第06讲 成比例线段和相似图像（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第06讲 成比例线段和相似图像 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1解相似图形 题型2比例的性质 题型3比例线段 题型4由平行判断成比例的线段 题型5由平行截线求相关线段的长或比值 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解线段的比、成比例线段的定义，掌握比例的基本性质并能简单变形计 线段的比、成比例线 算。 段、比例中项、黄金 2.认识比例中项、黄金分割，了解其几何意义与基本特征。 分割、比例基本性 3.理解相似图形、相似多边形的定义，掌握相似图形对应边、对应角的性 质、相似图形、相似 质。 多边形、对应边、对 4.能准确判断两个图形是否相似，利用比例线段性质解决基础几何计算问 应角 题。 学习重点：线段的比与成比例线段、比例基本性质、比例中项与黄金分割、相似图形与相似多边形的 特征。 学习难点：比例式的灵活变形与计算、利用成比例线段解决几何计算、准确辨析相似图形的核心特 征。 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇ 知|识|框1架 定义 在统一长度单位下，两条线段长度的比值叫做线段的 比。 线段的比 核心性质 线段的比是正数、无单位、与所选长度单位无关，前提是单位统一。 表示方法 线段a、b的比记作a:b或号。 定义 四条线段a、b、C、d,若号=，则称四条线段成比例线段。 成比例线 段 比例基本性质 一交叉相乘ad=bc,是比例计算核心依据。 比例变形 可实现正比、反比、合比、分比的灵活转换。 成比例线段和相似图像 比例中项 一若号=，则b2=ac,b是a、c的比例中项。 比例中项与黄 线段被一点分成两段，较长线段与整条线段的比值 金分割 黄金分割 为520.618，该点为黄金分割点。 特征 一条线段有两个黄金分割点。 定义 形状完全相同、大小可以不同的图形叫做相似图形。 相似图形与相似 多边形 相似多边形性质 对应角相等、对应边成比例。 判定 一边数相同、对应角相等、对应边成批例的多边形相似。 知1识I精1讲 知识点01线段的比 定义：在统一长度单位下，两条线段长度的比值叫做线段的比。 核心性质：线段的比是正数、无单位、与所选长度单位无关，前提是单位统一。 表示方法：线欧a、b的比记作a:b或号。 【易错提醒】 1.单位不统一直接求比，导致结果错误。 2.混淆比的前后项顺序，颠倒比值。 2/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【方法总结】 先统一单位，再代入求比，顺序严格对应题干。 即时即练下列四组长度的线段中，是比例线段的是() A.4,5,6,7B.3,4,6,9 C.8,4,4,2 D.5,10,10,15 知识点02成比例线段 a_c 定义：四条线段a、b、c、d,若行则称四条线段成比例线段。 比例基本性质：交叉相乘ad=bc,是比例计算核心依据。 比例变形：可实现正比、反比、合比、分比的灵活转换。 【易错提醒】 1.四条线段成比例顺序固定，乱序不能直接套用比例式。 2.比例变形时交叉相乘出错。 【方法总结】 比例式化乘积式，乘积式化比例式，交叉对应、顺序不乱。 即时即练已知线段a=2cm;b=4.1cm;c=4cm;d=8.2cm下面选项正确的是() A.d,b,a,c成比例线段 B.a,d,b,c成比例线段 C.a,c,b,d成比例线段 D.a,d,c,b成比例线段 知识点03 比例中项与黄金分割 比例中项：若号=，则b=ac,b是a、c的比例中项 黄金分割：线段被一点分成两段，较长线段与整条线段的比值为 5-1≈0.618，该点为黄金分割点。 特征： 一条线段有两个黄金分割点。 【易错提醒】 1.比例中项求解漏正负，线段长度只取正数。 2.混淆黄金分割长短段比例关系。 【方法总结】 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 比例中项平方等于前后两项乘积，黄金分割牢记比值0.618。 V5-1 即时即练我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为 2. 如图，在 △ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,若BC=4,则CD的长为 () B A.25-2 B.25+2 c.23-2 D.23+2 知识点04相似图形与相似多边形 定义：形状完全相同、大小可以不同的图形叫做相似图形。 相似多边形性质：对应角相等、对应边成比例。 判定：边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形相似。 【易错提醒】 1.认为大小不同形状不同的图形相似，混淆相似核心是形状相同。 2.单一角相等或边成比例，无法判定多边形相似。 【方法总结】 相似多边形必满足：角对应相等、边对应成比例，二者缺一不可。 即时即练如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是() 2.5 1.5 甲 乙 丙 A.甲和乙 B.乙和丙 C.丙和丁 D.甲和丁 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 03 题型突破 题型1解相似图形 【例1】下列说法错误的是() A,四个角都相等的菱形是正方形 B.若点C将线段AB黄金分割且AC>BC,则AC=AB·BC C.任意两个正方形不一定相似 D.若关于变量x,y的关系式为y= X' 则y是X的反比例函数 【例2】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，点A,B,C,D的对应点分别为E,F,G,H,则下 列结论正确的是() E D 118° 678°83° B C A.∠D=81°B.∠F=83° C.∠G=78 D.∠H=91° 【变式1-1】学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思 考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似.两个相似四边 形的对应边的比等于相似比. 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似： ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方. 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明 己知：如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A、B、C、D分别与点 A'、B'、C'、D对应 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求证： S四边形ABCD=k2 S四边形ABCD A D B B' 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的.试运用这些结论，解决问题：如图，E、F分别 是边AD、AB上的点：AE=AB,AF=号AD,试 Sg边形AEGE的值. S四边形CDGB E G D ,四边形 ABCD与四边形A'B'C'D'相似 【变式-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已 被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两 个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应边之比为3：1， 如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm,那么大风筝两条对角线长的和为 cm. 题型2比例的性质 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例3】已知含45则3x+2y-7 x_y_Z x-3xy+2z2 【例4】如图，AB‖EF‖CD,E为AD与BC的交点，点F在BD上，若AB=2,CD=5,则EF= D 支式2】号后月号b+3d+5f0,则8+3号 ,a+3c+5e X-业-2 【变式22】已知y之=5 则下列等式成立的是() A.5x=2y B.2x=5y C.5x=7y D.7x=5y 题型3比例线段 【例5】小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台 A,B,C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的 实际直线距离为，B、C两地的实际直线距离为，则”的值为 400 300 B 200 100 【例6】甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是 cm 【变式31】如图所示，已知1北-P=2 ABPB亏且PQ=6Cm.求AB的长. A B 【变式32】如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折(EF为折痕)，得到两个小矩形，其中 AE:ED=1:3.若矩形ABFE的长边与短边的比等于矩形ABCD长边与短边的比，则矩形ABCD的长边 与短边的比是() 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B F A.2:1 B.V2:1 c.3:1 D.5:1 题型4由平行判断成比例的线段 【例7】如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC上的点，连接AE,CD交于点F,己知F是CD的中 BD 点且BE=5CE,则AD的值为(） C E D A.3 B.4 C.5 D.6 【例8】如图，点E是矩形ABCD边BC上一动点，连接AE、DE,以AE、DE为边构造平行四边形 AEDF,BF、CF分别交AD于点MN,则下列结论错误的是() A A.MN=1BC 2 BSam+5am含5e C.S。AEDF=BCCD D.若口AEDF能成为正方形，则BC=2AB 【变式41)如图，在四边形ABCD中，ADIBC,AE=AB,DG=号DC,点H,F分别在边 31 AD,BC上移动（不与端点重合），连接FH,则下列为定值的是() G B F A.∠EFG的大小 B.四边形EFGH的周长 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.线段FH的长 D.四边形EFGH的面积 【变式42】如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点，EF‖AC交BD于点F. 若AC=8,则EF的长为() A.1 B.2 8 c.3 D.4 题型5由平行截线求相关线段的长或比值 【例9】如图，是某商店售卖的花架简图，其中AD‖BECF,DE=24cm,EF=40cm,BC=50cm, 则AC长为( )cm 80 100 A.3 B. 3 C.80 D.30 【例10】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一点，且AE=2ED,连接BE并延长交 AC于点F,已知AD=6,CD=3BD=12,则SAAEF= D 【变式51】如图，在矩形ABCD中，线段EF垂直平分对角线BD,H是边BC上一点，连接DH并延长， 与EF的延长线交于点G,连接CG.若∠BDH=45°，AB=2,AD=4,则线段CG的长为 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 【变式52】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线 的交点)上，请按要求作图（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹）， 图① 图② (1)在图①中画出△ABC的中线BD: ()②在图②中△ABC的边AB上找到一点F,连接CF,使SAACF:SABCF=2:3. 04 过关检测 一、单选题 1.已知3：b=4:a,下列各式中正确的是() 0-4 A.b3 0=b B.34 C.4a=3b D.ab=12 2如图，ABICDE,BC=5,CE=8,则架=( CAD A.2 53 B. c.g D. a b 3.已知4=3：则b的值是() A.4 B 1 C.3 3 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V5-1 4.我们把顶角为36的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为2.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,若BC=4,则CD的长为 () B A.2V5-2 B.2V5+2 C.23-2 D.23+2 5.华为MateXT非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的 AD 矩形，如图所示是展开后的示意图，则AB的值为（） H B G A.2 B.2 c.3 D.5 6.如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为() A.4:9 B.2:3 c.V2:3 D.16:81 7.下列说法中正确的是() A.矩形都相似 B.菱形都相似 C.平行四边形都相似 D.正方形都相似 二、填空题 8者5日 a-2b_ 。3则°b 9.如图，梯形ABCD中，EF过对角线的交点O,且AD‖EF‖BC,AD=m,BC=n,则EF长为 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B 10.如图，AB‖CD,AD与BC相交于点O,连接AC,若SACOD=2 S&AOC=2,BC=6,则OB的长为 11.如图，正方形EFGH内接于正方形ABCD,即点E、F、G、H分别在正方形ABCD的四边上.请画 出点A、B、C、D分别关于HE、EF、FG、GH的对称点P、Q、R、S,如果四边形PQRS的面积恰好是 EF 正方形ABCD面积的一半，那么AB的值是一· G B 12.为调查某住宅区的实际1c占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）·其基本原理是： 无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形.在 本次测绘中，设定数字模型上的1cm代表实际距离50m.技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四 边形ABCD各边长度分别为AB=4cm,BC=5cm,CD=7cm,DA=4.5cm,则该住宅区实际边界 四边形AB,CD的周长是 m B A B 图1 图2 图3 13.如图，四边形ABCD和ABCD'是以点O为位似中心的位似图形，若OA:OA=2:3,四边形 ABCD的面积为8，那么四边形的ABCD面积为 12114 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 14.一道习题及其不完整的解答过程如下： X=y=名≠0，求 +y-Z」 己知345 y+2的值. 解：设时学首k0 则x=3k,y=4k,z=①，…第一步 ·X+y-2-3k+4k-5k_2k x-y+z 3k-4k+5k 4k =②.…第二 步 (1)第一步的①处应填 第二步的②处应填 X=y=2≠0，求 2)模仿上述解答过程，己知234 x+y+Z -2y+32的值. 15.已空首系2 X-y-Z 的值，且2x+y-z≠0. 16.如图，AD BE CF,它们依次交直线心，n于点4，B,C和点D,B,R,且F距二，AB=4,求 AC的长 m A D B 17.如图所示，四边形ABCD与四边形ABCD相似，求出x与y的长度和∠Q的度数. D 18 117 47° 832B 6 18.如图所示，已知BC‖BC,CD‖CD,DE‖DE 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A. B' B (I)求证：四边形BCDE与四边形BCDE位似. 2) AB=3,S阿8BCDE=20,求S必形DE. B 19.(1)解方程：x2-3x-2=0. (2)如图，四边形ABCD一四边形A1B1C1D1,∠A=70°，∠B=65°，∠C=130°，求∠D1的度数. D C B A B 20.(1)解方程：x2-3x=0」 (2)如图，一个矩形广场的长为100m,宽为80m,广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m,如果两条横 向小路的宽都为xm,那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ +xm 1.5m 80m 100m 14114 第06讲 成比例线段和相似图像 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1解相似图形 题型2 比例的性质 题型3比例线段 题型4 由平行判断成比例的线段 题型5 由平行截线求相关线段的长或比值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段的比、成比例线段、比例中项、黄金分割、比例基本性质、相似图形、相似多边形、对应边、对应角 1. 理解线段的比、成比例线段的定义，掌握比例的基本性质并能简单变形计算。 2. 认识比例中项、黄金分割，了解其几何意义与基本特征。 3. 理解相似图形、相似多边形的定义，掌握相似图形对应边、对应角的性质。 4. 能准确判断两个图形是否相似，利用比例线段性质解决基础几何计算问题。 学习重点：线段的比与成比例线段、比例基本性质、比例中项与黄金分割、相似图形与相似多边形的特征。 学习难点：比例式的灵活变形与计算、利用成比例线段解决几何计算、准确辨析相似图形的核心特征。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 线段的比 定义：在统一长度单位下，两条线段长度的比值叫做线段的比。 核心性质：线段的比是正数、无单位、与所选长度单位无关，前提是单位统一。 表示方法：线段的比记作或。 【易错提醒】 1. 单位不统一直接求比，导致结果错误。 2. 混淆比的前后项顺序，颠倒比值。 【方法总结】 先统一单位，再代入求比，顺序严格对应题干。 即时即练下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【答案】C 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 知识点02 成比例线段 定义：四条线段，若，则称四条线段成比例线段。 比例基本性质：交叉相乘，是比例计算核心依据。 比例变形：可实现正比、反比、合比、分比的灵活转换。 【易错提醒】 1. 四条线段成比例顺序固定，乱序不能直接套用比例式。 2. 比例变形时交叉相乘出错。 【方法总结】 比例式化乘积式，乘积式化比例式，交叉对应、顺序不乱。 即时即练已知线段下面选项正确的是（   ） A．d，b，a，c成比例线段 B．a，d，b，c成比例线段 C．a，c，b，d成比例线段 D．a，d，c，b成比例线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段的应用，准确计算是解题的关键． 根据成比例线段的定义得到，计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 知识点03 比例中项与黄金分割 比例中项：若，则，是的比例中项。 黄金分割：线段被一点分成两段，较长线段与整条线段的比值为，该点为黄金分割点。 特征：一条线段有两个黄金分割点。 【易错提醒】 1. 比例中项求解漏正负，线段长度只取正数。 2. 混淆黄金分割长短段比例关系。 【方法总结】 比例中项平方等于前后两项乘积，黄金分割牢记比值0.618。 即时即练我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 知识点04 相似图形与相似多边形 定义：形状完全相同、大小可以不同的图形叫做相似图形。 相似多边形性质：对应角相等、对应边成比例。 判定：边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形相似。 【易错提醒】 1. 认为大小不同形状不同的图形相似，混淆相似核心是形状相同。 2. 单一角相等或边成比例，无法判定多边形相似。 【方法总结】 相似多边形必满足：角对应相等、边对应成比例，二者缺一不可。 即时即练如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 题型1解相似图形 【例1】下列说法错误的是（    ） A．四个角都相等的菱形是正方形 B．若点将线段黄金分割且，则 C．任意两个正方形不一定相似 D．若关于变量，的关系式为，则是的反比例函数 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定，比例线段，相似图形，反比例函数的性质．逐一分析各选项的正确性，结合相关数学概念进行判断． 【详解】解：A、菱形四边相等，若四个角都相等，则每个角为，此时菱形为正方形，说法正确，本选项不符合题意； B、黄金分割的定义为较长线段与全长的比等于较短线段与的比，即，整理得，说法正确，本选项不符合题意； C、正方形的所有角均为，且对应边成比例，因此任意两个正方形一定相似，原说法错误，本选项符合题意； D、反比例函数的形式为，题中符合定义，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【例2】如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为，求出每一个内角的角度，即可得出结论． 【详解】解：四边形和四边形相似， ，，，， 又， ． 故选：A． 【变式1-1】学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【答案】探究：证明：连接，如图所示： ∵四边形 与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 运用： 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键． 【探究】连接，证明，得出，，则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出，证出，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形四边形，则可得出答案． 【详解】【探究】略 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 【变式-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 题型2 比例的性质 【例3】已知，则_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的化简求值，解题的关键掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质，假设，则，然后代数求值即可． 【详解】解：假设，则， ∴ ， 故答案为：． 【例4】如图，，为与的交点，点在上，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，由得，由得，即得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】若，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键． 根据已知，用b表示a、d表示c、f表示e，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【变式2-2】已知，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例的性质：先将化简，再与选项对比即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 题型3比例线段 【例5】小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 【例6】甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 【答案】120 【分析】本题考查了比例尺，图上距离等于实际距离乘以比例尺，将实际距离单位统一为厘米即可． 【详解】解：实际距离千米厘米， 图上距离厘米． 故答案为：120． 【变式3-1】如图所示，已知，且．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了比例线段的计算，熟练掌握线段的加减计算是解题的关键． 先利用可得，由可得，再根据即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 【变式3-2】如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键． 设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型4 由平行判断成比例的线段 【例7】如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点作交于点，根据平行线分线段成比例求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 是的中点， ，则， ， ， ， ． 【例8】如图，点E是矩形边上一动点，连接，以为边构造平行四边形，分别交于点M、N，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若能成为正方形，则 【答案】B 【详解】解：连接交于，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴，， ∴是的中位线， ∴，故选项A正确； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项B错误； ∵，故选项C正确， ∵为正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理：， ∴， ∴，故选项D正确； 综上，选项B符合题意． 【变式4-1】如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 【变式4-2】如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、中位线、平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分，可知点为的中点，根据可得，可证点为的中点，从而可证是的中位线，根据中位线定理可知． 【详解】解：是的对角线， ， 为的中点， ， ， ， 即为的中点， 是的中位线， ． 题型5 由平行截线求相关线段的长或比值 【例9】如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 【答案】C 【分析】根据，得，继而得到求解即可； 【详解】解：， ， ， ，，， 解得； 【例10】如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线分线段成比例可知，，即，，进而可知，根据同高三角形面积比等于底之比计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点作，交于点，连接， 根据平行线分线段成比例可知，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，在上，与面积比等于， ∴， ∵在上，与同高，面积比等于底之比， ∴． 【变式5-1】如图，在矩形中，线段垂直平分对角线，是边上一点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】先根据矩形性质结合勾股定理得到，，，，再根据线段垂直平分线的性质得到，；证明，结合正切定义可得，再利用锐角三角函数分别求得，，过G作延长线于Q，则，利用平行线分线段成比例求得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∵线段垂直平分对角线， ∴，，即， ∴， ∴，     ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 过G作延长线于Q，则， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， 故线段的长为． 【变式5-2】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．请按要求作图（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹）． (1)在图①中画出的中线； (2)在图②中的边上找到一点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平行四边形的对角线互相平分解决问题即可； （2）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】（1）解：如答图①，线段即为所求． （2）解：如答图②，点即为所求． 一、单选题 1．已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键． 根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，交叉相乘得 ， A选项：，故正确，符合题意； B选项： 等价于 ，与 矛盾，不符合题意； C选项： 与B相同，错误，不符合题意； D选项： 无法从比例中得出，错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：， ， ，， ． 故选：D． 3．已知，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，根据“”得出“”，再把要求的式子化成，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 5．华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 设，，然后表示出各边的长度，再利用矩形的相似列出比例式，解比例式即可． 【详解】解：设，，则 ∵折叠， ∴， 折叠前矩形为，其中， 折叠后矩形为，其中， ∵折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 6．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 7．下列说法中正确的是（    ） A．矩形都相似 B．菱形都相似 C．平行四边形都相似 D．正方形都相似 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，利用相似多边形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、所有的矩形的对应角相等但对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； B、所有的菱形的对应边成比例但对应角不一定相等，故不相似，不符合题意； C、所有的平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； D、所有的正方形的对应角相等，对应边成比例，相似，符合题意； 故选：D． 二、填空题 8．若，则_________． 【答案】 【分析】根据题意可得，把代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 9．如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，，得到，根据，，得到，，最后证明即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案是． 10．如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作，由得到，再由平行线分线段成比例得到，得到即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ，则， ， ， 由平行线分线段成比例可知， ， ． 11．如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 【答案】 【分析】先证明，然后得到点在上，同理，点在上，由对称可设 ，根据，求出，，则，再由正方形正方形求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， 由对称可得，， ∴ ∴点在上， 同理，点在上， 由对称可设 ， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵正方形正方形， ∴， ∴． 12．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 13．如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 三、解答题 14．一道习题及其不完整的解答过程如下： 已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步 (1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________； (2)模仿上述解答过程，已知，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． （1）根据比例的基本性质即可得到答案； （2）设，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第一步的①处应填，第二步的②处应填； 故答案为：，； （2）解：设， ， ． 15．已知，求的值，且． 【答案】3 【分析】本题考查了分式求值．通过转化思想，将转化为含有相同比值的量是解题的关键．设公共比例系数为k，将转化成用k表示的量，再代入所求分式，化简计算，即可得到结果. 【详解】解：设，则， ， ， 原式． 16．如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，再进一步计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 解得，， ∴． 17．如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了相似多边形的性质； 根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等，以及四边形内角和定理计算即可． 【详解】解：四边形与四边形相似， ， ，， 又， ， 即． 18．如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，同时运用相似图形面积比等于相似比的平方的性质及线段比例的转化计算，关键是位似图形判定与性质的综合应用． （1）借助已知的各组对应边分别平行的条件，结合平行线分线段成比例定理推导出两个四边形所有对应边的比相等，再结合两四边形对应顶点的连线相交于同一点，依据位似图形的判定定理即可完成证明； （2）先由转化得到，确定四边形与四边形的相似比为4：3，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方，结合已知的，通过比例计算即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． 又∵四边形与四边形的对应顶点的连线相交于点， ∴四边形与四边形位似． （2）解：∵， ∴， ∴四边形与四边形的相似比为． ∵， ∴． 19．（1）解方程：． （2）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质、四边形的内角和定理． （1）利用公式法求解即可； （2）根据相似多边形的性质、四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）， ， 所以， 即； （2），，， ， 四边形四边形， ． 20．（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】（1），；（2）当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （1）利用因式分解法求解即可； （2）内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 解得，； （2）解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $