专题01 幂的运算11大题型（暑假复习讲义）新八年级数学新教材苏科版

专题01 幂的运算 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 题型2 科学记数法 题型3 幂的乘方运算及其逆用 题型4 积的乘方运算及其逆用 题型5 同底数幂的除法运算及其逆用 题型6 幂的混合运算 题型7 零指数幂与负整数指数幂 题型8 利用幂的运算比较大小 题型9 利用幂的运算判断指数的关系 题型10 幂的运算等于1的分类讨论题 题型11 幂的运算中新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 同底数幂的乘法 2. 幂的乘方 3. 积的乘方 4. 同底数幂的除法 5. 幂的混合运算 1. 侧重同底数幂乘除、幂乘方混合运算，常结合符号易错点设陷阱 2. 融入零指数、负整数指数，搭配分数底数综合化简求值考题 3. 关联科学记数法，以极小极大数字结合幂运算综合计算 4. 设计含参题型，利用幂相等列等式求字母取值，考察逆向思维 5. 结合整式化简、实际应用题，弱化纯计算强化综合运用能力 考情解码：幂的运算为代数基础必考内容，分值稳定。核心考查同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方，兼顾零次、负整数指数幂。题型涵盖选择填空化简计算，常设置符号、底数符号陷阱，高频结合科学记数法、含参求值逆向考法。多与整式化简综合命题，侧重法则灵活运用，注重运算细心度与公式逆向推导能力。 知识点一 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 即时即练 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可直接计算得到结果． 【详解】解：，因此计算结果为． 2．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）可利用同底数幂的乘除运算法则，将转化为，结合已知条件求出其值，再根据指数的唯一性得到的值； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法则，将转化为，代入已知值计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ∵底数相同的幂相等时，指数相等， ∴． （2）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方，解题关键是熟练运用幂的运算公式，将所求式子转化为已知幂的组合形式，再代入计算． 知识点二 科学记数法表示数的乘法 若两个数分别用科学记数法表示为和（其中，，、为整数），则它们的积为： 通俗总结，分两步计算： 1 先将两个数中前面的系数（和）相乘； 2 再将10的幂相乘（根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加）； 3 最后将两步结果结合，整理成规范的科学记数法形式。 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 即时即练 3．在高速光纤通信中，为了提高传输容量，会把光信号压缩成极短脉冲．某超高速光纤系统中，单个光脉冲宽度约为毫秒．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示，需形式为，其中，n是正整数，等于原数中左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：． 4．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 知识点三 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即时即练 5．已知：，则（     ） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】将所求式子化为底数相同的幂，再结合已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求y的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先将底数4转化为2的幂，利用幂的乘方法则把等式两边化为同底数幂的形式，因为题目给出同底数幂相等时指数相等的结论，所以列方程求解x． （2）先利用同底数幂的乘法性质，提取公因式化简等式左边，再通过计算将等式两边化为同底数幂的形式，最后利用同底数幂相等时指数相等的结论列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 原等式变为， 已知时，若，则，这里底数符合条件， 因此， 解得． （2）解：∵，， ∴， 原等式转化为：， ， 又∵， 即， ∴． 知识点四 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 即时即练 7．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 8．小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)已知满足，求的值． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）先将原式变形为，然后根据幂的乘方运算法则将其变形为，再根据同底数幂的乘除法运算法则求解； （2）运用同底数幂的乘法逆运算将其变形为，再往后继续求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 原式； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴的值为． 知识点五 零指数幂与负整数幂 零指数幂 a0=1 (a≠0) 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 即时即练 9．化简：________． 【答案】（或） 【详解】解：． 10．__________． 【答案】8 【分析】先根据负整数指数幂与零指数幂的运算法则分别计算两项，再做减法运算即可得到结果． 【详解】解: 根据负整数指数幂运算法则，可得， 根据零指数幂运算法则，，可得， 则原式 ． 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 1．下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即（都是正整数）；符号的变化规则是“奇负偶正”，即可求出结果． 【详解】解：A. ，该选项不符合题意     B. ，该选项不符合题意． C. ，该选项不符合题意 D. ，该选项符合题意 2．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项与同底数幂的乘法运算，利用同底数幂相等则指数相等的性质化简等式，即可得到与的关系. 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 3．若，则_____________． 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，对原方程左边进行变形，再根据同底数幂相等的性质得方程求解即可． 【详解】解：， ， 则， ，则，即， ，解得． 4．阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算， （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算、的值，即可求解； （3）由题意得，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案． 【详解】（1）解： 故答案为：，3． （2）解：依题意，，、 ∴； （3）解：根据题意得： ，， ， ． 【易错警示】 同底数幂相乘易误将指数相乘，混淆乘法与乘方法则。底数为负数、分数时不加括号，符号判断出错。逆用公式拆分幂时指数拆分错误，混合运算分不清运算顺序。底数互为相反数未统一底数，计算后不核对指数，极易出现计算偏差。 题型2 科学记数法 5．韩国三星电子某款芯片的运算速度每秒为次，另一种华为新型芯片的运算速度是它的倍，且该新型芯片连续工作秒的总运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出总运算次数的算式，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后得到符合科学记数法要求的结果． 【详解】解： 三星芯片每秒运算速度为次，华为芯片速度是它的倍，连续工作秒 ， 总运算次数为： 因此结果用科学记数法表示为． 6．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键； 本题是绝对值小于的数，然后可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，然后即可求解． 【详解】解：， 故选：D； 7．一个正方体集装箱的棱长为． （1）用科学记数法表示这个集装箱的体积是_________； （2）若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块的个数为_______．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用有理数的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解：（1）一个正方体集装箱的棱长为， 这个集装箱的体积是：， 答：这个集装箱的体积是； 故答案是：； （2）一个小立方块的棱长为， （个， 即：需要个这样的小立方块才能将集装箱装满． 故答案是：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 8．用科学记数法表示：_________． 【答案】 【分析】先利用积的乘方、幂的乘方运算法则分别计算两个乘方，再利用同底数幂的乘法法则计算乘积，最后整理为标准的科学记数法形式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 题型3 幂的乘方运算及其逆用 9．已知，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方运算法则将所求式子变形，再整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 10．计算：________． 【答案】 【分析】先将原式中变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算． 【详解】解： 11．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】将等式两边化为同底数幂，利用底数相同的相等幂的指数相等求解． 【详解】解：， ， 由幂的乘方法则，得， 底数相同的两个幂相等，则指数相等， ， 移项得． 12．幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ （提示：， 为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可利用积的乘方的逆运算计算求解； （2）可利用幂的乘方逆运算及同底数幂的乘法的逆运算可求解值； （3）将，，，化为相同的指数，再比较大小即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，，，， 且， ∴， ∴． 【易错警示】 幂的乘方易混淆指数运算法则，错把指数相加而非相乘。底数含负号、分数时未整体加括号，符号判定失误。逆用变形不会拆分指数，无法灵活转化同指数幂。混合运算不区分幂乘与乘方顺序，底数互为相反数未统一形式，验算缺失易出错。 题型4 积的乘方运算及其逆用 13．阅读下列各式：，，．⋯⋯ (1)根据积的乘方得出规律：_____________，________； (2)应用规律： ①填空：____________，________________； ②计算：． 【答案】(1)； (2)①1；1；② 【分析】（1）分析所给各等式，得到规律即可解答； （2）①逆用根据（1）的结论求解即可； ②将式子化为，再运用①的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， …… 由此可得，． （2）解：①， ； ② ． 14．逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【答案】(1) (2)5，81，6 (3)64 (4) 【分析】本题主要考查的幂的运算法则的逆向运用，解题关键是正确运用公式，将所求的式子变形． （1）把看作一个整体，先用同底数幂的运算法则，在运用积的乘方法则计算即可； （2）依次用同底数幂的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，计算即可； （3）由，得，根据，即可求解； （4）先变形，，，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ， ． 故答案为：5，81，6． （3）解：， ． ． （4）解：， ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 15．下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题． 作业计算： 解：原式= (1)计算：①； ②； (2)若，请求出的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算进行计算； 将代数式变形为指数相同，再根据积的乘方的逆运算即可求解； （2）将代数式变形为底数相同，再根据同底数幂的运算即可求解． 【详解】（1）解： ； 解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【易错警示】 积的乘方易漏给每个因式乘方，常数、负号忘记乘方。底数带负号不加括号，符号判断出错。逆用时不会逆拆乘积转化同指数幂，混淆积的乘方与幂的乘方法则。混合运算顺序混乱，指数计算粗心，做完缺少核对步骤。 题型5 同底数幂的除法运算及其逆用 17．已知二元一次方程，则________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 18．已知a，b，c满足，，，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】利用同底数幂的运算法则找出的关系，，，再代入求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 19．已知； (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)若，则的值． 【答案】(1)250 (2)2 (3) (4) 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）先求出的值，再根据计算求解即可； （3）可求出，则可得到，再根据可得答案； （4）根据题意可推出，则， 可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求t的值． 【答案】(1)4；64； (2)60； (3)①；②． 【分析】（1）根据规定即可求得答案； （2）根据规定易得，，，再结合已知条件利用同底数幂乘法法则计算后即可求得答案； （3）①根据规定易得，，然后将原式利用幂的乘方法则变形后即可求得答案； ②结合①中所求可得，，然后将两式相乘并利用同底数幂乘法法则可求得的值，进而求得与的关系，将其代入原式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【易错警示】 同底数幂相除易错把指数相加，底数为负数未加括号致符号出错。忽略零指数、负指数限制条件，底数不能为 0。逆用公式拆分指数思路僵化，混合运算混淆乘除法则。遇到底数互为相反数不先统一底数，简单指数口算失误，缺少验算步骤。 题型6 幂的混合运算 21．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0.2 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算幂的乘除法． （2）利用积的逆运算求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 23．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1)12 (2)0 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，整式的加减运算，幂的混合运算，等知识点，熟练掌握有理数、整式、幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，然后计算加减即可； （2）先计算同底数幂的乘法和积的乘方，然后计算同底数幂的除法，再合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型7 零指数幂与负整数指数幂 25．若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算各数，再比较大小即可得出结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴． 26．_______________ 【答案】 【详解】解： ． 27．已知，则___________． 【答案】 【分析】将所求幂的指数变形，结合已知条件求出指数的值，再根据负整数指数幂的运算法则计算结果； 【详解】解：对指数变形可得， 把，代入上式得， ． 28．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型8 利用幂的运算比较大小 29．比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、有理数的大小比较，将和化成同指数幂的形式，再比较底数的大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故选：B． 30．如果，，，那么a、b、c三数的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，进行有理数的大小比较，可得答案． 【详解】解：∵a=（-99）0=1，b=（-0.1）-1=-10，c=（-）-2=， ∴b＜c＜a， 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用零指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数化简各数是解题关键． 31．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 32．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 题型9 利用幂的运算判断指数的关系 33．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：8个相加，即，8个相乘，即， 则，即， ∴， ∴． 34．若a、b是正整数，且满足（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，转化为即可得到a与b的关系． 【详解】解：∵（左右都是9个）， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 36．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：　　　　　，　　　　； (2)【应用】若，试求之间的等量关系． 【答案】(1)3；2 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法运算．熟练掌有理数的乘方，同底数幂的乘法运算是解题的关键． （1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由题意知，，由，可得，进而可得． 【详解】（1）解：由题意知，∵，， ∴，， 故答案为：3；2； （2）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴，即． 题型10 幂的运算等于1的分类讨论题 37．已知，则的值为（   ） A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论，第一种情况为时；第二种情况根据任何不等于0的数的0次幂都等于1可知且，即可得出答案． 【详解】解： 第一种情况：时， 解得， 第二种情况：且时，， 解得， 或时，， 故选：D． 38．使的的值为__________． 【答案】3或2或1 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：当即，此时； 当即时，； 当即时，； 综上，x的值为3或2或1． 39．若，则的值为_______． 【答案】1或2或4 【分析】根据题意可得，且；再分三种情况：，，，分别求出对应情况下的值，看是否符合题意即可． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 综上所述，t的值为1或2或4． 40．已知，求整数x的值． 小红与小明交流如下： 小红说：因为， 所以且，所以． 小明说：你的解法只考虑一种情况，还有其他情况，我们再想想吧． 从他们的对话中，你认为小红同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 【答案】解答不完整，的值可以为：， 【分析】分三种情况求解即可． 【详解】解：解答不完整，                                           因为， 所以且，所以，                                     因为，所以，所以，                                    因为的偶次幂是1，当时， 解得：，此时指数为偶数， 或其结果都为1，                                     其他所有整数的值为，． 题型11 幂的运算中新定义问题 41．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 42．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 43．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 44．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，即， ∴，即， ∴． 1．如果，，，那么，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别计算出，，的值，再比较大小即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ， ， ∵ ， ∴ ． 2．若，是正整数，且满足，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简等式左右两边，再根据同底数幂相等则指数相等推导和的关系式. 【详解】解：∵ 左边 ， 又∵ 右边 ， ∵ ， ∴ . 3．已知，表明：每天比上一天增长一点点，一年之后，所得终值大约是初值1的37.8倍！那么在理想状况下，两年增长的结果约等于（选最接近的数值）（     ） A．75 B．200 C．1000 D．1400 【答案】D 【分析】利用初中幂的乘方运算法则，将所求指数变形，代入已知条件计算即可得到结果，解题关键是观察得到，将所求式子转化为已知数的平方进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 对比选项可知，1428.84最接近1400． 4．已知，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法①m，k都是偶数；②是偶数；③是偶数；④是偶数．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】先将等式右边统一化为底数为3的幂，根据左边是正整数的平方，得到右边指数的奇偶性，再结合奇偶性的运算性质逐一判断说法 【详解】解：∵， ∴ ∵是正整数，是平方数， ∴指数必为偶数，故④正确； ∵一定是偶数， ∴ 是偶数， 又， 是偶数， ∴必为偶数，故②正确； 对于①，取，，满足是偶数，但都是奇数，故①错误； 对于③，若是奇数，是偶数，则 是奇数，故③错误； 因此正确的是②④ 5．实数满足，则代数式的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由题意求出，再将变形为，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ ． 6．已知，，，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】是正整数． 【详解】，，， ， ． 7．若，则的值是________ 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、等式的性质，将等式化成，即可求解的值. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， 解得：. 8．已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则将用和表示，根据底数相同的幂值相等时指数相等，即可得到a，b，c的数量关系． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 可得． 9．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 【答案】 【分析】根据定义求解即可； 【详解】解：， 由， 得， 由， 故； 10．已知，则______． 【答案】2或0 【分析】分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式，不符合题意； 综上：. 11．计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 12．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算： ，若，则 ； (2)若，，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由如下： ，，， ，，， ， ， ， ， 【分析】（1）根据题干中的定义即可解答； （2）根据题意可得，，，则，再根据幂的乘方的逆用即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得； ，即， （2）略 13．已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，即可作答； （2）将等式两边都化为以2为底数的幂，问题即可得解； （3）等式左边逆用积的乘方，将其化为底数为15的幂，问题即可得解． 【详解】（1）解：，即； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ∴， 解得：． 14．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料1的方法，化为指数相同的幂的形式，再比较底数的大小，即可求解； （2）根据材料2的方法，化为底数相同的幂的形式，再比较指数的大小，即可求解； （3）分别化为，，即可求解． 【详解】（1）解： 因为， 所以 即 （2） 因为， 所以 即 （3） 因为， 所以 即 15．规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：___________． (2)①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． (3)结合①，②探索的结论，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②； (3) 【分析】（1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴ ②由题意可知，，，， ， ，即， 则， 故答案为：； （3）解： ； 设，，则， ， ， ， ， 即． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 题型2 科学记数法 题型3 幂的乘方运算及其逆用 题型4 积的乘方运算及其逆用 题型5 同底数幂的除法运算及其逆用 题型6 幂的混合运算 题型7 零指数幂与负整数指数幂 题型8 利用幂的运算比较大小 题型9 利用幂的运算判断指数的关系 题型10 幂的运算等于1的分类讨论题 题型11 幂的运算中新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 同底数幂的乘法 2. 幂的乘方 3. 积的乘方 4. 同底数幂的除法 5. 幂的混合运算 1. 侧重同底数幂乘除、幂乘方混合运算，常结合符号易错点设陷阱 2. 融入零指数、负整数指数，搭配分数底数综合化简求值考题 3. 关联科学记数法，以极小极大数字结合幂运算综合计算 4. 设计含参题型，利用幂相等列等式求字母取值，考察逆向思维 5. 结合整式化简、实际应用题，弱化纯计算强化综合运用能力 考情解码：幂的运算为代数基础必考内容，分值稳定。核心考查同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方，兼顾零次、负整数指数幂。题型涵盖选择填空化简计算，常设置符号、底数符号陷阱，高频结合科学记数法、含参求值逆向考法。多与整式化简综合命题，侧重法则灵活运用，注重运算细心度与公式逆向推导能力。 知识点一 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 即时即练 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 知识点二 科学记数法表示数的乘法 若两个数分别用科学记数法表示为和（其中，，、为整数），则它们的积为： 通俗总结，分两步计算： 1 先将两个数中前面的系数（和）相乘； 2 再将10的幂相乘（根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加）； 3 最后将两步结果结合，整理成规范的科学记数法形式。 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 即时即练 3．在高速光纤通信中，为了提高传输容量，会把光信号压缩成极短脉冲．某超高速光纤系统中，单个光脉冲宽度约为毫秒．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 知识点三 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即时即练 5．已知：，则（     ） A．16 B．25 C．32 D．64 6．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求y的值． 知识点四 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 即时即练 7．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 8．小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)已知满足，求的值． 知识点五 零指数幂与负整数幂 零指数幂 a0=1 (a≠0) 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 即时即练9．化简：________． 10．__________． 题型1 同底数幂的乘法及其逆用 1．下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则_____________． 4．阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【易错警示】 同底数幂相乘易误将指数相乘，混淆乘法与乘方法则。底数为负数、分数时不加括号，符号判断出错。逆用公式拆分幂时指数拆分错误，混合运算分不清运算顺序。底数互为相反数未统一底数，计算后不核对指数，极易出现计算偏差。 题型2 科学记数法 5．韩国三星电子某款芯片的运算速度每秒为次，另一种华为新型芯片的运算速度是它的倍，且该新型芯片连续工作秒的总运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．一个正方体集装箱的棱长为． （1）用科学记数法表示这个集装箱的体积是_________； （2）若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块的个数为_______．（用科学记数法表示） 8．用科学记数法表示：_________． 题型3 幂的乘方运算及其逆用 9．已知，则的结果为（   ） A． B． C． D． 10．计算：________． 11．已知，则的值为_________． 12．幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ （提示：， 为正整数，那么） 【易错警示】 幂的乘方易混淆指数运算法则，错把指数相加而非相乘。底数含负号、分数时未整体加括号，符号判定失误。逆用变形不会拆分指数，无法灵活转化同指数幂。混合运算不区分幂乘与乘方顺序，底数互为相反数未统一形式，验算缺失易出错。 题型4 积的乘方运算及其逆用 13．阅读下列各式：，，．⋯⋯ (1)根据积的乘方得出规律：_____________，________； (2)应用规律： ①填空：____________，________________； ②计算：． 14．逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 15．下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题． 作业计算： 解：原式= (1)计算：①； ②； (2)若，请求出的值． 16．在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【易错警示】 积的乘方易漏给每个因式乘方，常数、负号忘记乘方。底数带负号不加括号，符号判断出错。逆用时不会逆拆乘积转化同指数幂，混淆积的乘方与幂的乘方法则。混合运算顺序混乱，指数计算粗心，做完缺少核对步骤。 题型5 同底数幂的除法运算及其逆用 17．已知二元一次方程，则________． 18．已知a，b，c满足，，，则代数式的值为________． 19．已知； (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)若，则的值． 20．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求t的值． 【易错警示】 同底数幂相除易错把指数相加，底数为负数未加括号致符号出错。忽略零指数、负指数限制条件，底数不能为 0。逆用公式拆分指数思路僵化，混合运算混淆乘除法则。遇到底数互为相反数不先统一底数，简单指数口算失误，缺少验算步骤。 题型6 幂的混合运算 21．计算： (1) (2) 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．计算： (1)； (2) 24．计算： (1) (2) 题型7 零指数幂与负整数指数幂 25．若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 26．_______________ 27．已知，则___________． 28．计算：． 题型8 利用幂的运算比较大小 29．比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 30．如果，，，那么a、b、c三数的大小（    ） A． B． C． D． 31．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：___________． 32．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 题型9 利用幂的运算判断指数的关系 33．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 34．若a、b是正整数，且满足（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 35．若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 36．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：　　　　　，　　　　； (2)【应用】若，试求之间的等量关系． 题型10 幂的运算等于1的分类讨论题 37．已知，则的值为（   ） A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2 38．使的的值为__________． 39．若，则的值为_______． 40．已知，求整数x的值． 小红与小明交流如下： 小红说：因为， 所以且，所以． 小明说：你的解法只考虑一种情况，还有其他情况，我们再想想吧． 从他们的对话中，你认为小红同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 题型11 幂的运算中新定义问题 41．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 42．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 43．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 44．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 1．如果，，，那么，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．若，是正整数，且满足，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，表明：每天比上一天增长一点点，一年之后，所得终值大约是初值1的37.8倍！那么在理想状况下，两年增长的结果约等于（选最接近的数值）（     ） A．75 B．200 C．1000 D．1400 4．已知，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法①m，k都是偶数；②是偶数；③是偶数；④是偶数．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 5．实数满足，则代数式的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．已知，，，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 7．若，则的值是________ 8．已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 9．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 10．已知，则______． 11．计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 12．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算： ，若，则 ； (2)若，，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 13．已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 14．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 15．规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：___________． (2)①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． (3)结合①，②探索的结论，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $