第12讲 解三角形（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

第12讲 解直角三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1解直角三角形的相关计算 题型2 解非直角三角形 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型4仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 题型5 方位角问题(解直角三角形的应用） 题型6坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 题型7其他问题（解直角三角形的应用） 题型8求角的正切值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 解直角三角形、已知边角、求未知边角、仰角、俯角、坡比、方位角、实际测量应用 1. 理解解直角三角形的含义，掌握已知边、角求解未知边、角的基本思路。 2. 能结合勾股定理、锐角三角函数灵活选择方法解直角三角形。 3. 掌握方位角、仰角、俯角、坡比等实际模型，能转化为直角三角形求解。 4. 能解决生活中的测量、高度、距离、坡度等实际解三角形应用题。 学习重点：解直角三角形的基本方法、利用勾股定理和三角函数求解边角、常见实际测量模型。 学习难点：仰角、俯角、方位角、坡比的实际建模、复杂实际问题转化为直角三角形求解、多情况分类讨论问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 解直角三角形定义 定义：已知直角三角形中任意2个元素（至少1条边），求出所有未知边、未知角的全部过程，叫做解直角三角形。 三大解题依据：①角关系：两锐角互余；②边关系：勾股定理；③边角关系：锐角三角函数定义。 已知条件要求：必须至少已知一条边，仅知角度无法求边长。 【易错提醒】 1. 仅知角度强行求边长，无解。 2. 漏求部分边角，解题不完整。 【方法总结】 知角求角用互余，知边求边用勾股，知边角互求用函数。 即时即练在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法．设，根据勾股定理求出，再根据即可得出结果． 【详解】解：如图所示，， 设， 则， ∴． 故选：C． 知识点02 解直角三角形三大依据 角关系：两锐角互余。 边关系：勾股定理。 边角关系：锐角三角函数正弦、余弦、正切公式。 解直角三角形两大题型 1. 已知两边求解：①两直角边：勾股求斜边，三角函数求角度；②一直角边一斜边：勾股求另一直角边，三角函数求角度。 2. 已知一边一角求解：①已知直角边+锐角：三角函数求剩余边长，互余求另一锐角；②已知斜边+锐角：三角函数求两条直角边，互余求另一锐角。 【易错提醒】 1. 选用公式繁琐，计算量大易出错。 【方法总结】 择优选公式，优先用已知条件，减少分步计算。 即时即练如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 【答案】， 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． 根据函数值直接得到的度数以及的长，在中，利用勾股定理可得的长，再由，可得到的长，即可求解． 【详解】解：为锐角，且，， ， ， ． 在中，， ， ． ． 知识点03 解三角形实际应用模型 常见模型：仰角俯角模型、方位角模型、坡度坡角模型、高度距离测量模型。 解题核心：将实际图形抽象、转化为标准直角三角形，套用边角关系求解。 【易错提醒】 1. 无法抽象直角三角形，建模失败。 2. 方位角、坡角定义理解错误。 【方法总结】 实际问题几何化、几何问题直角化、直角问题公式化。 即时即练2025年10月31日23时44分43秒，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．当火箭上升到点A处时，位于海平面点B处的雷达测得点B与点A之间的距离为c千米，仰角为，则此时火箭距离海平面的高度为_____千米． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角函数，仰角，点到直线的距离，根据正弦的定义求是解题的关键．根据正弦的定义：求解即可． 【详解】解：在中，，， ． 故答案为：． 题型1解直角三角形的相关计算 【例1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均为格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用的面积，求出边上的高线长，再求的值 【详解】解：设边上的高线长为， ， ， 所以， 解得：， 所以， 故选：C． 【例2】如图，在中，，，，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式1-1】市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． (1)求坐垫E到地面的距离； (2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，骑行比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作的垂线，构造含的直角三角形，因为已知、长度和的度数，所以可利用三角函数求出到的垂直距离；因为与地面平行，且车轮半径已知，所以到地面的距离等于车轮半径，将到的距离加上到地面的距离，即可得到到地面的距离； （2）先根据腿长计算出舒适状态下到的垂直距离，再利用三角函数求出的长度，结合原有的长度作差，即可得到的长度． 【详解】（1）过点作于点， ∵，， ∴， ∵、平行于地面，且点到地面的距离等于车轮半径， ∴在中，， ∵， ∴， ∴到地面的距离为：； （2）由题意，舒适高度到的距离为： 设调整后， ∴在中，， ∴， 且， ． 【变式1-2】将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，，求出，根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型2 解非直角三角形 【例3】如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【例4】一个三角形的边长为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，则__________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是添加合适的辅助线，构造直角三角形． 在中，，，在中，，，．过点A作于点H，于点．设，利用勾股定理求出，再根据，推出，构建关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图， 在中，，，在中，，，． 过点A作于点H，于点．设 ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或（负值舍去） 故答案为： 【变式2-1】如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 【变式2-2】如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 【答案】87.7m 【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB． 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E， 由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m， 在Rt△DEC中， ∵山坡CD的坡度i＝1：0.75， ∴， 设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x， 又CD＝50，即5x＝50， ∴x＝10， ∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB， ∴BE＝BC＋EC＝60＋30＝90（m）＝DF， 在Rt△ADF中， AF＝tan28°×DF≈0.53×90≈47.7（m）， ∴AB＝AF＋FB＝47.7＋40≈87.7（m）， 即居民楼AB的高度约为87.7m． 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例5】某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】(1)210米 (2)865.6米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用． （1）过点D作交的延长线于点F，由正弦的定义求解即可得出答案． （2）解直角三角形算出，，，进而求出，再根据围栏长度为代入计算即可． 【详解】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 【例6】如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 【变式3-1】某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米； (2)不够，见解析． 【分析】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【详解】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价； ∴预算不满足需求． 【变式3-2】如图，为等边三角形，点、分别在、上，，连接，，，点、分别在、上，连接，，若，，，则线段的长为______．    【答案】 【分析】过点作，垂足为点，过点作，垂足为，过点作，过点作，延长与交于点，过点作与的延长线交于点，在上确定一点，使得，连接，根据等边三角形的性质和平行线的性质可推得，，根据等边三角形的判定和性质可得，结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，设，则，根据勾股定理列方程求解得到，求得，设，则，，根据锐角三角函数和勾股定理可求得，，，推得，根据等边三角形三线合一的性质可得，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式列方程求解得到，即可求得． 【详解】解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为，过点作，过点作，延长与交于点，过点作与的延长线交于点，在上确定一点，使得，连接，如图： ∵为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，等边对等角 在中，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵是等边三角形， ∴，即， 在中，， ∵，∴， 在中，， 即 解得：， ∴， 即， 故答案为：． 题型4仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 【例7】如果在点处测得点的仰角为，那么在处测得点的（   ） A．仰角为 B．仰角为 C．俯角为 D．俯角为 【答案】C 【分析】本题考查仰角与俯角的应用，解题的关键是掌握：仰角与俯角是视线与水平线的夹角，且当两点间的水平线平行时，仰角与俯角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵在点处测得点的仰角为，即视线与过的水平线夹角为， 又∵过和过的水平线平行， ∴视线与过的水平线夹角（即俯角）也为， ∴在处测得点的俯角为． 故选：C． 【例8】如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为________．（用含字母的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查俯角的定义，直角三角形的性质．画出图形，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，飞机在点处，为水平线，地面控制点为点A，则， 根据题意，得，， ， ， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】暑假期间，小红一家到某生态旅游区登山．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． (1)求小红一家步行上升的垂直高度； (2)求缆车的行驶路线的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据得到长，即小红一家步行上升的垂直高度； （2）根据矩形的性质和判定，得到四边形为矩形及，从而得到，在中，根据 得到的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ． 答：小红一家步行上升的垂直高度约为． （2）如图，过点作于点， ，， ， ∴四边形为矩形， ． ， ． 在中，， ， ． 答：缆车的行驶路线的长约为． 【变式4-2】2026年“苏超”徐州对泰州比赛中为了全方位记录精彩赛事，转播团队在看台后方安装了可升降的摄像机．如图，在看台底端处测得摄像机的仰角为，在看台顶端处测得摄像机的仰角为．已知看台的坡长为米，坡角，，，在同一直线上，于点，于点． (1)求看台顶端距离地面的高度； (2)求摄像机距离地面的高度．（结果取整数）（参考数据：，，，） 【答案】(1)看台顶端距离地面的高度为米． (2)摄像机距离地面的高度为米． 【分析】（1）根据，求出； （2）过点作于点，根据矩形的判定和性质，可得，，设，根据，求出，根据，得到，等量代换，求出，根据，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得：． 答：看台顶端距离地面的高度为米． （2）解：过点作于点， ∵于点，于点． ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）． 答：摄像机距离地面的高度为米． 题型5 方位角问题(解直角三角形的应用） 【例9】如图，一艘海轮位于灯塔北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向的处． (1)求灯塔到航线的距离； (2)求灯塔到处的距离．结果保留根号 【答案】(1)灯塔到航线的距离是海里 (2)灯塔到处的距离是海里 【分析】（1）作于，解，即可求得的长； （2）在中，，，则可求出． 【详解】（1）解：作于， 由题意可得出：，海里， 故（海里）． 故灯塔到航线的距离是海里； （2）解：在中，，， （海里）， 故灯塔到处的距离是海里． 【例10】机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点D，如图所示，则．依次求出、，根据即可求出答案． 【详解】解：过点B作交的延长线于点D，如图所示，则． 由题意，可知，． 在中，． ∵，， ∴． ∴． 在中，， ∴ ∴ 答：A，C两点间的距离约为． 【变式5-1】综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)最短距离约为海里 (2)渔船不能在浓雾到来前到达码头，理由如下： 如图，过点作于点． 在中，， 由（1）可知海里， ∴（海里）． ∴（海里）． ∵小时分钟，从经过分钟是， ∴渔船不能在之前到达． ∴若不改变航行速度，渔船不能在浓雾到来前到达码头． 【分析】（1）过点作构造直角三角形，先根据航行时长算出长度，设垂线段，利用的正切表示，结合列方程求解，即为渔船到灯塔的最短距离． （2）在中利用求出，算出总路程，结合船速求出行驶总时长，对比到的时间，判断能否抵达码头． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 由题意，得，，， ∴，． ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得． ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里． （2）解：略． 【变式5-2】如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知C地在A地的北偏东，在B地的西北方向，，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走了多少千米？（，，结果精确到0.1） 【答案】 【分析】过点C作于点D，分别解直角三角形得出、的长，再由从A地到B地汽车少走的距离是，计算即可得出结果． 【详解】解：过点C作于点D，如图： ． ∵，， ∴，． 在中，， ． ． ∴从A地到B地汽车少走的距离是： ， 答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走约． 题型6坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【例11】如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， ∴． 【例12】随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） 【答案】瀑布的高度约为米 【分析】过点作，交于点，作，交于点， 分别解，，求得，根据，即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，作，交于点，则四边形是矩形， ∴． 在中，，，， ，， ． 在中，，，， ． 在中，，，， ． ． 答：瀑布的高度约为米． 【变式6-1】如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角，背水坡的坡度为，坝顶宽米，坝高米，求： (1)背水坡的坡角； (2)坝底的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据坡度的定义，即可求解； （2）过点作于，过点作于，根据题意得出米，根据背水坡的坡度为，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵背水坡的坡度为， 即， ， 即背水坡的坡角为； （2）过点作于，过点作于， ， ， 四边形是矩形， 米，米， ， ， 米， 背水坡的坡度为， （米）， （米）． 坝底的长为米． 【变式6-2】某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】2.3 【分析】先解求出，再解求出，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴在中，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 题型7其他问题（解直角三角形的应用） 【例13】如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】先根据三角函数求出的长度，减去的长度，即可求出的长度． 【详解】解：由题意知，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：这条河的宽度为． 【例14】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求A、两点之间的距离； (2)求长． (结果精确到，参考数据：，，，，) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． （2）过点A作，垂足为G，根据勾股定理即可解决问题 【详解】（1）解：连接，过点作，交的延长线于， ， ． 在中，，， ，， 在中，，， 根据勾股定理，得． （2）解：过点A作，垂足为G， 则四边形为矩形，，， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得． ． 【变式7-1】图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 【变式7-2】现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 【答案】(1) (2)不是，桌面应下调 【分析】（1）利用正切函数关系即可求解； （2）延长交于点，在中，利用正弦函数关系求得，进而求得，此时不是正确坐姿；在中，计算出调整后的，求得调整前后的差即可． 【详解】（1）解：在中，“视线角”为，，，， ． 答：眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 答：桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 一、单选题 1．如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为50米，若这个滑雪道坡度（即），则滑雪道长为（    ）米 A．150 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡比问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵滑雪道的坡度为，即， 米， 米， 由勾股定理得：米， 故选：C． 2．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义是解题关键． 先根据坡度定义求出斜坡的垂直高度，再利用勾股定理计算斜坡的长度． 【详解】解：斜坡的坡度是垂直高度与水平宽度的比， 斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为， ，米， 米， 据勾股定理可得米． 答：米． 3．如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，先由等腰三角形得到，再解即可表示，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．如表是小林填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（    ） （结果精确到，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据三角函数的概念，在中，求得的值，根据题意得到的值，在中，求得的值，从而得出的值． 【详解】解：在中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， 故选：B． 5．在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是俯角的是． 故选：C． 6．如图，已知等腰直角，，，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点在点的下方，且，，三点共线，求得，，根据勾股定理求得，即，当线段达到最短时，此时点在点的上方，且，，三点共线，则，，根据勾股定理求得，即，即可求得． 【详解】∵为等腰直角三角形，，∴， 当线段达到最长时，此时点在点的下方，且，，三点共线，如图：    则，， 在中，， 即， 当线段达到最短时，此时点在点的上方，且，，三点共线，如图：    则，， 在中，， 即， 故， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键． 7．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 8．如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 9．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此大桥主架顶端离水面的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出和是解题的关键． 在和中，由三角函数得出，，根据即可求解． 【详解】在和中，，， ∴，， ∴． 故选C． 二、填空题 10．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为_______米．(结果精确到1米，参考数据) 【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， （米， 建筑物的高度约为16米， 故答案为：16． 11．等腰中，，点D为斜边中点，点E为线段上一点，且，将沿着翻折得到和分别交边于G、F，连接，求_____． 【答案】 【分析】以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系，连接，交于点，设，则，求出点坐标，进而求出的长，作轴，轴，等积法求出的长，进而求出的长，三角函数求出的长，进而求出点坐标，对称，求出坐标，根据同底三角形的面积比等于高线比，即横坐标的绝对值与点横坐标的比，即可得出结果． 【详解】以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系，连接，交于点，设，则，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 作轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴垂直平分， ∴，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴点到的距离即到轴的距离为， ∵点到的距离即到轴的距离为3， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与轴对称，勾股定理，等积法求线段，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 12．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为________．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，再推出，进而得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴与尺上沿的交点C在尺上的读数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出的长是解题的关键． 13．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为______米． 【答案】/ 【分析】本题考查了正切函数的应用，平行线的性质，等腰三角形的三线合一性质，余角的性质，熟练掌握正切函数，等腰三角形的性质是解题的关键．过点E作于点I，利用三角函数得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质可得，最后勾股定理求得，即可． 【详解】解：过点E作于点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长为米，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 14．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为_______米．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【详解】解：首先过点A作于点D，如下图所示， 则，，米， 在中，米， 在中，米， ∴米． 故答案为： 三、解答题 15．【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形，多边形的内角和问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据思路一：构造与全等，从而得出是等腰直角三角形，即可与的数量关系； （2）在射线上截取，连接，过点作于点，同（1）得，则，，可得，根据，即可求解； （3）同（2）的方法，即可求解． 【详解】（1） 如图2，在射线上截取，连接， ∵， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． （2）解：正五边形的一个内角为 如图4，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （3）如图，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 故答案为：． 16．为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)； (2)甲先到达点 ． 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，如图： 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图： 在中，， ∴， ∴， ∴甲到达所用的时间为：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴乙到达所用的时间为：， ∵， ∴甲先到达点． 17．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)“大碗”的口径的长为； (2)“大碗”的高度的长为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解； （2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 答：“大碗”的口径的长为； （2）解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：“大碗”的高度的长为． 18．如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） (1)求液压杆顶端B到底盘的距离的长； (2)求的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据，代入数进行计算，即可求解； （2）利用，先求出米，再利用，求出米，问题得解． 本题考查了解直角三角形的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，， 在中， ∴， ∴米， 即的长为2.55米； （2）解：在中，，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴（米）， 即的长为米． 19．中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． (1)求冬至时日影的长度； (2)求春分和秋分时日影长度（结果精确到尺）．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)16尺 (2)尺 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用： （1）在中，利用解答，即可求解； （2）在中，利用，可得的长度，根据春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，尺，， ∴尺； （2）解：在中，，尺，， ∴尺， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为（尺）， 答：春分和秋分时日影长度9.2尺． 20．如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 【答案】该船继续向西航行是安全的 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点B作于点B，在和中，利用正切函数分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点B作于点B，设海里． 在中，， 在中，， 由得， 解方程，得． 答：该船继续向西航行是安全的． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 解直角三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1解直角三角形的相关计算 题型2 解非直角三角形 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型4仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 题型5 方位角问题(解直角三角形的应用） 题型6坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 题型7其他问题（解直角三角形的应用） 题型8求角的正切值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 解直角三角形、已知边角、求未知边角、仰角、俯角、坡比、方位角、实际测量应用 1. 理解解直角三角形的含义，掌握已知边、角求解未知边、角的基本思路。 2. 能结合勾股定理、锐角三角函数灵活选择方法解直角三角形。 3. 掌握方位角、仰角、俯角、坡比等实际模型，能转化为直角三角形求解。 4. 能解决生活中的测量、高度、距离、坡度等实际解三角形应用题。 学习重点：解直角三角形的基本方法、利用勾股定理和三角函数求解边角、常见实际测量模型。 学习难点：仰角、俯角、方位角、坡比的实际建模、复杂实际问题转化为直角三角形求解、多情况分类讨论问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 解直角三角形定义 定义：已知直角三角形中任意2个元素（至少1条边），求出所有未知边、未知角的全部过程，叫做解直角三角形。 三大解题依据：①角关系：两锐角互余；②边关系：勾股定理；③边角关系：锐角三角函数定义。 已知条件要求：必须至少已知一条边，仅知角度无法求边长。 【易错提醒】 1. 仅知角度强行求边长，无解。 2. 漏求部分边角，解题不完整。 【方法总结】 知角求角用互余，知边求边用勾股，知边角互求用函数。 即时即练在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 则， ∴． 故选：C． 知识点02 解直角三角形三大依据 角关系：两锐角互余。 边关系：勾股定理。 边角关系：锐角三角函数正弦、余弦、正切公式。 解直角三角形两大题型 1. 已知两边求解：①两直角边：勾股求斜边，三角函数求角度；②一直角边一斜边：勾股求另一直角边，三角函数求角度。 2. 已知一边一角求解：①已知直角边+锐角：三角函数求剩余边长，互余求另一锐角；②已知斜边+锐角：三角函数求两条直角边，互余求另一锐角。 【易错提醒】 1. 选用公式繁琐，计算量大易出错。 【方法总结】 择优选公式，优先用已知条件，减少分步计算。 即时即练如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 知识点03 解三角形实际应用模型 常见模型：仰角俯角模型、方位角模型、坡度坡角模型、高度距离测量模型。 解题核心：将实际图形抽象、转化为标准直角三角形，套用边角关系求解。 【易错提醒】 1. 无法抽象直角三角形，建模失败。 2. 方位角、坡角定义理解错误。 【方法总结】 实际问题几何化、几何问题直角化、直角问题公式化。 即时即练2025年10月31日23时44分43秒，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．当火箭上升到点A处时，位于海平面点B处的雷达测得点B与点A之间的距离为c千米，仰角为，则此时火箭距离海平面的高度为_____千米． 题型1解直角三角形的相关计算 【例1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均为格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，，，，则的长为_____． 【变式1-1】市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． (1)求坐垫E到地面的距离； (2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，骑行比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 【变式1-2】将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 题型2 解非直角三角形 【例3】如图，在中，，则的长为___________． 【例4】一个三角形的边长为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，则__________． 【变式2-1】如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【变式2-2】如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例5】某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【例6】如图，在中，已知，，，求的面积． 【变式3-1】某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【变式3-2】如图，为等边三角形，点、分别在、上，，连接，，，点、分别在、上，连接，，若，，，则线段的长为______．    题型4仰角俯角问题(解直角三角形的应用） 【例7】如果在点处测得点的仰角为，那么在处测得点的（   ） A．仰角为 B．仰角为 C．俯角为 D．俯角为 【例8】如果某飞机的飞行高度为，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机与地面控制点之间的距离为________．（用含字母的式子表示） 【变式4-1】暑假期间，小红一家到某生态旅游区登山．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． (1)求小红一家步行上升的垂直高度； (2)求缆车的行驶路线的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 【变式4-2】2026年“苏超”徐州对泰州比赛中为了全方位记录精彩赛事，转播团队在看台后方安装了可升降的摄像机．如图，在看台底端处测得摄像机的仰角为，在看台顶端处测得摄像机的仰角为．已知看台的坡长为米，坡角，，，在同一直线上，于点，于点． (1)求看台顶端距离地面的高度； (2)求摄像机距离地面的高度．（结果取整数）（参考数据：，，，） 题型5 方位角问题(解直角三角形的应用） 【例9】如图，一艘海轮位于灯塔北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向的处． (1)求灯塔到航线的距离； (2)求灯塔到处的距离．结果保留根号 【例10】机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【变式5-1】综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【变式5-2】如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知C地在A地的北偏东，在B地的西北方向，，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走了多少千米？（，，结果精确到0.1） 题型6坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【例11】如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 【例12】随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） 【变式6-1】如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角，背水坡的坡度为，坝顶宽米，坝高米，求： (1)背水坡的坡角； (2)坝底的长． 【变式6-2】某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 题型7其他问题（解直角三角形的应用） 【例13】如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【例14】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求A、两点之间的距离； (2)求长． (结果精确到，参考数据：，，，，) 【变式7-1】图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 一、单选题 1．如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为50米，若这个滑雪道坡度（即），则滑雪道长为（    ）米 A．150 B． C． D． 2．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如表是小林填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（    ） （结果精确到，参考数据：） A． B． C． D． 5．在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知等腰直角，，，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D． 7．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 8．如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 9．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此大桥主架顶端离水面的高为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为_______米．(结果精确到1米，参考数据) 11．等腰中，，点D为斜边中点，点E为线段上一点，且，将沿着翻折得到和分别交边于G、F，连接，求_____． 12．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为________．    13．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为______米． 14．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为_______米．（用含的式子表示） 三、解答题 15．【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 16．为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 17．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 18．如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） (1)求液压杆顶端B到底盘的距离的长； (2)求的长． 19．中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． (1)求冬至时日影的长度； (2)求春分和秋分时日影长度（结果精确到尺）．（参考数据：，，，，，） 20．如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $