第10讲 测量和直角三角形的性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第10讲测量和直角三角形的性质 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1勾股定理 题型2直角三角形的性质 题型3斜边的中线等于斜边的一半 题型4含30度角的直角三角形 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 直角三角形、两锐角 1.掌握直角三角形的基本性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边的一半。 互余、斜边中线、30° 2.掌握含30°角的直角三角形的边长性质，能用于几何计算与证明。 直角三角形性质、勾 3.熟练掌握勾股定理及其逆定理，能判断直角三角形、求解边长。 股定理、勾股逆定 理、坡度、坡角、测 4.理解仰角、俯角、坡角、坡度的概念，能猁利用直角三角形性质解决实际测 量问题。 量、仰角、俯角 学习重点：直角三角形的核心性质、30直角三角形性质、勾股定理及逆定理、坡度与坡角的概念。 学习难点：直角三角形性质的综合证明与计算、勾股定理的实际测量应用、坡度仰角相关几何建模问 题。 02 教材全解 ◇知1识框引架 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两锐角互余，和为90°，可快速求未知锐角。任意直 角性质 角三角形，已知一个锐角可直接用90°作差求另一个 锐角，是角度计算基础考点。 斜边中线等于斜边的一半，仅限直角三角形使用。核 直角三角形基 中线性质 心推论：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相 础性质 等，常用于证明线段相等、线段倍分关系、四点共圆 基础题型。 直角三角形中，30°锐角所对的直角边长度等于斜边 30°特殊角性质 的一半。反向推论：若直角三角形中一条直角边等于 斜边的一半，则这条直角边对应的锐角为30°，正反 推论均为考试高频考点。 在Rta中，设两条直角边为a、b,斜边为c,恒 勾股定理（性质） 有a2+b2=c2。适用前提：必须是直角三角形， 斜边为最长边，公式仅用于直角边平方和求斜 测量和直角三角形的性质 边平方。 勾股定理及逆定 已知任意两边可求第三边，核心变形：a2=c2-b2、b 理 勾股定理常用变形公式 2=c2-a2,适配所有直角三角形边长求解场景，无需 重复推导。 基础组(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、 常见整数勾股数 (8,15,17):核心规律：勾股数的正整数倍仍为勾股数 如(3,4,5)放大2倍为(6,8,10)，可快速口算边长。 仰角 视线在水平线上方，视线与水平线的夹角。 测量类几何概 俯角 视线在水平线下方，视线与水平线的夹角。 坡度（坡比） 坡面垂直高度与水平宽度的比值：坡角：坡面与水平 面的夹角。 ◇ 知|识|精讲 知识点01直角三角形基础性质 角性质：两锐角互余，和为90°，可快速求未知锐角。任意直角三角形，已知一个锐角可直接用90°作 差求另一个锐角，是角度计算基础考点。 中线性质：斜边中线等于斜边的一半，仅限直角三角形使用。核心推论：直角三角形斜边中点到三个顶点 的距离相等，常用于证明线段相等、线段倍分关系、四点共圆基础题型。 30°特殊角性质：直角三角形中，30°锐角所对的直角边长度等于斜边的一半。反向推论：若直角三角形 中一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边对应的锐角为30°，正反推论均为考试高频考点。 【易错提醒】 1.斜边中线性质只适用于直角三角形，普通三角形不成立。 2.30°角对的是短直角边，不是长直角边，容易对应错误。 【方法总结】 直角三角形三大专属性质：锐角互余、斜边中线半斜边、30°对边半斜边。 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即时即练如图，在菱形ABCD中，AC,BD交于点O,AB=6,BD=10,AE⊥BC于点E,则OE的长 为 知识点02勾股定理及逆定理 勾股定理（性质）：在t△中，设两条直角边为a、b,斜边为C,恒有a+b2=c2。适用前提：必须是直 角三角形，斜边为最长边，公式仅用于直角边平方和求斜边平方。 勾股定理常用变形公式：己知任意两边可求第三边，核心变形：a2=c2-b2、b=c2-a2,适配所有直角 三角形边长求解场景，无需重复推导。 常见整数勾股数（考试直接用)：基础组(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17)： 核心规律：勾股数的正整数倍仍为勾股数，如(3,4,5)放大2倍为(6,8,10)，可快速口算边长。 勾股定理逆定理（直角三角形判定）：在任意三角形中，若三边满足a+b=c2,则该三角形为直角三角 形，且C边所对的角为直角。核心用途：无垂直条件时，通过边长关系判定直角、证明垂直。 三角形形状拓展判定：若a+b2>c2,三角形为锐角三角形：若a+b2<c2,三角形为钝角三角形（默认c 为最长边)。 【易错提醒】 1.勾股定理乱用在非直角三角形。 2.斜边找错，公式代入边长错误。 【方法总结】 直角三角形用定理，平方和定斜边：边长平方和可判直角三角形。 即时即练如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=V2,AB=2V2,则BC的长为() A.9V2 B.2 c.6 D.10 知识点03 测量类几何概念 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 仰角：视线在水平线上方，视线与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方，视线与水平线的夹角。 坡度（坡比）：坡面垂直高度与水平宽度的比值；坡角：坡面与水平面的夹角。 测距测量题型：无法直接测量的斜边距离（池塘、河宽、高度），通过构造直角三角形，转化为可测量的 直角边，利用勾股定理求解。 折叠与翻折题型：图形折叠前后边长不变、角度不变，利用等量代换设未知数，结合勾股定理列方程求解 线段长度，是中考高频压轴小题。 立体图形测距：长方体、正方体表面最短路径，展开立体图形为平面直角三角形，斜边即为最短距离。 【易错提醒】 1.坡度是比值，不是角度，不与坡角混淆。 2. 仰角俯角看错视线方向。 【方法总结】 所有测量角度，最终均转化为直角三角形内角求解。 即时即练港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三 检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最.港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥， 其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站 在B处看塔顶A,仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A,仰角为30°，求该主塔的高度， B 777777777777777777777 03 题型突破 题题型1勾股定理 【例1】如图，在三角形支架中，AD⊥BC,AB=2m,AC=1.5m,DC=0.9m 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)求BD的长： (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由. 【例2】等边三角形的边长为6Cm,那么它任意一边上的中线长为 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF‖DC. (1)求证：四边形AFCD为平行四边形； (2)若∠EFB=90°，BF=3,EF=1,求BC的长. 【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F分别在边AD,AB上，BF=DE,连接BE, CF,则BE+CF的最小值是一· A D B 题型2直角三角形的性质 【例3】下列命题中，假命题的是() A.对顶角相等 B.同位角相等 C.有两个角互余的三角形是直角三角形D.任意凸多边形的外角和都等于360° 【例4】将直尺和三角板如图放置，∠1=37°，求∠2= 0 【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,D为斜边AB中点，连接CD, 则CD的长为 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,AB=8,点D为斜边AC的中点，则 BD= 题型3斜边的中线等于斜边的一半 【例5】如图，菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,点E是AB的中点，连接OE,若OE=5,则AD的 长为() 0 5 A.2 B.10 c.5 D.53 【例6】如图，一根长为8米的钢缆AC斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点B. 若点D是钢缆AC的中点，则B,D两点间的距离为() 8米 A.6米 B.5米 C.4米 D.3米 【变式31】如图，△ABC中，AB=BC,E,F分别为AB和AC的中点，AD是BC边上的高，连接DE, EF.若DE=5,则EF的长为() 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.5 B.6 C.10 D.12 【变式32】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，D为BC上一点，且AC=AD,E,F 分别是CD,AB的中点，连接EF,若AC=2,则EF的长为() D E A.2V3 B.3 c.1 D.0.5 题型4含30度角的直角三角形 【例7】小明的骑行路线如图所示，他从O地出发，0.5小时后到达A地，若他骑行的速度保持不变，则他 从A地骑行至B地所需时间为() 60X309 0 A.0.5小时 B.1小时 C.1.5小时 D.2小时 【例8】如图，一架梯子斜靠在与地平面BC垂直的墙上，梯子与墙的夹角∠BAC=30°，梯子的长为8 米，则BC的长为 米. C B 【变式41】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4,将△ABC绕点C逆时针旋转， AB的对应边AB正好过点B,此时AC与AB交于点O,则OC的长为一 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 【变式42】如图，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展开：再一次折叠纸 片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,把纸片展开.若AB=3, AD=3,则DM= M D 04 过关检测 一、单选题 1.下列结论不正确的是() A.等腰三角形的底角必为锐角 B.等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半 C.等腰三角形的底角等于顶角的一半 D.等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以点A、B为圆心，大于AB的同样长为半径面 弧，两弧交于点D、E,作直线DE交AC于点F,连接BF.则下列说法中不正确的是() D A.DE是线段AB的垂直平分线 B.AF=BF 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C. SACBE=1 SAABC 3 D.CF=1AB 4 3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的 高度为() 30° A.6米 B.8米 C.10米 D.12米 4.现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，小强一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车 辆应沿北偏西45°方向行驶8千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C,小强发现风景 区C在A地的北偏东15°方向，那么A,C两地的距离为() 北 60° 、B 15% 45 A A.4V6千米 B.43+4千米C.4V2千米 D.6V6千米 5.如图，正△ABC纸片，E为AC边上的一点，连结BE.将△BAE沿BE翻折得到△BFE,过点C作 AB的平行线交EF的延长线于点M,若∠EMC=90°则F花的此为() 2 B.23 2 c.月 3-1 D. 2 6.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=12,则CD的长为() 9/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.6 B.8 C.10 D.12 7.如图，学校的旗杆AB垂直立于地面，当阳光与地面夹角为60°时，旗杆的影子BC长9米，则学校旗杆 AB的高度为()米. 60° A.4.5 B.3V3 c.9V3 D.18 8.将两个全等的含30°角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则DF长为() A.1 B.2 C.2 D.3 9.如图，在等边△ABC中，以A为直角顶点作等腰直角△CAD,AF⊥BD分别交BD、CD于点E、F, N为线段BG上一动点，M为线段AD上一动点，且BN=AM,以下4个结论：①∠CBN=3∠ABD; ②DF=2EF;③DF=CF+AF;④当CN+CM的值最小时，∠ACM=∠DCM.正确的为() G B A.①② B.①②③ C.①③④ D. ①②③④ 10/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 10.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC, BC上滑动，且DE=5,若点M,N分别是DE,AB的中点，则MN的最小值为· A N D /M C B 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=32°，D为AB中点，则∠ACD的度数为一· A B 12.某天，嘉嘉和父母外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示， 在河对岸选择点A,再在河这边岸边选取B,C两点，测得∠ABC=75°，∠ACB=30°，并测量出BC 长为40米，则河的宽度为 米。 B 13.如图，在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=150°，点P,Q分别在边AB,BC上，则AQ+PQ的 最小值为 C Q B P A 14.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC=150°，BC的长是10m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 m C D 150° B 11/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 15.如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD,作∠ECA=∠ACD,CE交AB于点O,交DA的延长 线于点E,连接BE. A D (I)求证：四边形ACBE是矩形： 2)连接OD.若AB=4,∠ACD=60°，求OD的长. 16.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD,AD交BE于点P,BQ⊥AD于Q. B D (I)求证：AD=BE: (2)若PQ=6,PE=2,求AD的长： AP 3)连接PC,若BP1PC,求PO的值. 17.材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向 法线 发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把 空气 入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为 a 折射率(m),即n=sing sinβ' 已知光线从空气进 某种玻璃 入某种玻璃时的折射率为3. 问题解答： 如图，矩形ABCD为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O,折射后照到玻璃底部的点Q.测得 ∠NOQ=30°，NQ=10cm,若P,O,C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： 12114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 0 1)求∠POM的大小： (2)求CQ的长. 18.如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里时的速度 由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. C 北 A北 西 东 (1)求B处到灯塔C的距离： (②)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危 险？请你说明理由。 19.2023年12月18日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯 一直是游客们争相打卡的网红项目.如图，AB表示原长为300m的冰滑梯，坡角为30°，AC⊥BC于点 C.为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将 终点B移至点D,此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）， D- 30° B (1)求该冰滑梯的高度AC: (2)求冰滑梯新终点D与原终点B之间的距离（计算结果保留根号，图中假设C,B,D三点共线且A, C,B,D都在同一平面内，滑道AB、BD没有起伏，为平直的斜坡)· 20.在平面直角坐标系中，O为原点，△AOC中，∠OAC=30°，顶点A0,4,△OBD满足 ∠OBD=90°，OB=OA,OD⊥AC,垂足为E. 13114 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D M C B 00' C'B 图① 图② (1)如图①，直接写出点C和点D的坐标： (2)将△AOC沿x轴向右平移，得到△AOC,点A,O,C的对应点分别为A,O,C. ①如图②，若线段OA、AC与线段OD分别相交于点M、N(点N与点D不重合)，当△AOC与 △OBD重叠部分为四边形时，该四边形的面积为S,设OO=t,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的 取值范围： ②当DO+DC取得最小值时，直接写出A的坐标. 14/14 第10讲 测量和直角三角形的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 勾股定理 题型2 直角三角形的性质 题型3斜边的中线等于斜边的一半 题型4 含30度角的直角三角形 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直角三角形、两锐角互余、斜边中线、30°直角三角形性质、勾股定理、勾股逆定理、坡度、坡角、测量、仰角、俯角 1. 掌握直角三角形的基本性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边的一半。 2. 掌握含30°角的直角三角形的边长性质，能用于几何计算与证明。 3. 熟练掌握勾股定理及其逆定理，能判断直角三角形、求解边长。 4. 理解仰角、俯角、坡角、坡度的概念，能利用直角三角形性质解决实际测量问题。 学习重点：直角三角形的核心性质、30°直角三角形性质、勾股定理及逆定理、坡度与坡角的概念。 学习难点：直角三角形性质的综合证明与计算、勾股定理的实际测量应用、坡度仰角相关几何建模问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直角三角形基础性质 角性质：两锐角互余，和为90°，可快速求未知锐角。任意直角三角形，已知一个锐角可直接用90°作差求另一个锐角，是角度计算基础考点。 中线性质：斜边中线等于斜边的一半，仅限直角三角形使用。核心推论：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等，常用于证明线段相等、线段倍分关系、四点共圆基础题型。 30°特殊角性质：直角三角形中，30°锐角所对的直角边长度等于斜边的一半。反向推论：若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边对应的锐角为30°，正反推论均为考试高频考点。 【易错提醒】 1. 斜边中线性质只适用于直角三角形，普通三角形不成立。 2. 30°角对的是短直角边，不是长直角边，容易对应错误。 【方法总结】 直角三角形三大专属性质：锐角互余、斜边中线半斜边、30°对边半斜边。 即时即练如图，在菱形中，交于点O，，于点E，则的长为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，为的中点， ∴． 知识点02 勾股定理及逆定理 勾股定理（性质）：在Rt△中，设两条直角边为，斜边为，恒有。适用前提：必须是直角三角形，斜边为最长边，公式仅用于直角边平方和求斜边平方。 勾股定理常用变形公式：已知任意两边可求第三边，核心变形：、，适配所有直角三角形边长求解场景，无需重复推导。 常见整数勾股数（考试直接用）：基础组(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17)； 核心规律：勾股数的正整数倍仍为勾股数，如(3,4,5)放大2倍为(6,8,10)，可快速口算边长。 勾股定理逆定理（直角三角形判定）：在任意三角形中，若三边满足，则该三角形为直角三角形，且边所对的角为直角。核心用途：无垂直条件时，通过边长关系判定直角、证明垂直。 三角形形状拓展判定：若，三角形为锐角三角形；若，三角形为钝角三角形（默认为最长边）。 【易错提醒】 1. 勾股定理乱用在非直角三角形。 2. 斜边找错，公式代入边长错误。 【方法总结】 直角三角形用定理，平方和定斜边；边长平方和可判直角三角形。 即时即练如图，中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴. 知识点03 测量类几何概念 仰角：视线在水平线上方，视线与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方，视线与水平线的夹角。 坡度（坡比）：坡面垂直高度与水平宽度的比值；坡角：坡面与水平面的夹角。 测距测量题型：无法直接测量的斜边距离（池塘、河宽、高度），通过构造直角三角形，转化为可测量的直角边，利用勾股定理求解。 折叠与翻折题型：图形折叠前后边长不变、角度不变，利用等量代换设未知数，结合勾股定理列方程求解线段长度，是中考高频压轴小题。 立体图形测距：长方体、正方体表面最短路径，展开立体图形为平面直角三角形，斜边即为最短距离。 【易错提醒】 1. 坡度是比值，不是角度，不与坡角混淆。 2. 仰角俯角看错视线方向。 【方法总结】 所有测量角度，最终均转化为直角三角形内角求解。 即时即练港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，设米，在中，利用三角函数值得，进而得，在中，利用三角函数值得，进而求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，设米， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：该主塔的高度为米． 题题型1勾股定理 【例1】如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 【例2】等边三角形的边长为，那么它任意一边上的中线长为_________． 【答案】 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，可知任意一边上的中线即为这条边上的高，利用勾股定理即可求出中线长． 【详解】解：等边三角形满足三线合一， 任意一边上的中线垂直于这条边，且平分这条边． 已知等边三角形边长为，可得边的一半的长为， 设这条边上的中线长为， 由勾股定理得：， 解得（负值舍去）． 【变式1-1】如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 【变式1-2】如图，在矩形中，，，E，F分别在边，上，，连接，，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】延长，在上截取，连接，先证明得到，从而推出当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，延长，在上截取，连接， ∵四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值是． 题型2 直角三角形的性质 【例3】下列命题中，假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．任意凸多边形的外角和都等于 【答案】B 【分析】根据相关几何概念逐一判断，找出假命题即可． 【详解】对顶角的性质为对顶角相等，故A是真命题，不符合题意； 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，未说明两直线平行的条件时， 同位角不一定相等，故B是假命题，符合题意； 三角形内角和为，若三角形有两个角互余， 即两个角的和为，则第三个角为， 该三角形是直角三角形，故C是真命题，不符合题意； 任意凸多边形的外角和恒为，故D是真命题，不符合题意． 【例4】将直尺和三角板如图放置，，求________． 【答案】 【分析】，． 【详解】解：如图，由直尺得，， ， 由三角板得，， ． 【变式2-1】如图，在中， ，，， D 为斜边中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 点为的中点， ． 【变式2-2】如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 【答案】5 【分析】根据勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 由点为斜边的中点， ． 题型3斜边的中线等于斜边的一半 【例5】如图，菱形中，与相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直可得为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据菱形的四条边相等即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 是直角三角形， 点是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， ． 【例6】如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 【变式3-1】如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及中位线的性质求解即可． 【详解】解：为的中点，且， ． ． 由题意，得是的中位线， ． 【变式3-2】如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先根据含角的直角三角形性质求出和的长，再由勾股定理可得的长，再证明是等边三角形，利用三线合一得到，最后在中利用斜边中线定理求出的长． 【详解】如图，连接， 在中，，，， ，， 由勾股定理得：， ，， 是等边三角形， 是的中点， ，即， 在中，是的中点， ． 题型4 含30度角的直角三角形 【例7】小明的骑行路线如图所示，他从O地出发，0.5小时后到达A地，若他骑行的速度保持不变，则他从A地骑行至B地所需时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时 【答案】B 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质． 根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，根据题意可得， ∴， ∵从O地出发，0.5小时后到达A地， ∴保持速度不变，从A到B行驶的时间为1小时， 故选：B． 【例8】如图，一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为8米，则的长为______米． 【答案】4 【分析】本题考查了30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，米， ∵一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角， ∴（米）， 故答案为：4． 【变式4-1】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】根据含的直角三角形的性质求出和的长，利用旋转的性质得到，，从而判定是等边三角形，求出旋转角的度数，最后在中利用的直角三角形的性质求出的长． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 由旋转可得，，，， 是等边三角形， ， 旋转角， 在中，，， ， 是直角三角形， ∴． 【变式4-2】如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，把纸片展开．若，，则________． 【答案】2 【分析】取的中点K，连接．先运用翻折的性质，求出，的长，再根据斜中半定理，求得，从而证得是等边三角形，．运用翻折的性质，求出，最后运用勾股定理以及“直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”，求出的长，最后求得． 【详解】解：如图，取的中点K，连接． ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， ∵， ∴． ∵折叠纸片，使点A落在上，折痕为，同时得到线段， ∴． ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴． ∵，点K为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵折叠纸片，使点A落在上，折痕为，同时得到线段， ∴． ∵矩形纸片， ∴， 在中， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∵， ∴． 一、单选题 1．下列结论不正确的是（    ）． A．等腰三角形的底角必为锐角 B．等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半 C．等腰三角形的底角等于顶角的一半 D．等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：A. 等腰三角形的底角必为锐角，故该项说法正确； B. 等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半，故该项说法正确； C. 等腰三角形的底角不一定等于顶角的一半，故该项说法错误； D. 等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半，故该项说法正确； 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 2．如图，在中，，．分别以点、为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧交于点、，作直线交于点，连接．则下列说法中不正确的是（    ） A．是线段的垂直平分线 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形面积性质求解即可； 【详解】解：A.根据基本作图，可得是线段的垂直平分线，正确，不符合要求； B. 根据线段垂直平分线的性质，得，正确，不符合要求； C.  ，．，，， ， ， ， ，正确，不符合要求；     D. 根据题意，得，，， 故，错误，符合要求 3．如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，根据，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴这棵树在折断前的高度为（米）． 故选：A． 4．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，小强一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，小强发现风景区在地的北偏东方向，那么两地的距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】本题考查了方位角与勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，理解方位角的含义，掌握勾股定理定理，合理构造含角的直角三角形，等腰直角三角形是解题的关键． 如图所示，千米，过点作于点，则，，可得是含角的直角三角形，是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，千米，过点作于点，则，，    ∴在中，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， 在中，（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， ∴两地的距离为千米， 故选：B ． 5．如图，正纸片，为边上的一点，连结．将沿翻折得到，过点作的平行线交的延长线于点，若 则的比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，设交于点，由是正三角形得，由翻折得，，因为，所以，可证明，得，则，，则，，所以，可求得，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点，设交于点，     是正三角形， ， 由翻折得，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形中解所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 6．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵中，是斜边上的中线，若， ， 故选：A． 7．如图，学校的旗杆垂直立于地面，当阳光与地面夹角为时，旗杆的影子长9米，则学校旗杆的高度为（   ）米． A．4.5 B． C． D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，先跟根据垂直定义可得，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得米，最后利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴学校旗杆的高度为米， 故选：C． 8．将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则DF长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形中所对的直角边与斜边的关系． 确定出最长边为，由直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可得的长度，同理可得的长度 【详解】解：由全等三角形的性质得，， 根据含角的直角三角形的性质得，， ，， 为等边三角形， ， ， 又， ， ， 故选： 9．如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角，分别交、于点、，为线段上一动点，为线段上一动点，且，以下4个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，线段的最值问题，根据等边与等腰直角中，可得，，则，得①正确；在中证明，得到②正确；在上取，连接证明进而得是等边三角形，从而证明③正确；过B作，使，连接，证明可得，求最小就是求最小，此时根据证明是等腰三角形，结合已知及作图可得，即可证明，则④正确． 【详解】解：∵在等边与等腰直角中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如图：在上取，连接， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 过B作，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当最小时即最小， 延长至使，则P与关于对称，连接交于， 连接则点为最小值的位置，此时最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴①②③④都正确， 故选：D． 二、填空题 10．如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据直角三角形斜边中线的性质求得 ，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值， ∵，，，点M、N分别是，的中点， ∴ ，， ∴的最小值为． 故答案为：. 11．如图，在中，，，为中点，则的度数为______．    【答案】/58度 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解决本题的关键； 根据直角三角形的性质可求的度数，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，为中点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．某天，嘉嘉和父母外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为40米，则河的宽度为_______米． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得出，进而可得出，则，最后根据含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， 在中， （米） 故答案为：20 13．如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为 _____． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、、，作于点，由，，求得，，则，所以，由，，且，得，即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、、，作于点， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，且， ∴， 即， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是_______．    【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则，   ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，在平行四边形中，，作，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE． (1)求证：四边形ACBE是矩形； (2)连接OD．若，，求OD的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）先证明四边形ACBE是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）先证明∆AOC为等边三角形，由各角之间的关系得出∠FAO=90°-60°=30°，根据含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AC⊥AD， ∴∠EAC=∠DAC=90°， ∵∠ECA=∠ACD， ∴∠AEC=∠ADC， ∴CE=CD， ∴AE=AD=BC， ∵AE∥BC， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵∠EAC=90°， ∴四边形ACBE为矩形； （2）如图，过点O作OF⊥DE于F， 由（1）可知，四边形ACBE为矩形， ∴对角线AB与CE相等且互相平分，AO=， ∴OA=OC， ∵∠ACD=∠ACO=60°， ∴∆AOC为等边三角形， ∴∠OAC=60°， ∵∠EAC=90°， ∴∠FAO=90°-60°=30°， 在Rt∆AFO中， OF=，， 在Rt∆AEB中，， AD=AE=， ∴DF=AF+AD=， ∴OD=． 【点睛】题目主要考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 16．如图，为等边三角形，，交于点P，于Q． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等，可得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，进而可得，即可得到答案； （3）证明，得到，则，即求出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，则， ∴， ∴， ∵于点Q， ∴． ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 17．材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的大小； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）首先求出，，求出，即可得到． 【详解】（1）解：在中，， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ， ∴ ∴ ∴． 18．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)36海里 (2)没有危险 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．   （1）根据已知条件得到 ，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；   （2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得  , ，（海里），   ∴ ， ∴ ，   ∴（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为36海里；   （2）解：没有触礁的危险，理由如下：   过C作交的延长线于点D，   ∵（海里），   ∴（海里），   ∵，   ∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险． 19．2023年 12月 18 日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目．如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为 于点C．为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点 B移至点D，此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）． (1)求该冰滑梯的高度； (2)求冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离（计算结果保留根号，图中假设C，B，D三点共线且A，C，B，D都在同一平面内，滑道 没有起伏，为平直的斜坡）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． （1）根据含的直角三角形的性质可得即可求解； （2）运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ， ， 则该冰滑梯的高度为； （2）解：依题意得：， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 故冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离为． 20．在平面直角坐标系中，为原点，中，，顶点，满足，垂足为． (1)如图①，直接写出点和点的坐标； (2)将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． ①如图②，若线段、与线段分别相交于点、（点与点不重合），当 与重叠部分为四边形时，该四边形的面积为，设，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当取得最小值时，直接写出的坐标． 【答案】(1)， (2)①当，；② 【分析】本题考查了解直角三角形、图形的平移、线段最值等知识点的应用，准确识图、分情况讨论及辅助线的应用是解题关键． （1）作利用正切值求出边长，证明出即可求出坐标； （2）①当，，当，，分别根据图形，用表示即可． ②过作轴的平行线，作关于的对称点，连接，将向右平移至位置，满足经过点时，点的横坐标是符合题意的点的横坐标，求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：，， ，即， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ． （2）①， ， ，， ， ， 在中，， 且， 当，如图， ，， ， ， ， ， ； 当，如图， 与重叠部分不是四边形，故不符合题意， 当，； ②过作轴的平行线，作关于的对称点，连接， 将向右平移至位置，满足经过点时，点的横坐标是符合题意的点的横坐标， 设与交于点， 由对称得，， 轴， ， 点坐标， 点坐标． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $