意可得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，(．若的长为10，则的长为______． AI 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：∵，且相似比为， ∴． 题型7在坐标系中画位似图形 【例13】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图为所求： (2)解：如图为所求： (3)和是位似图形； 点M的坐标为． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解． （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解． （3）根据位似图形的定义即可判断，连接对应点的交点即为位似中心点，写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：和是位似图形；图略， 由图可得点M的坐标为． 【例14】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为（的对应点分别为） (2)在（1）的条件下，直接写出点的坐标，并求出的面积． 【答案】(1)解：如图，即为所求． (2)，的面积为． 【分析】（1）直接利用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可画出图形； （2）根据（1）中作图，即可写出点的坐标，用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得点； ． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于y轴对称的，并直接写出点的坐标； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． （1）分别作出点关于y轴对称的点的坐标，再顺次连接即可； （2）将点的横纵坐标分别乘以即可得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： 由图可得，点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求： 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务： (1)和关于y轴对称，画出； (2)若与是关于原点O为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出； (3)已知，则点坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图——位似变换、轴对称变换，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作点关于轴的对称点，然后连线即可； （）由（）及位似的性质进行作图即可； （3）根据平面直角坐标系写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由平面直角坐标系可得：点坐标为 故答案为：． 题型8在坐标系中画位似中心 【例15】已知， 在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点 P 为位似中心的位似图形． (1)请写出点P的坐标是 ． (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出 的位似图形，使相似比为； (3)若点为 内一点，则点M在内的对应点的坐标为 ． 【答案】(1) (2) 如图，即为所求； (3) 【分析】本题考查位似变换，（1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接、、，并延长相交于点P， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为， 故答案为：． 【例16】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧按放大，画出的一个位似； (2)画出将向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的； (3)与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)与是位似图形，图见详解，点是位似中心 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键； （1）分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可； （2）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （3）连接，，由交点可得位似中心，从而可得答案. 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：如图，即为所作图形； （3）解：由作图可知，，是相似三角形， 又因为对应点所连直线经过同一个点， 所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为． 【变式8-1】．图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求与的相似比； (3)以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 【答案】(1)作图见解答过程 (2) (3)作图见解答过程 【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为； （3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：与的位似比等于； （3）解：如图所示，即为所求． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、 是的边上一点． (1)画出将向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的，并写出点A、P的对应点的坐标； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、P的对应点的坐标； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)是，图见解析， 【分析】本题考查坐标与图形变换---平移和位似，熟练掌握平移规则，位似的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则画出，进而写出对应点的坐标即可； （2）根据位似的性质，画出，进而写出对应点的坐标即可； （3）连接，并延长，交点即为点，进而写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图和题意，可知：； （2）如图，即为所求； ∵与的相似比为， ∴ （3）和关于某点为位似中心的位似图形，如图，位似中心即为所求； 由图可知：． 题型9坐标与图形综合 【例17】如图，三角形中， A，B，C的坐标分别为，，，将这个三角形先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)求三角形的面积 (3)在y轴上是否存在点M，使得三角形的面积为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)解：将三角形先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到三角形，如图即为所求； (2) (3)或 【分析】（1）先根据平移的性质确定点，，的位置，然后连线即可； （2）由割补法求解即可； （2）设点得坐标为，根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： （3）解：设点的坐标为， 三角形的面积为3， ， 解得：或， 点得坐标为或． 【例18】如图，在矩形中，，E是上一点，连接，将沿着折叠后，点A的对应点刚好落在的中点处，是的中点，G是的中点，连接，求________． 【答案】 【分析】由题意易得，则有，由折叠的性质可知：，然后根据三角函数可得，则有，以点为坐标原点，为轴，轴，由已知条件可得，进而根据两点间距离公式及中点坐标公式可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 以点为坐标原点，为轴，轴，如图所示： ∴， ∵G是的中点， ∴根据中点坐标公式可得，即， ∴根据两点间距离公式可得． 【变式9-1】在平面直角坐标系中， (1)判断的形状； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形 (2)15 【分析】（1）由可知平行y轴、平行x轴即可确定的形状； （2）先求得、，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴平行y轴， ∵， ∴平行x轴， ∴， 是直角三角形． （2）解：∵， ∴，， ∴． 【变式9-2】在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：任意两点 ，我们将称为点A与点B的“横2倍直角距离”，记作． 例如：点与的“横2倍直角距离”为． (1)已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是 ； (2)已知点，若点P与原点O的“横2倍直角距离”，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形． (3)已知点，，点是x轴上的一个动点，正方形的顶点坐标分别为，，，．若线段上存在点T，正方形上存在点Q，使得，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）分别求出三个点与原点的“横2倍直角距离”，即可得到等于6的点； （2）求出点P与原点O的“横2倍直角距离”表达式，，根据的取值，去掉绝对值号，化简得到直线方程，根据取值范围，坐标轴交点，即可得到图形； （3）设，，，因为，根据的取值分情况讨论，求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， 与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是：． （2）解： ， 分情况，去绝对值， ①，，即，在第一象限，坐标轴交点； ②，，即，在第二象限，坐标轴交点； ③，，即，在第三象限，坐标轴交点； ④，，即，在第四象限，坐标轴交点． 在直角坐标系中，画出这几条线段，效果如下 （3）解：设，，则， 根据题意得 ， 分两种情况讨论， ①当时， ， 当取最大值2，在点取得最大值，即时，取得最大值，如下图 ，解得， 当取最小值1，在点取得最小值，即时，取得最小值，如下图 ，解得 ． ②时， ， 当取最大值2，在点取得最大值，即时，取得最大值，如下图 ，解得， 当取最小值1，在点取得最小值，即时，取得最小值，如下图 ，解得， ， 综上所述，m的取值范围为：或． 一、单选题 1．河南嵖岈山享有 “华夏盆景”“ 中州独秀”“中原石林”的美誉．下列信息能确定嵖岈山具体位置的是（    ） A．驻马店市遂平县 B．在郑州市南偏西方向 C．东经，北纬 D．距郑州市直线距离180公里 【答案】C 【分析】本题考查确定具体位置的条件，依据初中数学中确定平面内点的位置需要唯一定位信息的知识点来判断选项即可． 【详解】A选项，“驻马店市遂平县”覆盖范围广，无法锁定嵖岈山的具体位置． B选项，仅给出方向，缺少距离信息，不能唯一确定位置． C选项，东经、北纬是唯一的地理坐标，可精准确定嵖岈山的具体位置． D选项，仅给出距离，缺少方向信息，不能唯一确定位置． 故选：C． 2．如图，小明家位于学校（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题主要考查方位角，地球南北方向与观测者观测物体的视线方向的夹角称为方位角，据此根据图形直接求解即可． 【详解】解：学校所在位置为观测者所在位置，小明家为被观测物体，所以小明家位于学校北偏东方向上． 故选：D 3．如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，则与轴正方向所夹锐角的正切值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内锐角三角函数的定义，灵活运用正切的定义是解题的关键．根据正切的定义，在直角三角形中，锐角的正切值等于对边与邻边的比值，进而求出与轴正方向所夹锐角的正切值． 【详解】解：过点作轴， 则，， ． 故选：． 4．振湖塔位于肥东县六家畈潜溪村，被誉为“合肥版比萨斜塔”，因地宫被盗致地基不稳而倾斜，是合肥地区仅存的清代密檐式砖塔．如图，小明一家前去参观，小明站在点处，振湖塔在点处，则从点看点的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏西 C．北偏西 D．南偏东 【答案】A 【分析】本题考查的是方向角，准确理解方向角的定义及确定物体间相对位置是解题的关键，根据图中的角度标识及方位角的判定规则，确定从点看点的方位． 【详解】解：由图可知，从点看点的方向是南偏东． 故选：． 5．如图，，，以点为位似中心作的位似图形，使它与的相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据位似比，分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴当点在线段上时，点的坐标为， 即为； 当点在线段的反向延长线上时，点关于原点对称的点的坐标为， ∴点的坐标为， 即为； 故选：D． 6．下列叙述中，能确定位置的是（   ） A．学校的西北方向 B．北偏西的方向 C．距离学校 D．校门向西走，再向南走 【答案】D 【分析】题目主要考查确定具体位置的方法，确定平面内的位置需要明确的参照点、方向和距离，依据此条件判断各选项． 【详解】解：∵平面内确定一个点的位置，必须有参照点、明确的方向与距离， A选项给出方向和参照点，无距离，不能确定位置； B选项仅给出方向，无参照点和距离，不能确定位置； C选项给出距离和参照点，无方向，不能确定位置； D选项有参照点“校门”，且有清晰的方向和距离，能确定位置， 故选：D． 7．我们知道：确定位置一般需要两个数据，在实际生活中，也可以用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，若规定逆时针方向旋转为正角度（），顺时针方向旋转为负角度（），则可以确定点的位置如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似的，点可以记为．由此判断以下点的位置标记正确的应该是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了用坐标确定位置，根据“角度距离”的方法逐项判断即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：、点中数对位置颠倒，标记错误，不符合题意； 、点表示从开始顺时针方向旋转，与点相距，与图中位置不符，标记错误，不符合题意； 、点表示从开始逆时针方向旋转，与点相距，与图中位置相符，符合题意； 、点表示从开始逆时针方向旋转，与点相距，与图中位置不符，标记错误，不符合题意； 故选：． 8．在平面直角坐标系中，已知点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点，将点A绕点B逆时针旋转得到点，若点在y轴上，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，过点A作轴于点C，则，可证明，得到，再根据点A和点B的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点C，则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为第二象限内一点，点为x轴正半轴上一点， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．点，之间的距离为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了坐标与图形的性质． 根据点，的纵坐标均为0可知两点都在x轴上，据此求解即可． 【详解】解：∵点，的纵坐标均为0， ∴点，都在x轴上， ∴， 故答案为：8． 10．将平遥古城景区的平面示意图放入如图所示的正方形网格内，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，其中A、B、C分别代表县衙、文庙和市楼的位置，且都在格点处，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________．    【答案】 【分析】本题考查坐标确定位置，根据点A的坐标和点C的坐标，可以在图中画出相应的坐标系，然后写出点B的坐标即可，解答本题的关键是明确题意，建立合适的平面直角坐标系． 【详解】解：由题意可得，建立平面直角坐标系如图：    由图可得：点的坐标为， 故答案为：． 11．中国象棋文化历史久远．运城市开展了以“纵横之间有智慧，攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“兵”位于点，那么“马”在同一坐标系下的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标确定，解题的关键是根据已知点的坐标明确坐标系的单位长度与轴的方向，再结合图形准确确定“马”的位置． 以“帅”的坐标为基准，结合“兵”的坐标确定x轴（水平向右为正方向）、y轴（竖直向上为正方向）的单位长度为1；再根据“马”与“帅”的水平位置关系，计算“马”的坐标． 【详解】解：已知“帅”位于，“兵”位于，可知x轴水平向右为正方向、y轴竖直向上为正方向，每格对应1个单位长度．如图所示： 观察图形，“马”与“帅”在同一水平线上（y值均为），且在“帅”的右侧3格处， 则“马”的横坐标为，纵坐标为， 故“马”的坐标是． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，由于轴，因此点M和点N的横坐标相等，据此列出方程求解m的值，进而可求出点M的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴点M和点N的横坐标相等，即， 解得， 将代入点M的纵坐标，得， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 13．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中，将矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，点B′恰好落在x轴上，线段与的交点E的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的变换以及等腰三角形的性质的运用，解题时注意题中辅助线的作法．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 连接，根据矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，可得BD＝B'D，再根据，即可得到，再判定，得到，设，则，根据中， ，可得，求得x的值即可得到点E的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵中，， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：． 14．已知点和点，且轴，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．由于线段平行于轴，因此点和点的纵坐标相等，据此列出方程求解的值，再代入点的坐标表达式即可． 【详解】因为轴， 所以点和点的纵坐标相等， 即， 解得． ∵点的坐标为， ∴代入，得，， 所以点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 15．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点在轴正半轴上，，过点作轴的垂线，点为直线上一动点． (1)求的值； (2)设的面积为，请对应写出与之间的关系式； 当点在轴上方时，______（）；当点在轴下方时，______（______）； (3)作的平分线交轴正半轴于点，是否存在这样的值，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求的值，并直接写出使得四边形为平行四边形的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)存在，，；， 【分析】（）利用点的坐标得到，在中，根据勾股定理结合，计算出的长度，从而求出的值； （）作直线于点， ，分点在轴上方时和点在轴下方时两种情况，确定底的长度，代入三角形面积公式，推导出与的关系式； （）分和两种情况，均先利用：以为底边的等腰三角形性质作垂线，得到被平分；再结合是的角平分线，通过证明三角形全等，推出；接着用勾股定理算出，再结合，分别根据在轴上方、下方的位置关系求出的长度，得到或，最后根据平行四边形的性质求出对应点的坐标． 【详解】（1）解：由题意：， ∴； 在中，由勾股定理： ∴； （2）解：作直线于点， ， 当点在轴上方时，此时，即：， ， 当点在轴下方时，此时，即：， ； （3）解：存在， 当时，如图，作于，直线于点，则 ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形的点的坐标； 当时，如图，作于，直线于点， ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形的点的坐标， 综上：当或时，是以为底边的等腰三角形；分别对应或． 16．如图，的顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，点在反比例函数的图象上，． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)把绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点处，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于点C，可推出，，则；由旋转的性质可得，则可得到三点共线，进而可得． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于点C，则， ∴，； ∴； ∵把绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点处， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴． 17．如图，在的正方形网格中，假定某学校的大门所在位置的坐标为，图书馆所在位置的坐标为． (1)结合所给条件，画出平面直角坐标系； (2)写出教学楼、实验楼、行政楼、操场所在位置的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)教学楼所在位置的坐标为，实验楼所在位置的坐标为，行政楼所在位置的坐标为，操场所在位置的坐标为． 【分析】（1）根据大门和图书馆所在位置的坐标确定坐标轴的原点、轴以及轴，即可画出平面直角坐标系； （2）根据（1）所得直角坐标系直接写出坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下图； （2）解：由（1）可知，教学楼所在位置的坐标为，实验楼所在位置的坐标为，行政楼所在位置的坐标为，操场所在位置的坐标为． 18．詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出； (2)画出关于轴对称的． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）根据位似图形的作图方法作图即可． （2）根据轴对称的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 19．网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【答案】(1)图形见解析 (2)见解析； 【分析】（1）位似中心为点，根据位似比，连接，，，并反向延长一倍，在轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点，的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）解：图形如下：即为所求． （2）解：∵点的坐标为， ∴点， ∵按放大得到， ∴点的对应点的坐标为：；点的对应点的坐标为：． 故答案为：；． 20．如图标明了李华家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李华从家里出发，经过了点，，，写出他路上经过的地方． 【答案】(1)学校的坐标为，邮局的坐标为； (2)李华经过的地方依次为：商店、公园、汽车站． 【分析】本题主要考查坐标确定位置，需根据平面直角坐标系中各点的位置确定坐标，以及根据坐标确定对应的位置． （1）根据点的坐标定义，在平面直角坐标系中，即可确定学校和邮局的坐标； （2）根据点的坐标以及结合平面直角坐标系中的图形，即可确定李华经过的地方． 【详解】（1）在平面直角坐标系中，根据点的坐标定义，学校的横坐标是，纵坐标是，所以学校坐标为，邮局的横坐标是，纵坐标是，所以邮局坐标为． （2）先明确李华经过的各点坐标，再结合平面直角坐标系中的图形，找到与这些坐标对应的位置，点对应商店，点对应公园，点对应汽车站． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第09讲图形与坐标 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1实际问题中用坐标表示位置 题型2用方向角和距离确定物体的位置 题型3根据方位描述确定物体的位置 题型4利用相似求坐标 题型5求位似图形的对应坐标 题型6在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型7在坐标系中画位似图形 题型8在坐标系中画位似中心 题型9坐标与图形综合 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 平面直角坐标系、横1.熟练掌握平面直角坐标系的基本概念，能准确读写点的横、纵坐标。 坐标、纵坐标、点的2.掌握点与图开形的平移、对称、旋转的坐标变化规律，能完成图形变换计 坐标、图形平移、图算。 形对称、图形旋转、 3.结合位似知识，掌握坐标系下位似图形的坐标变化特征。 位似坐标变化、距离4.能利用坐标求解线段长度、图形位置关系，实现几何图形与坐标的结合应 计算 用。 学习重点：平面直角坐标系的基本应用、图形平移、对称、旋转、位似的坐标变化规律。 学习难点：多种图形变换结合的坐标综合计算、利用坐标求解线段长度与图形位置关系、几何与坐标 的综合应用。 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇ 知|识|框|架 组成一由水平x轴、竖直y轴、原点、四个象限构成。 平面直角坐标 点的表示 平面内任意一点用有序数对（横坐标x,纵坐标y)表示。。 系基础 象限符号 一(+，+、二(，+以、三(，小、四(+，)，坐标轴上的点不 属于任何象限。 平移 左右平移变横坐标（左减右加），上下平移变纵坐标（下减上加）。 图形变换的坐 关于x轴对称，横不变、纵变号：关于y轴对称，纵不 图形与坐标 对称 标规律 变、横变号。 旋转、位似 旋转看角度变换，位似按比例缩放坐 标。 可利用坐标计算水平、竖直线段长度。 坐标几何应用 可判断图形位置、形状、变换后对应点坐标。 知|识|精1讲 知识点01平面直角坐标系基础 组成：由水平x轴、竖直y轴、原点、四个象限构成。 点的表示：平面内任意一点用有序数对（横坐标x,纵坐标y表示。 象限符号：一(+，+)、二(，+)、三(，-)、四(+，-)，坐标轴上的点不属于任何象限。 【易错提醒】 1.横纵坐标书写颠倒。 2.误将坐标轴上的点归为象限点。 【方法总结】 先横后竖看坐标，按符号判象限，轴上点无象限。 即时即练从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵 阳城环绕.若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为 2/23 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -1,2,则“文昌阁”的坐标可以表示为() 文昌阁 红边门 六广门 A.-5,1 B.-1,6 c.-3,2 D.-3,6 知识点02图形变换的坐标规律 平移：左右平移变横坐标（左减右加)，上下平移变纵坐标（下减上加）。 对称：关于x轴对称，横不变、纵变号；关于y轴对称，纵不变、横变号。 旋转、位似：旋转看角度变换，位似按比例缩放坐标。 【易错提醒】 1.平移加减方向颠倒，对称坐标符号变化记反。 2.多种变换叠加时，顺序混乱导致结果错误。 【方法总结】 变换分步计算，先平移后对称、先旋转后缩放，一步一算不混乱。 即时即练如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△就是以原点O为位似中心的位似图形，己知点C的 横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为3,1，则点E的坐标是() D A.9,3 B.(6,2 C.6,3 D.9,2 知识点03 坐标几何应用 1.可利用坐标计算水平、竖直线段长度。 2.可判断图形位置、形状、变换后对应点坐标。 3/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 坐标求长度漏取绝对值，出现负数长度 【方法总结】 坐标求长度，差值取绝对值，几何问题代数化求解。 即时即练Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=2,将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与 原点重合，点C在x轴正半轴上.将Rt△ABC按如图方式滚动，则滚动2025次后，点B的坐标为 B O4)C第1次滚动第2次滚动第3次滚动第4次滚动 03 题型突破 题型1实际问题中用坐标表示位置 【例1】敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠” 之称.如图是敦煌的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为-8,4， 莫高窟的坐标为-4,2，则三危山景区的坐标为 鸣沙山月泉 王危山景区 莫高窟 【例2】如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，使“崇”，“明”所在位置的坐标分别是0，-1、 2,0,则“岛”的坐标是() 岛) A.2,2 B.2,3 C.3,2 D.3,3 【变式1-1】如图，这是一所学校的平面示意图，已知教学楼的位置坐标为450,0（小正方形的边长代表 4/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 150m长).则校门的位置坐标为 图书馆的位置坐标为 ，实验楼的位置坐标为 图书馆 教学楼 校门国旗杆 实验楼 【变式1-2】某公园部分景点位置都在如图所示的正方形网格的格点上.如果分别以正东、正北方向为x轴， y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示听雨轩的点的坐标为0，-2，表示荷花池的点的坐标为-2,1， 则表示月季园的点的坐标是 北门月季园北 荷花池 龙碑亭 中◆ 游乐园 听雨轩 题型2用方向角和距离确定物体的位置 【例3】要确定在你家周围北偏东60°的某一地点，还需要知道 【例4】如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形）·小芳和妈妈在游玩 的过程中，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 桃花源 荷塘羽色 竹海斯风 小芳：“‘竹海听风’的坐标为-1，-2” 妈妈：“‘桃花源’位于原点的东北方向”. 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的 (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标： 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若“松韵亭”的坐标为M0,-4,“碧波潭”的坐标为N3,-3,请在平面直角坐标系中用点M,N 表示这两个景区的位置； (3)如果1个单位长度代表35m长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“桃花源”的位置。 【变式2-1】小华家在学校北偏东70°方向200米处，那么学校在小华家的() A.北偏东70°方向200米处 B.南偏西70°方向200米处 C.西偏南70°方向200米处 D.北偏西70°方向200米处 【变式2-2】[问题背景]如图①是学校教学楼的平面示意图，每个小方格的边长为1个单位长度，表示 100m的距离，若以正东为x轴的正方向，正北为y轴的正方向建立平面直角坐标系，得到明德楼的坐标 是-3,0，致远楼的坐标为1,4 北 知行楼 东 ◆ 致远楼 知行楼 启智楼 启智楼 明德楼 ----L-- 清源楼 禁文楼 明德楼 图① 图② 【问题解决】 (1)若建立平面直角坐标系，则原点的位置为 (填写建筑物名称)；知行楼的坐标为 (②)若利用方向角和距离，如图②，以明德楼为基准点，知行楼在明德楼的北偏西27°，距离4.5cm处，记 为（北偏西27°，4.5Cm)，进一步使用测量工具并换算，可将启智楼的位置记为： (3)【拓广延伸】若下课后小华同学以1.5ms的平均速度从致远楼步行至知行楼，请问需要多长时间？ 题型3根据方位描述确定物体的位置 【例5】2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间 关系、距离和方位.搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点O出发，按以下指令移动：指令1：向 北移动4米到点A;指令2：右转90°，向东移动3米到点B:指令3：右转90°，向南移动2米到点C;指 令4：右转90°，向西移动5米到点D.判断下列结论中不正确的是（) 精确转动路位 6/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.直线OA与直线CD垂直 B.直线AB与直线CD平行 C.点D位于点O的北偏东45°方向 D.点O与点C之间的距离大于3米 【例6】春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区，四子王 旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装，以下能准确描述 四子王旗位置的是() A.乌兰察布市的西北方向 B.距离包头249公里 C.北纬42°，东经112°30 D.与武川县相邻 【变式31】根据下列表述，能确定准确位置的是() A.毫州中药城南B.解放路中段 C.北偏东45° D.东经126°，北纬40 【变式32】根据下列表述，能确定准确位置的是() A.万达影城6号厅1排 B.昭乌达路中段 C.南偏东60 D.东经123°，北纬42° 题型4利用相似求坐标 【例】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在X轴负半轴上，顶点C在X轴正半轴上，顶点B在 第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D,线段OA,OC的长是一元二次方程x-12x+36=0的两根， BC=4V5,∠BAC=45. D B (1)求点A,C的坐标： (2)反比例函数y=x的图象经过点B,求k的值： 3)在y轴上是否存在点P,使以P,B,D为顶点的三角形与以P,O,A为顶点的三角形相似？若存在， 求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 【例8)】在平面直角坐标系xO中，矩形OABC的点A在函数y=x>0的图象上，点C在函数 7/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-4x<0的图象上，若点B的横坐标为2，则点A的坐标为（） 7 X A. 22 2 B 【变式41】如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB与y轴交于点D,已知点A1,4,C3,0,D0,3, M是线段BC上一点，连接DM,若△ODM与△CAD相似，则CM的长为一· y B 0 C [支式42】在平面直角丝标系中，直线y-一之x+2与X轴交于点B,与y箱交于点C,抛物线 yX+bx+C的称轴是直线X妇 2,抛物线与x轴的交点为点A,且经过点B、C两点 (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当BM-CM的值最小时，求出点M的坐标； (3)抛物线上是否存在点N,过点N作NH⊥X轴于点H,使得以点B、N、H为顶点的三角形与 △ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 题型5求位似图形的对应坐标 【例9】在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为6,4，以原点O为位似中心，把△ABC缩小为 原来的得到△ABC，且A在第一象限内，则点A的对应点A的坐标为 【例10】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A2,4,B6,2,△OAB和△OAB是以原点O为位似 中心的位似图形.若OA:OA=2:1,则点A的坐标为一 8/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式51】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请使用无刻度直尺按照要求作出图形，保 留作图痕迹。 87 65432 C 3-2-10 12345678x 23 6 (1)①以点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大到原来的2倍后得到的△A1BC1,点A,B, C的对应点分别为点A1,B1,C1: ②若点Ma,b为△ABC内的一点，则点M的对应点M的坐标为_； (2)若y轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小，请在图中标出点P的位置， 【变式52】在平面直角坐标系中，已知点A2,6,B4,0,C6,0,以原点0为位似中心，相似比为2， 把△ABC缩小，则点A的对应点A的坐标是 题型6在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例11】如图，每个小方格都是单位正方形，△ABC与△ABC是位似图形，点O是位似中心， △A'BC是由△ABC的边扩大为原来的倍得到的. 9/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 7 6 5 3 2 B 12345678x 【例12】如图，在平面直角坐标系中，已知点A-3,6,B9,6,以原点O为位似中心，作△ABO的位 似△EOF,相似比为5，则线段AB的对应线段EF的长为一· 【变式61】如图，五边形ABCDE,ABCDE是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,A 的坐标分别为5,0，(8,0.若DE的长为10，则DE的长为 E AI 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A-4,6,B2,2,C6,4. 6 5 4 3 2 C B 012345678910x )以坐标原点O为位似中心，将△ABC在第一象限内缩小为原图形的得到△ABC,请在平面直角坐 标系中画出△ABC: 10123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②设△ABC与△ABC的周长分别为C和C2,试求C,的值， 题型7在坐标系中画位似图形 【例13】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0,A2,1,B1,-2。 -5-4-3-2-1Q八 2345x 1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1,使它与△OAB的位似比为2：1： (2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2: 3)判断△OA1B,和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M,并写出点M的坐标. 【例14】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0、A2,1、B1,-2. 4 3 2 3-2-1 B 3 (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2：1 (A,B的对应点分别为A1,B1) (②)在(1)的条件下，直接写出点A1,B1的坐标，并求出△OA1B1的面积. 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A4,1,B2,3,C1,2, 11/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 4 B -8-76-5-4-3-2-10 12345x -2 3 5 6 (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1BC1,并直接写出点B1的坐标： (②)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2：1. 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务： 1)△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，画出△A1BC1: (②)若△A2B,C2与△A1B1C1是关于原点0为位似中心的位似图形，位似比为2：1，且△A,B2C2位于第 四象限，画出△A2B2C2: 3)已知C4,1,则点C2坐标为 题型8在坐标系中画位似中心 【例15】已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A,B,C的坐标分别为1,0,4，-1， 3,2.△ABC1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形. 12123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请写出点P的坐标是_ (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使相似比为1：1； B)若点Ma,b为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为_， 【例16】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2). (1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧按2：1放大，画出△OAB的一个位似△OA1B1: (②)画出将△OAB向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的△O2A2B2: 3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标 【变式81】·图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△ABC是以点O为位似中心的位似图 形，它们的顶点都在小正方形的顶点上 (1)画出位似中心点O: (2)求△ABC与△ABC的相似比： 13123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1,使它与△ABC的相似比等于1.5. 【变式82】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0、A-1,2、B-2,-1, Pm,n是△OAB的边AB上一点. (1)画出将△OAB向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O1A1B1,并写出点A、P的对应点 A1、P的坐标： 2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2,使它与△OAB的相似比为2：1， 并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标： B)判断△O1AB,与△OA2B2,能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似 中心Q,并写出点Q的坐标 题型9坐标与图形综合 【例17】如图，三角形ABC中，A,B,C的坐标分别为-4,2)，（-3，-2，（-2,1)，将这个三角形先 向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到三角形ABC. 6 5 4 3 2 1 -6-5-43f2-19 123456x -2 3 4 6 14123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)在图中画出三角形ABC: (2)求三角形ABC的面积 3)在y轴上是否存在点M,使得三角形MAB的面积为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明 理由. 【例18】如图，在矩形ABCD中，AB=43,BC=6,E是AD上一点，连接BE,将△ABE沿着BE折 叠后，点A的对应点刚好落在CD的中点A处，F是AE的中点，G是AB的中点，连接FG,求FG= B 【变式9-1】在平面直角坐标系中，A-3,2,B-3,-4,C2,-4 (1)判断△ABC的形状： (2)求△ABC的面积， 【变式92】在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：任意两点AX1,y1,Bx2,y2,我们将 2X1-X2+y1-y2称为点A与点B的“横2倍直角距离”，记作dAB. 例如：点A-1,6与B3,4的“横2倍直角距离”为dB=23--1+4-6=10. y O 0 备用图 a)已知点P1-3,0,P22,2,P0,2 则在这三个点中，与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点 是 (②)已知点Px,y,若点P与原点O的“横2倍直角距离”do=6,请在下图中画出所有满足条件的点P 组成的图形 3)已知点C1,1,D2,1,点Mm,0是x轴上的一个动点，正方形EFGH的顶点坐标分别为Em-1,0, Fm,1,Gm+1,0,Hm,-1.若线段CD上存在点T,正方形EFGH上存在点Q,使得do=6,直 15/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接写出m的取值范围。 04 过关检测 一、单选题 1.河南嵖蚜山享有“华夏盆景”“中州独秀”“中原石林”的美誉.下列信息能确定嵖蚜山具体位置的 是() A.驻马店市遂平县 B.在郑州市南偏西1°方向 C.东经113°43，北纬33°08 D.距郑州市直线距离180公里 2.如图，小明家位于学校() 北 /小明家 309 西 学校 东 南 A.北偏西60°B.北偏西30° C.北偏东60 D.北偏东30 3.如图，在平面直角坐标系内有一点P3,4,连接OP,则OP与x轴正方向所夹锐角Q的正切值是 () P3,4) a 3 A.4 B.3 c. D.5 4.振湖塔位于肥东县六家畈潜溪村，被誉为“合肥版比萨斜塔”，因地宫被盗致地基不稳而倾斜，是合 肥地区仅存的清代密檐式砖塔.如图，小明一家前去参观，小明站在点A处，振湖塔在点B处，则从点B 看点A的方向是() 16123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 北 439 47 A A.南偏东43°B.北偏西470 C.北偏西43° D.南偏东47 5.如图，E-4,2,F-1,-1,以点O为位似中心作△EOF的位似图形△EOF,使它与△EOF的 相似比为1,2，把△EOF缩小，则点E的对应点E的坐标为() A.-2,-1B.2,-1 c.-2,-1域2，-1D.2,-1或-2,1 6.下列叙述中，能确定位置的是() A.学校的西北方向 B.北偏西45°的方向 C.距离学校200m D.校门向西走60m,再向南走80m 7.我们知道：确定位置一般需要两个数据，在实际生活中，也可以用“角度+距离”的方法来确定物体的 相对位置.如图，以O点为基准点，射线OA方向为起始边，若规定逆时针方向旋转为正角度(0°~180° ),顺时针方向旋转为负角度(0°~-180°)，则可以确定点的位置如：OB方向为OA方向绕O点逆时 针旋转90°，点B与点O的距离为1km,因此点B可以用有序数对记为90°，1，类似的，点E可以记为 -45°，3.由此判断以下点的位置标记正确的应该是() 距离单位：km A.点D4,150B.点F-120°，3C.点G60°，2D.点C20°，3 8.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(m,n为第二象限内一点，点B|s,0为x轴正半轴上一点，将点A 绕点B逆时针旋转90°得到点A,若A点在y轴上，则下列结论正确的是()· 17/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.n=s B.n=-s C.n=2s D.V2n=s 二、填空题 9.点A-6,0,B2,0之间的距离为 10.将平遥古城景区的平面示意图放入如图所示的正方形网格内，分别以正东、正北方向为X轴、y轴的正 方向建立平面直角坐标系，其中A、B、C分别代表县衙、文庙和市楼的位置，且都在格点处，若点A的坐 标为0,2，点C的坐标为1,3，则点B的坐标为 北个 电 C市楼 A县衙， B文庙 11.中国象棋文化历史久远.运城市开展了以“纵横之间有智慧，攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文 化节.如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点-2，一2，“兵”位于 点-4,1，那么“马”在同一坐标系下的坐标是 楚河 汉界 国 炮 帅 12. 在平面直角坐标系中，点Mm+3,2m-6,点N5,2,若MNy轴，则M点的坐标为 13.如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上， 其中A0,-4,C-2,0,将矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形ABCD,点B'恰好落在x轴上，线 段BA与CD的交点E的坐标为 B C B 18123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.已知点Am+2,3和点Bm-1,2m-4,且AB‖x轴，则点B的坐标为 三、解答题 15.如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，B6,0,点A0,m在y轴正半轴上，AB=61,过点B 作x轴的垂线BL,点Q6,t为直线BL上一动点， O B O B 图1 图2 图3 (1)求m的值： (2)设△ABQ的面积为S,请对应写出S与t之间的关系式： 当点Q在x轴上方时，S=(t>0)；当点Q在x轴下方时，S=(t0); (3)作∠OAQ的平分线交x轴正半轴于点P,是否存在这样的t值，使得△APQ是以AQ为底边的等腰三角 形？若存在，求t的值，并直接写出使得四边形ABQT为平行四边形的点T的坐标；若不存在，请说明理由， 11 M O B主 Q x t>0 BQ=t=t (Q) 图2 当点在轴上方时，此时，即： SAMQ3t. 当点Q在x轴下方时，此时t<0,即：BQ=t=-t, S=克AMp0-9x-0=-3, 19123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M △APQ AQ PH⊥AQ B 图3 是以 为底边的等腰三角形， ..AH=HQ, ,AP是∠OAQ的平分线， ∠HAP=∠OAH, 在△HAP和△OAH, ∠AHP=∠AOP ∠HAP=∠OAH, AP=AP .∴△HAP≌△OAHAAS. ∴.AH=AO=HQ=5, .AQ=2AH=2OA=10, ∴.根据勾股定理：MQ=VAQ2-AM2=√102-62=8， ..BM=OA=5, ∴.BQ=BM+MQ=5+8=13, .t=13,即：Q(6,13), ∴.四边形ABQT为平行四边形的点T的坐标T(0,18): 当t<0时，如图，作PH⊥AQ于H,AM⊥直线l于点M, △APQ AQ PH⊥AQ B衣 是以 为底边的等腰三角形， ∴AH=HQ, 20123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,AP是∠OAQ的平分线，AO⊥BO, ∴OP=HP .AP=AP, .△HAP≌△OAP|AAS, ..AH=AO=HQ=5, .AQ=2AH=10, ..AM=OB=6, ∴根据勾股定理：MQ=√AQ2-AM=102-6=8, ..BM=OA=5. .BQ=MQ-BM=8-5=3, ∴.t=-3,即：Q(6,-3), ∴.四边形ABQT为平行四边形的点T的坐标T(0,2), 综上：当t=13或t=-3时，△APQ是以AQ为底边的等腰三角形；分别对应T0,18或T0,2. 16.如图，△OAB的顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，点A2,2在反比例函数y=kx>0 的图象上，OA=OB. B (1)求这个反比例函数的表达式. (2)把△OAB绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点A处，求点A的坐标. 17.如图，在8×8的正方形网格中，假定某学校的大门所在位置的坐标为0，-3引，图书馆所在位置的坐 标为1,1. 行政楼图串馆 操场 实验楼教学楼 (1)结合所给条件，画出平面直角坐标系： 21123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)写出教学楼、实验楼、行政楼、操场所在位置的坐标 18.詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的 手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜， 每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”.据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥， 如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为A-2,-2,B-5,-4, C-1,-5. (1)以点O为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴右侧得△A1BC1,请画出△A1B1C1: (2)画出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2. 19.网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题.如图，△ABC的顶 点都在网格点上，点B的坐标为-2,1 (1)以点O为位似中心，把△ABC按1：2放大，请在y轴的左侧，画出放大后的△乙 (2)点B的对应点E的坐标是 ,点C的对应点F的坐标是 20.如图标明了李华家附近的一些地方 22123 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 学较 2 娱乐城 -3-2-101 234 李华家邮然東店汽车站 商店公园 (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标： 2)某星期日早晨，李华从家里出发，经过了点-1，-2，(1，-2,2，-1，写出他路上经过的地方. 23123