第07讲 相似三角形（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第07讲相似三角形 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1利用平行判定相似 题型2利用两角对应相等判定相似 题型3利用三边对应成比例判定相似 题型4利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型5相似三角形的判定综合 题型6选择或补充条件使两个三角形相似 题型7利用相似三角形的性质求解 题型8相似三角形一动点问题 题型9相似三角形的判定与性质综合 题型10相似三角形的应用 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解相似三角形的定义与相似比的概念，能用符号规范表示相似三角形。 相似三角形、相似 比、对应角、对应 2.掌握平行线判定相似、两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比 例四种判定方法。 边、平行线分三角形 相似、两角判定、两 3.掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，能进行边长、角度计 算。 边成比例夹角相等判 4.能结合图形条件，灵活选用判定定理证明三角形相似并解决简单几何问 定、三边成比例判定 题。 学习重点：相似三角形的定义与相似比、相似三角形的四大判定定理、相似三角形的边角性质。 学习难点：灵活选用判定定理证明三角形相似、相似三角形性质的综合应用、复杂图形中相似三角形 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的识别与计算。 02教材全解 知|识1框|架 如果两个三角形的三个对应角分别相等，三条对应边成 定义 比例，那么这两个三角形相似。简单概括：形状相同、 大小不同的两个三角形互为相似三角形。 相似符号：一，书写时顶点必须一一对应、顺序绝对 不能乱。 相似三角形定 义与相似比 表示方法 正确示例：△ABC∽△DEF 对应关系：∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F 相似三角形对应边的比值叫做相似此，记作k。 相似 相似比俱有有序性！ 平行于三角形一边的直线，与另外两边 平行判定法(A型、X型模型) (或两边的延长线)相交，所构成的小 三角形与原三角形相似。 如果两个三角形有两组对应角分别相等，则两个三角 两角分别相等判定(AA判定) 形相似。 相似三角形 相似三角形四 大判定定理 两边成批例且夹角相等判定(SAS判定】 两个三角形的两组对应边成批例，且两 边的夹角对应相等，三角形相似。 定理：两个三角形的三组对应边全部成比例，则两个 三边成比例判定(SSS判定) 三角形相似。 基础性质 对应角相等，对应边成比例（相似三角形定义性质，证明题必用）。 相似三角形核 对应线段性质 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、对 心性质 应中位线的比值，全部等于相似比k。 周长比=相似比k 周长与面积核心性质 面积比=相似比的平方k2 2/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识|精|讲 知识点01相似三角形定义与相似比 定义：如果两个三角形的三个对应角分别相等，三条对应边成比例，那么这两个三角形相似。简单概括： 形状相同、大小不同的两个三角形互为相似三角形。 表示方法： 相似符号：一，书写时顶点必须一一对应、顺序绝对不能乱。 正确示例：△ABC一△DEF 对应关系：∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F 错误后果：顶点顺序混乱，会直接导致对应角、对应边找错，整题计算错误。 相似比： 定义：相似三角形对应边的比值叫做相似比，记作k。 关键性质：相似比具有有序性！ 若△ABC一△DEF,相似比为k,则△兰一△ABC的相似比为 1 二者互为倒数。 【易错提醒】 1.书写相似符号时项点顺序混乱，导致对应边角找错。 2.忽略相似比的有序性，直接颠倒比值。 【方法总结】 顶点对应写符号，边角跟随顶点走，相似比按前后顺序取值。 即时即练已知两个相似三角形对应高之比为4：9，那么这两个三角形的周长之比() A.2:3 B.4:9 C.16:81 D.1:2 知识点02相似三角形四大判定定理 1.平行判定法（A型、X型模型) 定理：平行于三角形一边的直线，与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的小三角形与原三角形相 似。 两大基础模型： 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①A型（正平行）：直线平行于底边，小三角形嵌套在大三角形内部： ②X型（反平行/8字型)：两直线相交，对顶三角形平行相似。 适用场景：题干出现平行线、中位线、梯形对边平行，优先用此判定。 2.两角分别相等判定(AA判定) 定理：如果两个三角形有两组对应角分别相等，则两个三角形相似。 核心原理：三角形内角和180°，两组角相等，第三组角必然相等，无需验证边长。 高频等角来源：对顶角相等、公共角相等、平行线同位角/内错角相等、直角相等、同角的余角/补角相等。 适用场景：绝大多数角度类相似证明题，是考试使用率最高的判定方法。 3.两边成比例且夹角相等判定(SAS判定) 定理：两个三角形的两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等，三角形相似。 致命关键点：必须是夹角相等！非夹角（对角）相等，两边成比例，三角形不一定相似。 适用场景：题干给出边长比例、线段乘积式，无明显等角条件时使用。 4三边成比例判定(S$S判定) 定理：两个三角形的三组对应边全部成比例，则两个三角形相似。 使用要点：边长从小到大排序，依次对应求比值，三组比值全部相等即可判定。 适用场景：题干给出完整边长、网格三角形、无角度条件的纯边长题型。 【易错提醒】 1.两边成比例+非夹角相等，误判三角形相似，属于典型错误。 2.复杂图形中找错对应边角，误用判定定理。 【方法总结】 有平行用平行判定，有等角用两角判定，有边长比例用边角、三边判定。 即时即练如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是()， ① ② ③ ④ A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 4/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点03 相似三角形核心性质 基础性质 对应角相等，对应边成比例（相似三角形定义性质，证明题必用）。 对应线段性质 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、对应中位线的比值，全部等于相似比k。 周长与面积核心性质 ①周长比=相似比k ②面积比=相似比的平方k2 终极注意：已知面积比求相似比，要开平方；已知相似比求面积比，要平方。 拓展推论 多个相似三角形，相似比传递，周长、面积比同步传递；相似图形中，所有一维线段比等于相似比，二维 面积比等于相似比平方。 【易错提醒】 1.混淆面积比与相似比，直接用相似比当作面积比。 2.非对应线段的比不等于相似比。 【方法总结】 所有对应线段比=相似比，面积比=相似比平方，周长比=相似比。 即时即练已知△ABC一△就，且相似比为1：2，则△ABC与△乙的面积比为() A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.4:1 03 题型突破 题型1利用平行判定相似 AD 【例】如图，在△ABC中，DE|BC,若SAAC=9S△ADE,则AB的值() 5/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 B. 1 C.g 1 A.2 3 D.4 【例2】已知：如图，DE‖BC,AD:BD=1:2,则S△ADE:S△ABc= B 【变式1-1】为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点A,B,C,并且分别在AB,AC的延 长线上取点D,E,使得DE‖BC,经测量，BC=6m,DE=9m,且点E到河岸BC的距离为5m,则河 宽AF为() A B D E A.10m B.9m C.6m D.5m 【变式1-2】已知：如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上的一点，DE延长线交BC延长线于点 BF AE F,求证：CFEC A D E B C 题型2利用两角对应相等判定相似 【例3】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E,除Rt△ABC自身外，图中与 Rt△ABC相似的三角形的个数是 6/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 【例4】已知，如图，在△ABC中，∠C=60°，D是线段BC上一点（不与端点B、C重合），连结AD, 以AD为边，在AD的右侧作等边△ADE,线段DE与线段AC交于点F.求证：△AEF一△DCF. D 【变式2-1】如图，已知△ABC,请用尺规作图法在边AB、AC上分别作点D、E,连接DE,使得 △ADE一△ABC,且AE=AB.(保留作图痕迹，不写作法) B 【变式2-2】下列说法正确的是() A.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B.有一个角相等的两个等腰三角形相似 C.一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D.对角线垂直且相等的四边形是正方形 题型3利用三边对应成比例判定相似 ABAC 【例5】如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上，连接AD,作DA1AE,使得ADA,连 接DE交AC于点F,若AC=6,AB=8 B 求证： 7/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I)△ABD~△ACE, (2)若BD=4,求tan∠EDC的值 【例6】如图，在△ABC中，已知AB=45,AC=54,BC=15.在△乙中，已知DE=30,EF=10, DF=36,求证：△ABC一△(. EIOF 30 36 15 54 45 【变式31】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△就的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上， 请判断△ABC与△兰乙是否相似？并证明你的结论. E 【变式32】如图，在△ABC和△EDC中，已知AB=6,DE=3,BC=8,DC=4. (I)求证：△ABC一△EDC: (2)求AC与EC的长： 3)求△ABC和△EDC这两个三角形的面积比. 题型4利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例7】如图，在△ABC中，∠A=80°，AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴 影三角形与原三角形不相似的是() 8/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 80ò 1009 B.B4 100 D 【例8】如图，AE与BD相交于点C,已知AC=5,BC=3,EC=10,DC=6.求证： △ACB~△ECD 【变式41】如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=CD·AC=6. D B (I)求证：△CBD~△CAB」 (②)若BD=AC=3,求AB的长. 【变式42】如图，已知△ABC与△就，下列条件一定能推得它们相似的是（) A.<A=∠D,A=BC DE EF R2C=2r,8提品 C.∠A=∠D,∠B=∠E D.∠A=∠B,∠D=∠E 题型5相似三角形的判定综合 【例9】如图，在△ABC中，∠A=75°，AB=8,AC=6,将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角形与原三角形不相似的是() y 75° B 4.5 3.5 75 B.B C B D B 【例10】如图，已知点D,E分别在△ABC的边AC,AB上，AE=2,AD=3,AC=4,AB=6.求证： △ADE一△ABC. E D 【变式51】下列命题正确的是() A.平分弦的直径垂直于弦 B.两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C.方程x2-x+1=0没有实数根 D.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 【变式52】如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点，点E在AC上且CE=2AE,将线 段DE绕点D顺时针旋转9O°得到线段DF,连接AF,则AF的长为 题型6选择或补充条件使两个三角形相似 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例11】如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD=3,CD=1,要使△ADB一△ABC,则AB的 长为 B 【例12】如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，要使△ADE一△ABC,则可以添加的条件是 (只需添加一个条件即可). 【变式61】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都不与顶点重合）， EF‖BC.添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是() 3 A.DE‖AC B.∠1+∠2=180° C.∠3=∠C AEAF D.BE DE 【变式62】如图，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是() D A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C AD DE ADAE C.ABBC D.ACAB 11/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型7利用相似三角形的性质求解 【例13】已知△ABC一△ABC,它们的相似比为2：3，那么它们的周长比是， 面积比是 【例14】如果△ABO与△DCO的相似比为1：2，则面积之比为() A.1:2 B.1:4 c.2:1 D.4:1 【变式7-1】如图，在△ABC中，DE‖BC,AD=3,BD=2,则△ADE与△ABC的面积比为() B A.9.25 B.3,5 c.9.16 D.3,4 【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点G在边BC上，连接AG交 BD于点F,若AO=OF·OB D B 1)求证：△AOF一△DOC: (2)若AG⊥BC,∠BCA=∠ACD,求证：四边形ABCD是菱形. 题型8相似三角形—动点问题 【例15】如图，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，AO=8,OC=6,点P从点0出发以1个单位长度/秒 的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以4个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为1秒，当 ∠OPQ的平分线恰好经过OC的中点时，t的值为 【例16】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3.动点P从点B出发沿折线BC-CA以每秒5 个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作PD⊥AB于点D,以PD 12/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为边作矩形PDEF,使点F、点C始终在直线PD的同侧，且PD=2DE,设点P的运动时间为t秒. A E D F P (1)AC= (2)作点C关于直线PF的对称点C,连接EC,当直线EC与△ABC的边平行时，t的值 【变式81】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.点P从C出发沿CA运动，速度为1单位 秒；点Q从C出发沿CB运动，速度为2单位/秒.何时△CPQ与△ABC相似？ 【变式82】如图，在平面直角坐标系内，已知点A0,6、点B8,0,动点P从点A开始在线段AO上以每 秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P、Q移动的时间为t秒， B衣 1)当t为何值时，以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似？ (2)△APQ的面积能否为6个平方单位？若能，求出t的值；若不能，请说明理由. 题型9相似三角形的判定与性质综合 【例1T】如图1，在矩形ABCD中，点M在BC上，连接DM,EF垂直平分DM分别交AB,CD于点E, F,点A与点N关于EF对称，连接MN交AB于点G,连接AN 图1 图2 (I)求证：△FCM~△MBG: EF 2若AB=6,BC=4,求DM的值： 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)如图2，在(2)的条件下，MC=3,求AN的值 【例18】如图，在矩形ABCD中，AB=4.点E是边AB上的一动点，将△CBE沿CE折叠，点B落在点 B处 (1)若BC=3,当B落在对角线AC上时，求BE的长： (2)若BC=3,连接BD.若△ABD为等腰三角形，求所有符合条件的BE的长： (3)若BC=2,在点E运动的过程中，线段BD的中点为M.求当△BAE的面积取得最大值时，点M到点 A的距离，同时探讨∠EMB能否为90°，若可以，请求出此时AE的长；若不可以，请说明理由 【变式91】在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB,垂足为点D,过点D作 DE⊥OA,垂足为点E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G, 【观察猜想】 1)如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系： D 图1 【类比探究】 (2)如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的结论是否仍然 成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明. B D 图2 【拓展应用】 14/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD 6)当0<∠A0B<180°，且∠AOB≠90°时，若EG=2EF,请直接写出O元的值. 【变式9-2】如图的等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上移动，且满足与外心O三点共线，将 △BDE沿直线DE折叠，与AC交于点F,G,连接OF,OG,则下列为定值的是() A.OF与OG的比值 B.四边形DEFG的周长 C.四边形OGBF的面积 D.∠OFG与∠OGF的角度和 题型10相似三角形的应用 【例19】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的 交点)· B y ()在如图所示的网格图中描出边BC的中点D ②连接AD,在线段AD上精出一点0，使得OD=号AD 【例20】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃 烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB,设AB=32cm,A'B'=24cm, 小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到AB的距离为cm. ←-30cm-→←？cm 【变式10-1】如图，点D在△ABC内部，且△ABD、△BCD、△ACD的面积分别为10、8、6.如果G 为△ABC的重心，连接AG、BG、CG,那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是() 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.SAAGC=SAADC B.S△AGc=S△ABD C.SABGC=SABDC D.SABGC=SAABD 【变式10-2】如图，已知在矩形ABCD中，点E在边CD上，在ED的延长线上取点F,连接AF、AE, DO △AEF的重心O在线段AD上，连接BE,若四边形ABEF是菱形，那么DF的值为 D 04过关检测 一、单选题 1.如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,对角线AC交BD于点O,则图中相似的三角形是() A.△ABC-△CDO B.△ABC~△DCA C.△COD~△BOA D.△BCO~△DAO 2.如图，△ABO一△CDO,则∠B的度数为() D 50° 909 C 16/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.35° C.40° D.45° 3.如图，方格纸中有△ABC与△乙，其中△ABC的一边与△乙的一边和方格线重合.下列判断正确 的是() B A.一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B.一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C.不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D.不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 4.凸透镜成像的原理如图所示，AD‖1‖BC.若蜡烛(AH)到焦点(F1)的距离与焦点(F1)到凸透 镜的中心线DB的距离之比为2：5，蜡烛的高度为6cm,则放大的实像(CG)的高度为() 放大 焦点F2 的实像G 焦点F A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm 5.如图所示的6个三角形中，相似三角形是(). ② ③ ④ A.①与③ B.④与⑥ C.②与⑤ D.②与⑥ 6.如图，道口栏杆短臂OA长1m,长臂OB长8m,当长臂外端B升高4m时，短臂外端A下降的距离是 () 17/21 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 777H777777777777777T A.0.6m B.0.5m c.0.4m D.0.3m 7.如图，点D是△ABC边AB上一点，且AC=AD·AB,若∠A=60°，∠BCD=30°，则∠ADC 的度数() D B A.70° B.75o C.90° D.95o 8.如图，小红要测量池塘两岸A,B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C,测得BC=6m,再选 一点D,连接AD,CD,作BE‖AD,交CD于点E,测得CD=10m,DE=5m,则AB=() B E A.3m B.4m C.5m D.6m 二、填空题 9.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,G为△ACD的重心，连接CG并延长交AD于点E, 设AC=a,BD=b,那么用向量a、b表示ED是 E D G B 10.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支 点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头 的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150Cm,阻力臂 OB=50cm,BD=12cm,则AC的长度是 cm. 18/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲 乙 11.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点B、点D关于AC对称，连接AD,CD,BD,点E在AC上， 作EF⊥CD,垂足为点F,点M为线段AE的中点，连接BM,MF,有如下结论：①∠BAE=∠DAE: ②S四边形ABCD=AC·BD;③BM=FM;④若AB=5,tan∠BAC=3,连接BF,则BF的最小值为9. 其中一定正确的结论是 (请将正确的结论序号填在横线上) D B BP 12.如图，在△ABC中，AD=2CD,CF=2BF,则DP的值为 D P 13.如图是笔直杠杆AB的示意图.已知AB=180cm,支点C离水平地面的高度为20cm.当杠杆的端点 A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm,则AC的长度为 cm. B 777777777 水平地面 14.如图，小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射 后，恰好经过木板CF的边缘点F,落在墙上的点E处，现测得AG=1.6米，CD=6米，AC=7.2米， CF=2米，己知图中点A,B,C,D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），ED⊥AD, FC⊥AD,GA⊥AD,则ED的长为米. 19121 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 I5.如图，四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，点G在边CD的延长线上，连接EG并把 EG绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,且点F在边AB的延长线上.延长GE与CB交于点P,连接GF和 AP,已知EG=EP, D P (1)证明：AE=DG: (2)求证：∠DEG+∠APB=45°： 3)写出EK与FK的数量关系，并说明理由. 16.已知关于x的方程x2-m+3nx+3mn=0,其中m>0,n>0 (1)当方程有两个相等的实数根时，求m与n的数量关系： (②)在平行四边形ABCD中，E是边AB上一点，连接DE、AC交于点F,AB=m,AD=n,AE的长是该方 程的一个根，且2AE·BE=6n2.当m=4n时，确定点F在线段AC上的位置并说明理由. 17.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC与BD相交于点E,∠ADB=∠ACB.求证： AD2=AE·AC. B 18.悟颖塔坐落于河南省驻马店市汝南县，此塔造型古朴，承载着千年的历史底蕴，是当地极具代表性的 古建筑.某数学兴趣小组打算测量悟颖塔AB的高度，王林在点F处竖直立起一根2.4米的标杆E℉，李华 在点C处观察到A,E,C三点在同一条直线上，测量得FC的长度是8.5米，∠AFB=17°.已知 AB⊥BC,EF⊥BC,且C,F,B三点在同一条水平线上. 20121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求悟颖塔AB的高度；（结果保留整数.参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31） (2)计算之后他们所得结果与实际高度稍有差异，请写出至少一条减少误差的建议. 19.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC、AB上，且AEAB=ADAC,连接DE,求证： △ADE~△ABC D 20.学校综合实践小组测量学校附近某大楼（图1所示）的高度，图2是同学们绘制的测量示意图.在点 C处用测角仪测得大楼顶端A的仰角∠ADE=45°，从C处沿BC方向前进7.8m到达F处，在F处放置 面平面镜（平面镜的大小忽略不计），随后从F处沿BF方向前进2m到G处，站在G处恰好从平面镜 中看到大楼顶端A的像，眼睛到地面的高度GH=1.6m,已知测角仪的高度CD=1m,AB⊥BG, CD⊥BG,GH⊥BG,点B,C,F,G在同一水平线上，求大楼的高度. E.45D 图1 图2 21/21 第07讲 相似三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1利用平行判定相似 题型2 利用两角对应相等判定相似 题型3利用三边对应成比例判定相似 题型4 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型5 相似三角形的判定综合 题型6选择或补充条件使两个三角形相似 题型7利用相似三角形的性质求解 题型8相似三角形——动点问题 题型9相似三角形的判定与性质综合 题型10相似三角形的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形、相似比、对应角、对应边、平行线分三角形相似、两角判定、两边成比例夹角相等判定、三边成比例判定 1. 理解相似三角形的定义与相似比的概念，能用符号规范表示相似三角形。 2. 掌握平行线判定相似、两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例四种判定方法。 3. 掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，能进行边长、角度计算。 4. 能结合图形条件，灵活选用判定定理证明三角形相似并解决简单几何问题。 学习重点：相似三角形的定义与相似比、相似三角形的四大判定定理、相似三角形的边角性质。 学习难点：灵活选用判定定理证明三角形相似、相似三角形性质的综合应用、复杂图形中相似三角形的识别与计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形定义与相似比 定义：如果两个三角形的三个对应角分别相等，三条对应边成比例，那么这两个三角形相似。简单概括：形状相同、大小不同的两个三角形互为相似三角形。 表示方法： 相似符号：，书写时顶点必须一一对应、顺序绝对不能乱。 正确示例： 对应关系：. 错误后果：顶点顺序混乱，会直接导致对应角、对应边找错，整题计算错误。 相似比： 定义：相似三角形对应边的比值叫做相似比，记作。 关键性质：相似比具有有序性！ 若，相似比为，则的相似比为，二者互为倒数。 【易错提醒】 1. 书写相似符号时顶点顺序混乱，导致对应边角找错。 2. 忽略相似比的有序性，直接颠倒比值。 【方法总结】 顶点对应写符号，边角跟随顶点走，相似比按前后顺序取值。 即时即练已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形的对应高之比等于相似比，周长之比也等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高之比为， ∴相似比为． ∵相似三角形周长之比等于相似比， ∴周长之比为． 故选：B． 知识点02 相似三角形四大判定定理 1. 平行判定法（A型、X型模型） 定理：平行于三角形一边的直线，与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的小三角形与原三角形相似。 两大基础模型： ① A型（正平行）：直线平行于底边，小三角形嵌套在大三角形内部； ② X型（反平行/8字型）：两直线相交，对顶三角形平行相似。 适用场景：题干出现平行线、中位线、梯形对边平行，优先用此判定。 2. 两角分别相等判定（AA判定） 定理：如果两个三角形有两组对应角分别相等，则两个三角形相似。 核心原理：三角形内角和180°，两组角相等，第三组角必然相等，无需验证边长。 高频等角来源：对顶角相等、公共角相等、平行线同位角/内错角相等、直角相等、同角的余角/补角相等。 适用场景：绝大多数角度类相似证明题，是考试使用率最高的判定方法。 3. 两边成比例且夹角相等判定（SAS判定） 定理：两个三角形的两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等，三角形相似。 致命关键点：必须是夹角相等！非夹角（对角）相等，两边成比例，三角形不一定相似。 适用场景：题干给出边长比例、线段乘积式，无明显等角条件时使用。 4. 三边成比例判定（SSS判定） 定理：两个三角形的三组对应边全部成比例，则两个三角形相似。 使用要点：边长从小到大排序，依次对应求比值，三组比值全部相等即可判定。 适用场景：题干给出完整边长、网格三角形、无角度条件的纯边长题型。 【易错提醒】 1. 两边成比例+非夹角相等，误判三角形相似，属于典型错误。 2. 复杂图形中找错对应边角，误用判定定理。 【方法总结】 有平行用平行判定，有等角用两角判定，有边长比例用边角、三边判定。 即时即练如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 知识点03 相似三角形核心性质 基础性质 对应角相等，对应边成比例（相似三角形定义性质，证明题必用）。 对应线段性质 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、对应中位线的比值，全部等于相似比k。 周长与面积核心性质 ① 周长比 = 相似比 ② 面积比 = 相似比的平方 终极注意：已知面积比求相似比，要开平方；已知相似比求面积比，要平方。 拓展推论 多个相似三角形，相似比传递，周长、面积比同步传递；相似图形中，所有一维线段比等于相似比，二维面积比等于相似比平方。 【易错提醒】 1. 混淆面积比与相似比，直接用相似比当作面积比。 2. 非对应线段的比不等于相似比。 【方法总结】 所有对应线段比=相似比，面积比=相似比平方，周长比=相似比。 即时即练已知，且相似比为1∶2，则与的面积比为（    ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．4∶1 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴与的面积比为． 故选：C． 题型1利用平行判定相似 【例1】如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ，即， ． 【例2】已知：如图，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出相似比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 【变式1-1】为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 【变式1-2】已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 【详解】证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 题型2 利用两角对应相等判定相似 【例3】如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 【例4】已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， 【变式2-1】如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点D、E即为所求： 【分析】先在截取，再作，且交于点D，则点D、E即为所求． 【详解】解：作图依据： ∵，， ∴． 【变式2-2】下列说法正确的是（    ） A．如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【详解】解：如图，已知是的边上的中线，且． ∵， ∴， 同理， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 因此A正确； 若一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形的底角，两个三角形内角不对应相等，不相似，因此B错误； 平移后两组对应点的连线平行或在同一直线上，不是一定平行，因此C错误； 对角线垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直且相等的四边形不一定是正方形，因此D错误． 题型3利用三边对应成比例判定相似 【例5】如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 【例6】如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】证明：，，，，，， 则， ， ． 【变式3-1】如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 【变式3-2】如图，在和中，已知．    (1)求证：； (2)求与的长； (3)求和这两个三角形的面积比． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)4 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，相似三角形的判定和性质． （1）设每小格的长度为a，由勾股定理得，，推出，即可证明； （2）根据，计算出a的值，结合（1）中得出的，，即可求解； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】（1）证明： ， ． 设每小格的长度为a， 则，， ， ， ； （2）解：设每小格的长度为a， 则， 又， ， 解得， 由（1）知，， ，； （3）解： ，， ． 题型4 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例7】如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 【例8】如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ， ， 又， ∴． 【变式4-1】如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 题型5 相似三角形的判定综合 【例9】如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 【例10】如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解此题的关键．首先得到，然后结合即可得证． 【详解】证明： ，，，， ，， ， ， ． 【变式5-1】下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C．方程没有实数根 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 【答案】C 【分析】根据垂径定理、相似三角形的判定、一元二次方程的根的判别式、平行线的性质及判定进行判断即可. 【详解】解：对于选项A， ∵当被平分的弦是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，∴A错误； 对于选项B， ∵必须是两边成比例且夹角对应相等才能判定两个三角形相似，不能判定三角形相似，∴B错误； 对于选项C， 对于一元二次方程，计算得判别式，∴方程没有实数根，C正确； 对于选项D， ∵一个角的两边分别平行于另一个角的两边时，这两个角相等或互补，不是一定相等，∴D错误. 【变式5-2】如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型6选择或补充条件使两个三角形相似 【例11】如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 【例12】如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 【变式6-1】如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 【变式6-2】如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 题型7利用相似三角形的性质求解 【例13】已知，它们的相似比为，那么它们的周长比是_____，面积比是_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为，面积比为． 【例14】如果与的相似比为，则面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，牢记面积比是相似比的平方是解题关键；利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”直接解题即可． 【详解】解：∵ 与的相似比为， ∴ 面积之比为 ， 故选：B． 【变式7-1】如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 【变式7-2】如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 题型8相似三角形——动点问题 【例15】如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为_______ 【答案】 【分析】如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接，可证明， ，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接， ， ， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ， ， ， ∴当的平分线恰好经过的中点时，． 【例16】如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒． （1）______ （2）作点C关于直线的对称点，连接，当直线与的边平行时，t的值______． 【答案】 4 或或 【分析】（1）运用勾股定理即可求得； （2）分四种情况：当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，分别利用相似三角形性质求得的值即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴； 故答案为：4； （2）当点在边上，时，如图，延长交于点，设直线交于点，交于点， 则，， ， ，即， ，， 由题意得：，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ∵， ， ，即， ， 点与点关于直线对称， ， ，， ， ，即， ， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图，过点作于点，过点作于点， 则，，，， 同理可得， ，即， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得：； 当点在边上，时，如图，过点作于点，过点作于点， 则，，，，， ， ， ， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， 同理可得：， ，，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图， 则，，，，， ，， 同理可得：， 又， 同理可得， ，，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，当直线与的边平行时，的值为或或． 故答案为：或或． 【变式8-1】在中，．点P从C出发沿运动，速度为1单位/秒；点Q从C出发沿运动，速度为2单位/秒．何时与相似？ 【答案】不可能相似 【分析】本题主要考查三角形相似的性质，掌握相似的性质是解题的关键． 根据题意，设与相似，分，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】如图： 设运动时间为t秒， ，， 在和中，， 若与相似 则情况一：当时， ， 则， ，即（不成立）， 情况二：当时， ， 则， ，即（不成立） ∴ 无解，说明在此运动方式下两三角形不可能相似． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不能，见解析 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【详解】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：不能，理由如下， 作轴于，轴于， ，， ， ， ， 当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 题型9相似三角形的判定与性质综合 【例17】如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，求的值． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ∴， 垂直平分， 关于对称， 关于对称， 四边形与四边形关于对称， ， ， ， ∵， ． (2) (3) 【分析】（1）先证四边形与四边形关于对称，得到，，又因为，所以，结合，即可证明； （2）过点F作于点H，根据垂直平分，可得，再根据，可得，得到，证明，即可求解； （3）过点N作交于点I，设，在中求出，再利用，得出；由，得到，由，求出，在，根据勾股定理，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点F作于点H， 四边形是矩形， ，，， ∵ ∴四边形为矩形，， ∴，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． （3）解：如图，过点N作交于点I， 设，则， 垂直平分 ， ， 在中，， ， ，即． ， 由（1）可知，， ． ， ∴， ∴， ， 与关于对称， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【例18】如图，在矩形中，．点是边上的一动点，将沿折叠，点落在点处． (1)若，当落在对角线上时，求的长； (2)若，连接．若为等腰三角形，求所有符合条件的的长； (3)若，在点运动的过程中，线段的中点为．求当的面积取得最大值时，点到点的距离，同时探讨能否为，若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)当的面积取得最大值时，；可以为，此时 【分析】（1）由勾股定理可计算出，由折叠的性质可得，，，则．容易证明，计算得，因此； （2）分三类讨论，当时，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，利用，结合勾股定理构造方程组，可以求出与的值．在中，利用勾股定理构造方程，解得，将与的值代入即可；当时，容易得到，则，从而求出与的值，代入的表达式即可；当时，容易证明，从而求出与的值，代入的表达式即可； （3）先分析面积最大的情况，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，，则，，利用可计算得，进而得到．利用三角形面积公式可得．则，利用分组分解法可得，因此当时，取得最大值，容易计算得此时；再分析能否为，假设，容易证明，则，在中，利用勾股定理构造方程，解得，因此． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， 在中，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在中，， ∴， 联立①与②，得， ， 解得或， 在中，，， ∵， ∴， 化简，得， ∵， ∴， 当时，， 当时，； ②当时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由①可知，， ∴； ③当时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在中，， ∴， 由①可知，， ∴； 综上所述，符合条件的的长为或或或； （3）解：先探究面积最大的情况， ①当点在矩形的内部或边界时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 变形，得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 当且仅当时，取得最大值； ②当点在矩形的外部时，如图，过点作的垂线，交于点，交于点，设，，，则，， 同理①可得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 变形，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当且仅当时，取得最大值； 如图， 当时，， ∴，即点落在边上， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，； 再探究的情况， 假设可以等于，如图，连接，设，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴假设成立，当时，． 【变式9-1】在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 【观察猜想】 (1)如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． 【类比探究】 (2)如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 (3)当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：补全图形如下： （1）中结论不成立，正确的结论是：． 证明如下： 如图，过点C作于点Q． ∵平分，，， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． (3)或 【分析】（1）过点C作于点P．根据“角平分线的性质”可得，．证，根据“全等三角形的性质”可得，．再证四边形是矩形，从而可得，最后证得； （2）过点C作于点Q．根据“角平分线的性质”可得，．证，根据“全等三角形的性质”可得，．再证四边形是矩形，从而可得，最后证得； （3）分和两种情况进行讨论求解，先证 ，再运用勾股定理求，证，最后求出． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点C作于点P． ∵平分，，， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （2）略 （3）解：①如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 【变式9-2】如图的等边中，点，分别在边，上移动，且满足与外心三点共线，将沿直线折叠，与交于点，，连接，，则下列为定值的是（     ） A．与的比值 B．四边形的周长 C．四边形的面积 D．与的角度和 【答案】D 【分析】多次利用三角形的外心的性质与轴对称图形的性质以及角度的等量代换，转化出，，等数量关系，再对每一项逐步验证即可． 【详解】解：A、如图所示，连接，，，，延长交于点，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，， ∴， ∵点是等边的外心， ∴，，，， ∵沿直线折叠得到， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∴； 在和中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴； 同理可证得，平分，， ∴，； ∵在中，， ∴， 又∵，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； 过点作的平行线交的延长线于点， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵点是的外心， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ∵与均非定值， ∴不是定值； B、∵四边形的周长，所有线段无法转化到某一固定的线段上， ∴其周长不为定值； C、∵点是等边的外心，沿直线折叠， ∴， 可证，， 此时四边形的面积， ∵非定值， ∴四边形的面积非定值； D、∵，，平分， ∴， ∵， ∴与的角度和为定值． 题型10相似三角形的应用 【例19】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在如图所示的网格图中描出边的中点． (2)连接，在线段上描出一点，使得． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据网格的特点，连接的网格的对角线，与交于点； （2）根据三角形重心的性质，连接边上的中线，交于点，则． 【详解】（1）略 （2）略 【例20】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，延长交于点D， 由题意得， ∴，， ∴， 即 即小孔O到的距离为． 【变式10-1】如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的总面积，再利用三角形重心的性质求出和 的值，最后与已知面积进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵、、的面积分别为、、， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴． 【变式10-2】如图，已知在矩形中，点在边上，在的延长线上取点，连接、，的重心在线段上，连接，若四边形是菱形，那么的值为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，由三角形重心的性质可得为的中线，，则，由矩形的性质可得，即，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵四边形为菱形， ∴， ∵的重心在线段上， ∴为的中线，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 2．如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和求出对应角的度数． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 3．如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（    ） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用勾股定理计算出各边长度，再验证三边是否成比例． 设方格边长为1，用勾股定理算出和三边的长度．计算两组三角形对应边的比值，发现三组对应边比例相等．根据“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理，得出两三角形一定相似的结论．对照选项，选出正确答案． 【详解】解：设每个小方格的边长为1， 在中： ，， 在中： ，， ，， ∴三组对应边的比例相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可以判定与一定相似． A．仅为直角三角形不能判定相似，还需要对应边成比例或对应角相等，故本选项不符合题意； B．因为两个三角形的对应边成比例，满足相似三角形的判定条件，故本选项符合题意； C．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； D．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．凸透镜成像的原理如图所示，若蜡烛（）到焦点（）的距离与焦点（）到凸透镜的中心线的距离之比为，蜡烛的高度为，则放大的实像（）的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．依题意四边形为矩形，得到，再根据，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即, 故选：D． 5．如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 计算出每个三角形的三边比，根据三边对应成比例判定相似． 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 6．如图，道口栏杆短臂长，长臂长，当长臂外端升高时，短臂外端下降的距离是（   ） A．0 B．0 C．0 D．0 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题即可．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 【详解】解：如图， 由题意知：，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即短臂外端下降的距离是． 故选：B． 7．如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．由，，得，则，由，得，因为，所以，则，所以，则，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：B． 8．如图，小红要测量池塘两岸，两点间的距离，先在的延长线上选定点，测得，再选一点，连接，，作，交于点，测得，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，根据相似三角形的性质得，然后代入即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．如图，在中，对角线、交于点，为的重心，连接并延长交于点，设，，那么用向量、表示是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质三角形法则求出，根据重心的性质，相似三角形的判定与性质求出，即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线、交于点，，， ∴，，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【答案】36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 11．如图，在中，，点B、点D关于对称，连接，，，点E在上，作，垂足为点F，点M为线段的中点，连接，，有如下结论：①；②；③；④若，，连接，则的最小值为9． 其中一定正确的结论是_____________．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】因为点、关于对称，所以是的中垂线，根据轴对称的性质，可判断与的关系，验证结论①； 因为四边形的面积可拆分为和的面积之和，结合轴对称性质中，利用三角形面积公式，可验证结论②； 可作辅助线过点M作，连接，证得，则易验证结论③； 要找的最小值，根据点到直线的距离垂线段最短，可用等面积法来求最短距离，验证结论④． 【详解】解：①：∵点、关于对称，∴是的中垂线，∴又∵，∴，∴，①正确； ②：因为、关于对称，∴，，不是，②错误； ③：如图，过点M作，连接，∵，，∴，∴，∴，∵点M为线段的中点，∴，∴，∴垂直平分，∴，又∵是的中垂线，∴，∴， ③正确； ④：如图，作，由图可知的最小值是点到直线的距离，∵，，∴，∴，由，得，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为9， ④正确； 综上，正确结论为． 12．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图是笔直杠杆的示意图．已知，支点离水平地面的高度为．当杠杆的端点落到地面时，端点离地面的高度为，则的长度为_______． 【答案】120 【分析】利用相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】解：如图，作水平地面于点， ， ， ， ， ，，， ， ． 14．如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 【答案】5 【分析】设，则，证，根据求出，，再证，根据求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题 15．如图，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点G在边的延长线上，连接并把绕点E顺时针旋转得到线段，且点F在边的延长线上．延长与交于点P，连接和，已知． (1)证明：； (2)求证：； (3)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：四边形 是正方形， ． 绕点顺时针旋转 得到线段， ，． 又， ， ， ； (2)证明：如图1，连接， ，， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， 即． ，， 是的中位线， ， ． ，，， ， ． ， ， ； (3)，理由如下： 如图2，过点作交延长线于点 ，过点作交于点 ， 易得是的中位线，是的中位线， 设，则，， ． ， ， ． 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）连接，易得为等腰直角三角形，则，然后证明是的中位线，再证，得到，进而得到； （3）过点作交延长线于点 ，过点作交于点 ，设，易得，再利用相似的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．已知关于的方程，其中 (1)当方程有两个相等的实数根时，求与的数量关系； (2)在平行四边形中，是边上一点，连接交于点 的长是该方程的一个根，且．当时，确定点在线段上的位置并说明理由． 【答案】(1) (2)点在线段上，且 理由：解方程， 因式分解得：， 解得：或， ∵是上的线段，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 验证条件，此时成立， 在平行四边形中，，如图所示： ∴， ∴ ∴，即点分为 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）先解方程得出或，确定，，然后利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， 整理得：， ∴； （2）略． 17．如图，在四边形中，，与相交于点E，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】因为 ，所以，结合已知，可推出，可得，得到，用等量代换即可． 【详解】略． 18．悟颖塔坐落于河南省驻马店市汝南县，此塔造型古朴，承载着千年的历史底蕴，是当地极具代表性的古建筑．某数学兴趣小组打算测量悟颖塔的高度，王林在点处竖直立起一根2.4米的标杆，李华在点处观察到三点在同一条直线上，测量得的长度是8.5米，．已知，且三点在同一条水平线上． (1)求悟颖塔的高度；（结果保留整数．参考数据：） (2)计算之后他们所得结果与实际高度稍有差异，请写出至少一条减少误差的建议． 【答案】(1)悟颖塔的高度约为27米 (2)多次测量求平均值（答案不唯一） 【分析】（1）证明，可得，结合，可得，再进一步求解即可； （2）利用多次测量求平均值可减少误差. 【详解】（1）解： ， ， 又， ， ， ， 在中，， 则， ， ， 解得，经检验，符合题意， （米）， 悟颖塔的高度约为27米． （2）解：多次测量求平均值（答案不唯一）． 19．如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 20．学校综合实践小组测量学校附近某大楼（图1所示）的高度，图2是同学们绘制的测量示意图．在点C处用测角仪测得大楼顶端A的仰角，从C处沿方向前进到达F处，在F处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），随后从F处沿方向前进到G处，站在G处恰好从平面镜中看到大楼顶端A的像，眼睛到地面的高度，已知测角仪的高度，，，，点B，C，F，G在同一水平线上，求大楼的高度． 【答案】 【分析】延长交于M，则四边形是矩形，得到，，，根据等角对等边得到，证明，得到，进而得到，求出，即可求出大楼的高度． 【详解】解：如图，延长交于M，则四边形是矩形． ，，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 答：大楼的高度为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $