第11讲 锐角三角函数（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第11讲锐角三角函数 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1正弦的概念辨析 题型2求角的正弦值 题型3已知正弦值求边长 题型4求角的余弦值 题型5已知余弦求边长 题型6正切的概念辨析 题型7求角的正切值 题型8已知正切值求边长 题型9特殊三角形的三角函数 题型10特殊角三角函数值的混合运算 题型11根据特殊角三角函数值求角的度数 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解锐角正弦、余弦、正切的定义，分清直角三角形中的对边、邻边、斜 正弦、余弦、正切、 边。 锐角三角函数、对 2.熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，能熟练进行求值计算。 边、邻边、斜边、特 殊角三角函数值、三 3.掌握锐角三角函数的基本变化规律，能根据锐角求解三角函数值或油值求 角。 角函数求值 4.能利用三角函数建立边角关系，完成直角三角形基础边角计算。 学习重点：正弦、余弦、正切的定义、直角三角形边角对应关系、特殊角的三角函数值及基础计算。 学习难点：复杂直角三角形中三角函数的选取、利用三角函数值求角度、三角函数与直角三角形性质 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的综合计算。 02教材全解 知|识1框|架 正弦sina=丝魏； 三大函数严格定义 余弦cosa=锐角邻边 料汤 正切tana=餐繁。 锐角三角函数 定义 取值范围 锐角三角函数恒为正数，0<sinA<1、0<cosA<1、 tanA>0。 同角三角函数关系：sin2A+cos2A=1;互余 核心性质 角关系：sinA=cos(90o-A、 cosA=sin(90o-A)。 sin30=号.sin45o=号，sin60o=9 c0s300=号，c0s450=号，cos600=号 锐角三角函数 30°、45°、60核心函数值 tan30,tan45=1,tan60= 特殊角三角函 数值 十字相乘法 变化规律 锐角越大，正弦值、正切值越大，余弦值越小，可用 于快速比较函数值大小。 直接求值 已知直角三角形边长，根据定义直接计算三角函数值。 三角函数求值与 无直接边长，通过勾股定理先求未知边长，再代入定 简单应用 间接求值 义求函数值。 比值转化 三角函数处比值可直接用于线段比例计算、相似三角形边长求解。 ◇ 知|识I精I讲 知识点01锐角三角函数定义 适用前提：仅限直角三角形中的锐角，任意锐角均有固定的三角函数值，与三角形大小无关，仅与角度大 小有关。 三大函数严格定义（以Rt△中∠A为例）： 锐角对边 正弦sina= 斜边 2/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 锐角邻边 余弦Cosa 斜边 锐角对边 正切tana= 锐角邻边 取值范围：锐角三角函数恒为正数，0<sinA<1、0<cosA<1、tanA>0。 核心性质：同角三角函数关系：sinA+cos2A=1;互余角关系：sinA=cos(90°-A)、 cosA=sin(90°-A)。 【易错提醒】 1.对边、邻边分辨错误，导致三角函数公式代错。 2.非直角三角形中乱用三角函数定义。 【方法总结】 正对斜、邻对斜、正对邻，分清边角位置再计算。 即时即练1.如图，己知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，若DE⊥AB,垂足为点E,则DE的长为 B 知识点02特殊角三角函数值 30°、45°、60°核心函数值（零容错背诵)： sin30°= 2’sin45= sin 603 V2 2 2 c0s30'=93 ’C0s45°= 2 2’ c0s60-1 an30=3 tan45°=1，tan60°=3 3 变化规律：锐角越大，正弦值、正切值越大，余弦值越小，可用于快速比较函数值大小。 逆向应用：己知特殊三角函数值，可直接反推对应锐角度数，是解方程、角度计算核心技巧。 【易错提醒】 3/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.特殊角函数值记混、记反。 2.计算时化简不彻底。 【方法总结】 特殊角规律：正增余减，45°正余相等，30、60正负互换，结合直角三角形边长特征辅助记忆。 即时即练实数号，sin30°，2+1,2π，(3”，-3中，有理数的个数是() 22 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 知识点03 三角函数求值与简单应用 直接求值：己知直角三角形边长，根据定义直接计算三角函数值。 间接求值：无直接边长，通过勾股定理先求未知边长，再代入定义求函数值。 比值转化：三角函数比值可直接用于线段比例计算、相似三角形边长求解。 【易错提醒】 1.跳过步骤：未求未知边直接赋值，计算无依据 2.比例化简错误：函数比值未约分、未化简，结果不规范。 【方法总结】 求值两步法：补全边长（勾股定理）→套用定义求值，步步有据，不跳步、不臆造。 即时即练如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD,点E在BC上，AE‖DC, (1)求证：四边形AECD是平行四边形. (②)若AE平分∠BAC,∠CAD=90°，BE=3,AD=2,则cOsB的值为 03 题型突破 题型1正弦的概念辨析 【例1】[感知如图①，在R公ABC中，∠ACB=90°，其中AB=c,AC=b,BC=a,易知siA= ,sinB 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b a b =e可得sinA sin B 图① 图② 图③ 探如图②，在任意锐角△M4C中，其中4C=b,BCQ,邦么结论sA=B是否依然成立？若一 成立给出证明，若不成立，请说明理由， (2)[应用]如图③，要测量池塘两岸B、C两地之间的距离，己测∠C=75°，∠A=60°，AC=20m,则BC的 长度为m. 【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为、b、c,下列等式中成立的是( b a B.cosB= b A.sin4=b C.tanB= D.tanA- 6 a a b 【变式1-1】如图，在锐角△ABC中，探 sinA'sin B'sin C之间的关系.( (提示：分别作AB和BC 边上的高.) A a 【变式1-2】如图，某工地有一辆吊车，AB为车身，AC为吊臂，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测 得吊臂AC与水平线的夹角为18°.当货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE=12m,求吊臂的长.（结果保留一位小数， 参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， tan53°≈1.33) D 53 88d 题型2求角的正弦值 【例3】Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,下列结论成立的是() A.sinA=12 BsA=号 C.tanA=5 2 D.cosB=12 3 【例4】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,c=4,则sinA的值是() V15 1 B.3 1 V15 A.15 C.4 D. 4 【变式21在Rt△ABC中，∠G=90°，若csB号则5inA= 【变式2-2】如图，将一段笔直的铁丝先沿点B弯折，若再沿BC的中点D将DC顺时针弯折90°，能恰好 得到一个三角形框架，则sinB的值为() D B A V2 1 A. 2 B.2 C. 3 D. 2 题型3已知正弦值求边长 【例5】如图，△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB交AB于点D,在AC上取一点E使 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE=CD,过点E作AB的垂线，与AB交于点H,与BC的延长线交于点G,已知∠A=a,AE=m,则 EG= 3 【例6】如图，在△ABC中，AB=AC=5,sin∠ACB 则BC的长是() A.3 B.6 C.8 D.9 【变式3】如图，在△ABC中，AB=1,AC=2,SinB=2 ,求BC的长. B 【变式32】蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边 形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知P0,-2,则Q点坐标为() YA 0 A.-23,3B.-23,4 c.-3,3 D.-3,4 题型4求角的余弦值 【例7】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,则cosA的值为() 7/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4-5 B. c.4 D. 3 【例8】Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=2,那么cosB的值是() A者 B月 5 5 C.3 D.2 【变式41】已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边，且a,b,c满足 a-ca+c+b2=0,若4a-5b=0,则sinA+cosB的值为 【变式42】如图，在5×5的正方形网格中，线段AC经过格点A,E,线段AB经过格点A,B,D,则 cOs∠CAB= 题型5已知余弦求边长 【例】如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=23,对角线AC、BD相交于点M,N为边AB的中点， 将△AMN绕点A顺时针旋转得到△AM1N1,点M1、N1,分别与点M、N对应，直线M1N1分别交线段 BD、AD于点E、F.如果△就是以EF为腰的等腰三角形，那么EF的长是 M B N 例10】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,cosA=,求BC长及sinA的值 8/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式51】已知边求余弦值→已知余弦值求边在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,cosB=4 则AC的 长为 【变式52】如图，在Rt△ABC市，∠C=90°，若AB=3,0sA=号则AC的长为() A.3 B.1 C.2 D.5 题型6正切的概念辨析 【例1】在R△ABC中，∠A=30,tanA=BC, AC,则∠B= 【例12】如图在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点 上 (1)画出以AB为一腰的等腰△ABC,使其面积为6，点C在小正方形的格点上； (2)画出以AB为底的等腰△ABD,且tan∠ABD=2,点D在小正方形的格点上，连接CD并直接写出 CD的长为 【变式61】如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A,再在 河的这一边选定点P和点B,使BP⊥AP.利用工具测得PB=50米，∠PBA=C,根据测量数据可计算 得到小河宽度PA为() 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 50 A.50sina米 B.50cosa米 C.50tana米 D. 米 tana 【变式62】如图，∠ABD=∠CDB=90°.P为线段BD上的一点，在图①中仅用圆规分别在AB、CD上 作点E、F,使EF⊥PF,且EF=PF. A B B ◇ D D ① ② (1)在图①中仅用圆规作图，保留作图痕迹： 3 (②)若∠BEP的正切值为与，求PD:BE. (图②供问题(2)用) 题型7求角的正切值 【例13】图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均 为1，点A在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图. 图① 图② Q)在图①中，画出线段AB,使AB=V10,且点B在格点上： (2)在图②中，画一个△ACD,使tan∠CAD=3,且点C、D均在格点上. 【例14】在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=6,则tanB的值为 【变式7-1】如图，在正方形ABCD中，AB=5,△BCE是以BC为斜边的直角三角形.若BE=2,则 tan90°-∠CED的值为 10117 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式7-2】如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点. 点A,B,C均在格点上，连接AB,则tan∠ABC的值为() C 2V13 A. B. 2 13 4 D. 题型8已知正切值求边长 【例15】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,且anA=克 则AC= 【例16】如图，己知∠PAQ及AP边上一点C. P A 0 1)用无刻度的直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕迹，不写作 法) (2)在(1)的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B,用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M,使点M到点C的距高与点M到射线AQ的距离相等：（保留作图痕迹，不写作法） 6)在(1①、(2)的条件下，若anA=3,CM=12,求BM的长. 【变式&1】如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰△ABC,AB=AC,其中斜坡AB与水平地面BC 所成夹角∠ABC=25°，当BC=4米时，土堆顶端A到地面的距离AD为() 11/17 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25 B C 2 A.4tan25°米B. tan25o米 c.2tan25°米 D.2sin25°米 【变式82】如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，连接BE,DE,且BE=DE,若 AB=5,tan∠BAC=2,则四边形ABCD的面积为() A B A.10 B.20 C.30 D.40 题型9特殊三角形的三角函数 1 x2-4 【例17】先化简，再求值： x+3 x2+6x+9' 其中X=4c0s60°+1. 1}2 【例18】计算：从①-27，②- 2 ③2cos60°，④3-2中选择三个代数式求和； 【变式9-1】按要求完成下列各题： 0计0：2n60+3.14-a八-7+ (2)先化简，再求值： X+1 1+2 x2-2x+11x-1月 其中x=V3 【变式9-2】计算3tan60°的值为() A.33 B.2 c.3 3 D. 3 题型10特殊角三角函数值的混合运算 【例19】计算：9-2cos30+1-3. 【例20】计算、分解因式： -2 #:3-2+a60- +(m-3.14)°： 12/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)分解因式：xy-xy 【变式10-1】计算：4-π°-R3- 1 1 4 +3tan30° -2 【变式10-2】计算： -327-3tan30+R3-2. 2 题型11根据特殊角三角函数值求角的度数 【例21】若锐角α满足艺 <sina<cos40°，则锐角a的取值范围是() A.30°<a<40°B.40°<a<50°C.40°<a<60°D.30°<a<50° 【例22】若Q=sin48°，b=c0s48°，c=tan48°，则a,b,c由小到大的顺序为， 【变式11-1】如下图，在口ABCD中，AB⊥AC.已知AB=10V6,口ABCD的面积为200PV3.求： D (I)∠D的三角函数值. (2)∠BAD的度数， 【变式112】平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(0,3),则坐标原点O关于直线AB对称的点0的坐 标为() A.(2,1) 3V3 B 2’ /1+31 2’5 D 04 过关检测 一、单选题 1.在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台ABC处 监测水位.如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为Q,sina= 5,是坝高BC=15m,则迎水坡面AB 的长度为() B ▣ a------ A.20m B.25m c.30m D.35m 13/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则tanA的值为() B 1 1 A.4 B. C.5 D.4 3.已知a、B的为领角，且满足inc-+anB-1=0,则a+B等于() A.75° B.60° C.45° D.105 4.V2sin30°-cos45°的值等于() A.1-V2 B.0 c.12 2 D.2 5.如图，已知△ABC的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则snA的值是() A B A.2 2 B. D.1 6.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AB,BC交于M,N两点；分别以 M,N为心，以大于号MN的长为半径作弧，两弧交于点D,作射线D,BD与AC交于点E,分别 B,C为圆心，以大于方BC的张为半爸作，两弧交于点PQ,连接PQ,PQ与BC交于点PR,连接EP. 若AB=BC,BE=AC=4,则以下结论错误的是() 14117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E A.S△ABC=8 B.∠A=60° C. SACEE=1 SAABE 2 D.△CEF的周长为2V5+2 7.如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G, 连接BF,BG,AB=4CE=4,则∠FBG的余弦值为(). 5 A.5 25 c. D.2 8.如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm.则 tan∠EAF的值是() A.2 B. 3 C.2 D.5 9.如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为19°，则穿37码平底鞋的脚 踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为() 19 脚长 尺码 34 35 36 37 38 39 40 15/17 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22 脚长mm 225 230 235 240 245 250 0 23.5 23.5 A. sin19cm B. cos 19.cm c.23.5sin19°cm D.23.5tan19°cm 二、填空题 10.计算：π-1°+4sin45°-8+-3= 11.在Rt△ABC中，AB是斜边，AB=10,BC=6,taA= 12.2sin45-9+(2017-元+（号= 13,如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O,则sin∠AOB= D 14.如图，在正方形纸片ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF 上，落点为N,折痕交CD边于点M,BM与EF交于点P,再展开.则下列结论中：①CMDM:② ∠ABN30;③AB2=3CM;④△PMN是等边三角形.正确的有 D p 三、解答题 15.计算：tan30°.sin60°+cos230°-sin245°.tan45°. 16.计算： +2-9V12+-12024-4c0s30°. 17.计算：-1+m-2017P-+sin451-an60。-2 16117 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18,1)计第：-2024-1-m60+号 -9 2- x2-3x 2x<3x-1 (2)先化简，再求值： x-3 x2+6x+9 其中x是不等式组2+3父<2x+1)的整数解， 19.平面直角坐标系Oy中，O为坐标原点，直线y=一 4X+3交y轴于点A,交x轴于点B,点C在第一象 限内，射线AC‖x轴，且AC=AB: B 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠ACB的正切值； (②)如图2，点P在线段AC上运动，过点P作PQ‖BC交线段AB于点E,作直线AQ交X轴于点D,当E为 线段PQ的中点时，求直线AD的解析式： ®)如图3，在(2)的条件下，点Q在第四象限内，QD=2AD,点R、M分别在线段PQ、AQ上，将 FM绕点F逆时针旋转90°得FN,若点N在直线BC上，求点N的坐标. 20.计算： }'-2am45-小2-1l+7四 17117 第11讲 锐角三角函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1正弦的概念辨析 题型2 求角的正弦值 题型3已知正弦值求边长 题型4 求角的余弦值 题型5 已知余弦求边长 题型6正切的概念辨析 题型7求角的正切值 题型8已知正切值求边长 题型9特殊三角形的三角函数 题型10特殊角三角函数值的混合运算 题型11根据特殊角三角函数值求角的度数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正弦、余弦、正切、锐角三角函数、对边、邻边、斜边、特殊角三角函数值、三角函数求值 1. 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，分清直角三角形中的对边、邻边、斜边。 2. 熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，能熟练进行求值计算。 3. 掌握锐角三角函数的基本变化规律，能根据锐角求解三角函数值或由值求角。 4. 能利用三角函数建立边角关系，完成直角三角形基础边角计算。 学习重点：正弦、余弦、正切的定义、直角三角形边角对应关系、特殊角的三角函数值及基础计算。 学习难点：复杂直角三角形中三角函数的选取、利用三角函数值求角度、三角函数与直角三角形性质的综合计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 锐角三角函数定义 适用前提：仅限直角三角形中的锐角，任意锐角均有固定的三角函数值，与三角形大小无关，仅与角度大小有关。 三大函数严格定义（以Rt△中∠A为例）： 正弦； 余弦； 正切。 取值范围：锐角三角函数恒为正数，、、。 核心性质：同角三角函数关系：；互余角关系：、。 【易错提醒】 1. 对边、邻边分辨错误，导致三角函数公式代错。 2. 非直角三角形中乱用三角函数定义。 【方法总结】 正对斜、邻对斜、正对邻，分清边角位置再计算。 即时即练1．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为__． 【答案】 【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 则． 故答案为：． 知识点02 特殊角三角函数值 30°、45°、60°核心函数值（零容错背诵）： 变化规律：锐角越大，正弦值、正切值越大，余弦值越小，可用于快速比较函数值大小。 逆向应用：已知特殊三角函数值，可直接反推对应锐角度数，是解方程、角度计算核心技巧。 【易错提醒】 1. 特殊角函数值记混、记反。 2. 计算时化简不彻底。 【方法总结】 特殊角规律：正增余减，45°正余相等，30、60正负互换，结合直角三角形边长特征辅助记忆。 即时即练实数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，先化简每个数，再判断分类，统计有理数的个数即可． 【详解】解：∵是分数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 是无理数，因此是无理数； 是无理数，因此是无理数； ，1是整数，属于有理数； ，3是整数，属于有理数； ∴有理数共有4个，故选C． 知识点03 三角函数求值与简单应用 直接求值：已知直角三角形边长，根据定义直接计算三角函数值。 间接求值：无直接边长，通过勾股定理先求未知边长，再代入定义求函数值。 比值转化：三角函数比值可直接用于线段比例计算、相似三角形边长求解。 【易错提醒】 1. 跳过步骤：未求未知边直接赋值，计算无依据 2. 比例化简错误：函数比值未约分、未化简，结果不规范。 【方法总结】 求值两步法：补全边长（勾股定理）→套用定义求值，步步有据，不跳步、不臆造。 即时即练如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 【答案】(1)证明： ， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由得到，结合，即可得证； （2）过点作于点，根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形是平行四边形， ， 平分，，， ， ， ， ． 题型1正弦的概念辨析 【例1】[感知]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，其中AB＝c，AC＝b，BC＝a，易知sinA＝，sinB＝，可得． (1)[探究]如图②，在任意锐角△ABC中，其中AC＝b，BC＝a，那么结论是否依然成立？若成立给出证明，若不成立，请说明理由． (2)[应用]如图③，要测量池塘两岸B、C两地之间的距离，已测∠C＝75°，∠A＝60°，AC＝20m，则BC的长度为 m． 【答案】(1)结论依然成立，理由见解析； (2)10 【分析】（1）过C作CD⊥AB于D，根据正弦定义和比例性质解答即可； （2）利用三角形内角和定理求得∠B，再根据（1）中结论和比例性质求解BC即可． 【详解】（1）解：结论依然成立，理由如下： 过C作CD⊥AB于D，如图②所示： 则∠ADC＝∠BDC＝90°， 在Rt△ACD和Rt△BCD中，sinA＝，sinB＝， ∴CD＝AC•sinA，CD＝AB•sinB， ∴AC•sinA＝AB•sinB， 即b•sinA＝a•sinB， ∴； （2）解：∵∠C＝75°，∠A＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣75°﹣60°＝45°， 由（1）中结论得：， 即＝， 解得：BC＝＝＝10（m）， 故答案为：10． 【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（　　） A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanA＝ 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， 由锐角三角函数的定义可得， A.sinA＝，故选项错误，不符合题意； B. cosB＝，故选项正确，符合题意； C. tanB＝，故选项错误，不符合题意； D.tanA＝，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式1-2】如图，某工地有一辆吊车，为车身，为吊臂，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂与水平线的夹角为．当货物吊至D处时，测得吊臂与水平线的夹角为，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度，求吊臂的长．（结果保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】吊臂长约为10.9m． 【分析】过点A做AF⊥DE，垂足为F，设AD=AC=x，根据锐角三角函数的定义以及图形中的等量关系列出方程即可求出答案． 【详解】解：过点A做AF⊥DE，垂足为F，则四边形ABEF为矩形， ∴AB=EF， 设AD=AC=x，在Rt△AFD中，∠DAF=53°， ∴sin∠DAF=， ∴DF=ADsin∠DAF=xsin53°， 在Rt△ABC中，∠C=18°， ∴sinC=， ∴AB=ACsinC=xsin18°， 在矩形AFEB中，AB=EF=xsin18°， ∵DE=DF+EF， ∴12=xsin53°+xsin18°， ∴x=， 所以吊臂长约为10.9m． 题型2 求角的正弦值 【例3】中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据锐角三角函数的定义计算各选项的值，即可得到正确结论． 【详解】∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据锐角三角函数定义判断： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 【例4】在中，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦的定义，利用定义直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵在中，，是的对边，是斜边， 又，，根据锐角正弦的定义：， ． 【变式2-1】在中，，若，则_____． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握余弦和正弦的定义． 先由余弦的定义得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图， 在中，，若， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】如图，将一段笔直的铁丝先沿点B弯折，若再沿的中点D将顺时针弯折，能恰好得到一个三角形框架，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，如图，连接，根据题意得，，则，再解直角三角形即可． 【详解】解：如图，连接，    根据题意得，， ∴， ∴． 故选：A． 题型3已知正弦值求边长 【例5】如图，中，，过点作交于点，在上取一点使，过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点，已知，，则________． 【答案】 【分析】本题考查同角的余角相等，锐角三角函数的知识. 设，则，可得，从而可得，由同角的余角相等，可得，根据锐角三角函数，即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，于， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例6】如图，在中，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质；过A作于D，则，根据等腰三角形的性质可得，根据三角函数可得，再根据勾股定理可得，进而可求． 【详解】解：过A作于D，则， ，， ， ， ，， ， 故选：． 【变式3-1】如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，过点作，垂足为，由可得，进而由勾股定理可得，，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ． 【变式3-2】蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由正六边形，可得，，则是等边三角形，，则，，，进而可得Q点坐标． 【详解】解：如图， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 题型4 求角的余弦值 【例7】如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【例8】中，，，，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，明确：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．先利用勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：C． 【变式4-1】已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、正弦、余弦的定义等知识点，掌握正弦、余弦的定义成为解题的关键． 化简可得，即是直角三角形，且为直角；再由可得，设，则，由勾股定理可得，最后根据三角形函数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，且为直角， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了网格中利用勾股定理求线段长度，结合直角三角形的余弦定义计算角度的余弦值． 根据网格的特征，连接构造，利用勾股定理计算线段和的长度，再通过中，求得的值即可． 【详解】解：连接，由题可知，此时， 在网格中，由勾股定理可得：，， ∴在中，． 故答案为：． 题型5 已知余弦求边长 【例9】如图，在矩形中，，，对角线、相交于点M，N为边的中点，将绕点A顺时针旋转得到，点、，分别与点M、N对应，直线分别交线段、于点E、F．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是_____________． 【答案】或 【分析】根据是以为腰的等腰三角形，需要分类讨论，当，利用旋转的性质得出，利用矩形的性质进一步证明为等边三角形，在中求解；当时，先导出，得出，再把问题转化为进行求解． 【详解】在矩形中，，，对角线、相交于点M，， ， 为等边三角形， ， N为边的中点， ， 将绕点A顺时针旋转得到， ， 是以为腰的等腰三角形，当时，作图如下： ， ， 两点重合在一起， ， 在中，， ； 当时，作图如下： ， ， ， 过点作的垂线交于， ， ， 在中，， ， ． 【例10】如图，在中，，，．求长及的值． 【答案】；． 【分析】本题考查了解直角三角形．根据余弦函数的定义求出，再结合勾股定理即可求得的长；根据正弦函数的定义计算即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴； ∵在中，，，， ∴． 【变式5-1】已知边求余弦值→已知余弦值求边在中，则AC的长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理；熟练掌握锐角三角函数值求解是解题的关键. 【详解】解：， ， ， ， 由勾股定理可得：, , 故答案为：6. 【变式5-2】如图，在中，，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键． 根据余弦的定义可得，将代入即可求得的长． 【详解】解：如图，在中， ， ， ， 故选：C． 题型6正切的概念辨析 【例11】在中，，，则 ______． 【答案】60° 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 【例12】如图在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点均在小正方形的顶点上． (1)画出以AB为一腰的等腰△ABC，使其面积为6，点C 在小正方形的格点上； (2)画出以 AB 为底的等腰△ABD， 且tan ABD=2，点D在小正方形的格点上， 连接CD并直接写出CD的长为_________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】（1）作底为，高为的等腰三角形即可； （2）作腰为5的等腰三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求： （2）解：如图所示： 连接，在中，， 故答案为：． 【变式6-1】如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使．利用工具测得米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据正切定义，把公式变形得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 【变式6-2】如图，∠ABD＝∠CDB＝90°．P为线段BD上的一点，在图①中仅用圆规分别在AB、CD上作点E、F，使EF⊥PF，且EF＝PF． (1)在图①中仅用圆规作图，保留作图痕迹； (2)若∠BEP的正切值为，求PD：BE．（图②供问题（2）用） 【答案】(1)见解析 (2)2：7 【分析】（1）以D为圆心，BD为半径画弧交CD于点F，再以F为圆心，PF为半径画弧交AB于点E，则点E、F即为所求作； 【小问2分析】 连接EF、FP、EF，作EG⊥CD于G，设BP＝x，PD＝y，证明△EGF≌△FDP，推出GF＝DP＝y，推出EB＝GD＝x+2y，在Rt△EBP中，求出，BP：PD＝3：2，得到PD：BE＝2：7． 【详解】（1）如图①，（一）以D为圆心，BD为半径画弧交CD于点F．（二）以F为圆心，PF为半径画弧交AB于点E，则点E、F即为所求作； （2）连接EF、FP、EF，过点E作EG⊥CD于G，设BP＝x，PD＝y， ∴FD＝DB＝x+y． ∵∠EGF＝∠EFP＝∠D＝90°， ∴∠EFG+∠PFD＝90°， ∵∠PFD+∠DPF＝90°， ∴∠EFG＝∠DPF， ∵EF＝FP， ∴△EGF≌△FDP（AAS）， ∴GF＝DP＝y， ∴EB＝GD＝x+2y， 在Rt△EBP中，， ∴x：y＝3：2，即PD：BE＝2：7． 题型7求角的正切值 【例13】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． (1)在图①中，画出线段，使，且点在格点上； (2)在图②中，画一个，使，且点、均在格点上． 【答案】(1)线段如图所示， (2)如图所示， 【分析】（1）结合勾股定理得出，构建一个直角边分别为1、3的直角三角形，使为斜边，据此即可画图； （2）作出，，且，则，据此即可画图． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 【例14】在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 【变式7-1】如图，在正方形中，是以为斜边的直角三角形．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】在正方形中，由勾股定理得，过点作交延长线于，易证，得，，故 ，利用互余关系，代入正切定义即得结果． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 在正方形中，，， 在中，． ， ， 在和中，， ， ， ，且， ． 【变式7-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点．点均在格点上，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求正切， 先标注直角三角形，再根据正切的定义解答即可． 【详解】解：如图所示，标注格点D， 在中，， ∴． 故选：C． 题型8已知正切值求边长 【例15】在中，，且，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握“ 在中，，是的对边，是的对边，是的对边，正切函数就是，即”是解题的关键. 【详解】解：在中， ， 故答案为：. 【例16】如图，已知及边上一点C． (1)用无刻度的直尺和圆规在射线上求作点O，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以为半径的圆交射线于点B，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点M，使点M到点C的距高与点M到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作的垂直平分线交于，点O即为所作； （2）作是平分线交于，点即为所作； （3）由（2）可知，，由，可得，可求，由勾股定理得，，证明，则，设，由，，可得，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于， 由垂直平分线的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴点O即为所作； （2）解：如图1，作是平分线交于， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 如图1，作于， ∴， ∴点即为所作； （3）解：由（2）可知，， ∵， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【变式8-1】如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 【变式8-2】如图，平行四边形中，点E是对角线上的一点，连接，，且，若，，则四边形的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．连接交于，先证明，得到，再证明，得到，则四边形是菱形，得到，，在中， ，，，求出，，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B． 题型9特殊三角形的三角函数 【例17】先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果为，值为 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【例18】计算：从①，②，③，④中选择三个代数式求和； 【答案】选①②③：2； 选①②④：；选①③④：；选②③④：； 【详解】解：选①②③： ； 选①②④： ； 选①③④： ； 选②③④： ． 【变式9-1】按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先分别计算特殊值三角函数值，零指数幂，立方根及负指数幂，再进行实数加减的运算即可； （2）先计算括号内的分式加减，再计算分式的除法，得到化简结果，再将代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ， 当时，原式． 【变式9-2】计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握特殊角的三角函数值． 利用特殊角的三角函数值，，直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 题型10特殊角三角函数值的混合运算 【例19】计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【例20】计算、分解因式： (1)计算：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式10-1】计算：． 【答案】， ， ． 【分析】本题主要考查零指数幂、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的计算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂公式，根据规则逐一计算即可． 【详解】略． 【变式10-2】计算：． 【答案】 【分析】先进行负整数指数幂、立方根、特殊角三角函数值的计算及化简绝对值，再进行二次根式的加减即可． 【详解】解：原式． 题型11根据特殊角三角函数值求角的度数 【例21】若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 【例22】若，，，则由小到大的顺序为______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【变式11-1】如下图，在中，．已知的面积为．求： (1)的三角函数值． (2)的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）通过平行四边形的面积求出线段，再通过勾股定理求出线段，根据三角函数公式求出的三角函数值； （2）通过特殊角的函数值求出，再通过平行线的性质求出的度数. 【详解】解：（1）， ， ． 在中，， ， ， ． （2）， 【变式11-2】平面直角坐标系中，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，坐标与图形性质，如图，过作轴于，求解，可得为等边三角形，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选B 一、单选题 1．在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台处监测水位．如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键． 先明确题目中的直角三角形模型，已知角的正弦值和对边的长度，利用正弦函数的定义对边斜边来计算斜边的长度． 【详解】解：∵在中，，，， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则的值为（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及正切，熟练掌握勾股定理逆定理及正切是解题的关键；如图，构造，由图可知，则有，然后根据正切的定义进行求解即可． 【详解】解：如图，构造， 由格点图可知：， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴； 故选A． 3．已知、均为锐角，且满足，则等于（   ） A．75° B．60° C．45° D．105° 【答案】A 【分析】先求出与的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，计算两角和即可. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∵，均为锐角， ∴，， ∴． 4．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 5．如图，已知的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据图像和勾股定理得出AB2，AC2，BC2的值，进而得出△ABC是等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，由网格构造直角三角形可得，AC2＝12＋32＝10，AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝∠C＝45°， ∴sinA＝sin45°＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数．由网格构造直角三角形，并求出AB2，AC2，BC2的值是解决本题的关键． 6．如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与交于点；分别以为圆心，以大于的长为半爸作弧，两弧交于点，连接与交于点，连接．若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．的周长为 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，根据等腰三角形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得．故选项A不符合题意；根据三角函数的定义得到，故选项B符合题意；根据线段垂直平分线的性质得到，得到，求得，故选C不符合题意；根据三角形的周长公式得到的周长为 ． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， ， ，，， ， ， ． 故选项A不符合题意； ， ， 故选项B符合题意； 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ， ， 故选C不符合题意； ， ， 的周长 ，故选项D不符合题意； 故选：B． 7．如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，，则的余弦值为（   ）． A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出的余弦值． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴，即C选项符合题意． 8．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，．则的值是（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】先根据矩形的性质得CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则FC＝BC−BF＝4，设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD−DE＝8−x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得到42＋（8−x）2＝x2，解得x＝5，即EF＝5，然后在Rt△AEF中根据正切的定义求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10， ∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处， ∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°， 在Rt△ABF中，BF＝＝6， ∴FC＝BC−BF＝4， 设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD−DE＝8−x， 在Rt△CEF中， ∵CF2＋CE2＝EF2， ∴42＋（8−x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴EF＝5， 在Rt△AEF中，tan∠EAF＝； 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理． 9．如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（   ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握正弦函数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长， 故脚尖与脚后跟的高度差为， 故选：C． 二、填空题 10．计算：_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、化简绝对值以及实数运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行零指数幂运算、特殊角的三角函数值以及化简绝对值，再进行乘法运算，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11．在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tanA＝_________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，计算AC=8，根据正切的定义计算即可． 【详解】如图， ∵Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6， ∴∠C=90°，AC==8， ∴tanA==， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键． 12．＝______． 【答案】 【分析】利用特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂计算即可． 【详解】∵ = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，算术平方根即正的平方根，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 13．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝_______． 【答案】/ 【分析】构造直角三角形BCE，使顶点E在格点上，一个锐角∠CBE正好等于∠AOB，求出sin∠CBE即可. 【详解】解：如图， 由图可知，，， ∴， 而，，，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键构造格点直角三角形. 14．如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点 M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有 ____ 【答案】②③④ 【分析】根据题给条件，证不出①；是由翻折得到的，故，又点为的中点，可知：，求出，继而可求出②；在中，，继而可知，可以证出③；求出，继而可证出④是等边三角形． 【详解】解：如图示， 是由翻折得到的， ，又点为的中点， 在中，， ，， ，故②正确； 在中，， ， ，故③正确； ，， 是等边三角形，故④正确； 由题给条件，证不出，故①错误． 故答案是：②③④． 【点睛】本题考查翻折变换，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 三、解答题 15．计算：． 【答案】 【分析】利用、、、、这些特殊角的三角函数值，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序进行计算． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握特殊角（、、）的三角函数值以及实数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合计算．根据相关计算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的加减，特殊角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质和绝对值的意义化简各数，并代入特殊角三角函数值，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查计算能力，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算零次幂，三角函数，负整数指数幂，二次根式，再计算加减法； （2）先化简分式，求出不等式组的解集，将整数解代入求出分式的值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 解不等式组，得， ∴不等式组的整数解为2， 当时，原式． 19．平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，点在第一象限内，射线轴，且； (1)如图1，求的正切值； (2)如图2，点在线段上运动，过点作交线段于点，作直线交轴于点D，当为线段的中点时，求直线的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第四象限内，，点、分别在线段、上，将绕点逆时针旋转得，若点在直线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，先求出点、的坐标，得到，，证明四边形为矩形，可求出、的长，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，在、、、中利用锐角三角函数得出边的关系，求出的长，即可求解； （3）过点作于点，交轴于点，过点作于点，过点作于点，连接交轴于点，先证明，得出，，利用边角关系求出点、的坐标，可求出直线的解析式，再求出直线的解析式，则两条直线的交点即为点． 【详解】（1）过点作于点， 在中，当时，，当时，，解得： ， ，， 轴， ， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， 在中，； （2）在图1中，在中，， 在图2中，过点作于点，过点作于点， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， （3）过点作于点，交轴于点，过点作于点，过点作于点，连接交轴于点． ， 在中，， ， ， ， ， ， 由（2）知，在中，， 由勾股定理可得：，即， 解得：，， 由（2）知，， 在中，，， ， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：，， ， ， ， ， ， ， ， 线段绕着点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 在中,， ，， ， 设直线的解析式为 ， ， ， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得： 点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数，三角函数，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，并正确作出辅助线． 20．计算： 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数次幂，特殊角的三角函数的值，化简绝对值，二次根式性质法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $