精品解析：江苏省苏州市工业园区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025~2026学年第二学期期末学业水平调研试卷 初二数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共27小题，满分100分．考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是矩形，且有1条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．将一个“阳马”按如图所示方式摆放，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 自古以来人们就会根据经验对随机现象形成判断，这种基于长期经验积累的判断往往以谚语的形式流传．下列谚语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 种瓜得瓜，种豆得豆 B. 塞翁失马，焉知非福 C. 水中捞月，镜里看花 D. 冬去春来，寒来暑往 4. 某校有名学生参加知识竞答活动，其中成绩低于分的频率是，成绩高于分的频数是，则成绩在分之间（含分和分）的频率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的面积为，边，，对角线，相交于点．已知点是的中点，连接，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（ ） A. 线段 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 7. 近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点，，，分别是正方形各边的中点，连接，，，，形成四边形．设四边形的面积为，正方形的面积为，则（） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 要使二次根式有意义，则x需满足的条件是______． 10. 分解因式：3a2﹣12=___． 11. 计算：____________________. 12. 生物学家估计某一地区的某种鸟的只数时，常采用“捉放捉”的方法．如先捕捉该种鸟500只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些该种鸟作为样本，如果多次这样捕捉到的该种鸟中平均每100只有5只带有记号，估计该地区该种鸟有______只． 13. 已知，比较大小：______（填“”“”或“”）． 14. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 15. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，经过格点，的直线与水平网格线相交于点，则______． 16. 图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 三、解答题：本大题共11小题，共68分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 21. 体重指数（）是衡量人体胖瘦程度及是否健康的一种指标，其计算公式为．《国家学生体质健康标准》将八年级学生体重指数分成4个等级． 等级 低体重 正常 超重 肥胖 八年级男生 八年级女生 某校为了解学生的健康情况，从该校800名八年级学生中随机抽取了部分学生进行了调查，并根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图表： 抽取的部分学生等级统计表 等级 频数 男生 女生 低体重 6 4 正常 32 超重 8 5 肥胖 4 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ， ； （2）在扇形统计图中，“低体重”对应的扇形圆心角是 °； （3）估计该校八年级学生体重指数等级为“肥胖”的人数． 22. 数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． （1）抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； （2）同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 23. 如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转得到，若边恰好能够落在直线上，求的度数． 24. “复兴号”动车组是由我国自主研发，具有完全知识产权，达到世界先进水平的动车组列车．某条高速铁路干线上的甲、乙两地相距，从甲地到乙地的“复兴号”动车组列车的平均速度是普通动车组列车的1.75倍，且“复兴号”动车组列车所用时间比普通动车组列车少． 请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 25. 如图，在梯形中，，，对角线平分． （1）作，使与关于对称（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形； （3）若，，求梯形的面积． 26. 综合与实践：投影中的数学． （1）如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； （2）如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 27. 如图，在矩形纸片中，，点是边的中点，沿折叠该纸片，点落在点处． （1）若点在该纸片的边上，则 ； （2）若点在该纸片内部，连接、，延长与相交于点． ①求证：四边形是平行四边形； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期末学业水平调研试卷 初二数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共27小题，满分100分．考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将各选项化为最简二次根式后，被开方数和相同的即为同类二次根式． 【详解】解：对于选项A：，被开方数为，与的被开方数不同，故A错误； 对于选项B：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，故B错误； 对于选项C：，化简后为整数，与不是同类二次根式，故C错误； 对于选项D：，被开方数为，与的被开方数相同，故D正确． 2. 我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是矩形，且有1条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．将一个“阳马”按如图所示方式摆放，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题干图可知，它的俯视图是 3. 自古以来人们就会根据经验对随机现象形成判断，这种基于长期经验积累的判断往往以谚语的形式流传．下列谚语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 种瓜得瓜，种豆得豆 B. 塞翁失马，焉知非福 C. 水中捞月，镜里看花 D. 冬去春来，寒来暑往 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于A 选项：“种瓜得瓜，种豆得豆”是必然发生的事件，属于必然事件，不符合要求； 对于B 选项：“塞翁失马，焉知非福”的结果不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合要求； 对于C 选项：“水中捞月，镜里看花”不可能实现，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合要求； 对于D 选项：“冬去春来，寒来暑往”是固定自然规律，必然发生，属于必然事件，不符合要求． 4. 某校有名学生参加知识竞答活动，其中成绩低于分的频率是，成绩高于分的频数是，则成绩在分之间（含分和分）的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵总人数为，成绩高于分的频数为 ∴成绩高于分的频率为 ， ∵成绩低于分的频率是 ， 又∵所有分组的频率和为， ∴成绩在分之间的频率为． 5. 如图，的面积为，边，，对角线，相交于点．已知点是的中点，连接，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行四边形的面积公式求出，再利用勾股定理求出，容易判断是的中位线，利用中位线的性质求出的周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的面积为，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的周长为． 6. 在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（ ） A. 线段 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形对边平行，平行投影中平行直线的投影仍平行或共线即可判断，得出不可能的投影． 【详解】解：阳光照射形成的投影是平行投影， ∵矩形的对边互相平行， 又∵在平行投影中，互相平行的直线的投影仍然互相平行或重合， ∴矩形投影得到的图形一定有两组对边平行（或一组对边重合为线段）， 当卡纸平面与光线平行时，投影为线段，故A可能； 当卡纸与地面平行时，投影为矩形，故B可能； 当卡纸倾斜放置时，可得到邻边相等的平行四边形即菱形，故C可能； 梯形只有一组对边平行，不符合投影性质，因此不可能是梯形． 7. 近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算年和年的空气优良天数的比例即可得出结论． 【详解】解：∵年苏州市空气优良天数的比例为， 又∵年的年平均增长率为， ∴年的空气优良天数的比例为，年的空气优良天数的比例为， ∴可列方程． 8. 如图，点，，，分别是正方形各边的中点，连接，，，，形成四边形．设四边形的面积为，正方形的面积为，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为，利用勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长，结合全等三角形性质得到，进而求出的长，得出，确定四边形是正方形，最后计算面积比即可． 【详解】设正方形的边长为，则， 点，，，分别是正方形各边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 同理可得，，， 四边形是矩形， 在中，， ， ， 在中，， 同理得：， ， ， 同理：， ， 四边形是正方形， ， ． 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 要使二次根式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方式大于等于0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 11. 计算：____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质计算即可． 【详解】. 故答案为. 【点睛】本题考查了完全平方公式和二次根式的混合运算. 12. 生物学家估计某一地区的某种鸟的只数时，常采用“捉放捉”的方法．如先捕捉该种鸟500只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些该种鸟作为样本，如果多次这样捕捉到的该种鸟中平均每100只有5只带有记号，估计该地区该种鸟有______只． 【答案】 【解析】 【分析】设该地区该种鸟有只，利用占比不变列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设该地区该种鸟有只， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴该地区该种鸟有只． 13. 已知，比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法比较两个分式的大小，通过通分计算差的结果，结合已知判断差的符号，即可得到两个式子的大小关系． 【详解】解：对两个式子作差得， ， ∵， ∴，，， ∴，即， ． 14. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 15. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，经过格点，的直线与水平网格线相交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点，建立平面直角坐标系，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，最后计算出的长即可． 【详解】解：如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 由网格可知，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，． 16. 图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图①和图②的面积相等建立等式，得出  与  的数量关系，结合一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于  的一元二次方程  的两个实数根， ∴，， 将  代入，得  ， 整理得 ， 解得  ，（舍去） 当  时，， ∴ ， ∴  ，即 ． 三、解答题：本大题共11小题，共68分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，， 解得，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 21. 体重指数（）是衡量人体胖瘦程度及是否健康的一种指标，其计算公式为．《国家学生体质健康标准》将八年级学生体重指数分成4个等级． 等级 低体重 正常 超重 肥胖 八年级男生 八年级女生 某校为了解学生的健康情况，从该校800名八年级学生中随机抽取了部分学生进行了调查，并根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图表： 抽取的部分学生等级统计表 等级 频数 男生 女生 低体重 6 4 正常 32 超重 8 5 肥胖 4 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ， ； （2）在扇形统计图中，“低体重”对应的扇形圆心角是 °； （3）估计该校八年级学生体重指数等级为“肥胖”的人数． 【答案】（1）100，39 （2）36 （3）48人 【解析】 【分析】（1）根据统计表和统计图可知，超重人数为人，占比为，由此可求解样本容量，再根据正常占比为求解的值即可； （2）根据低体重人数求解对应的扇形圆心角度数即可； （3）先求解出抽取的学生中“肥胖”的人数，再由全校人数求解即可． 【小问1详解】 解：由统计表可知，超重人数为人， 由统计图可知，超重人数占比为， ∴本次调查的样本容量是， 由统计图可知，正常人数占比为， ∴，即，解得； 【小问2详解】 解：由统计表可知，低体重人数为人， ∴“低体重”对应的扇形圆心角是； 【小问3详解】 解：抽取的学生中“肥胖”的人数为人， ∴人， 答：估计该校八年级学生体重指数等级为“肥胖”的人数为48人． 22. 数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． （1）抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； （2）同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图，先得到同时抽取枚邮票的所有可能结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵共枚邮票，其中邮票“勾股定理”有枚， ∴从中抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是； 【小问2详解】 解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带的邮票分别记作，，，， 画树状图如图， 共有种可能的结果，其中恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的结果有种， ∴恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率为． 23. 如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转得到，若边恰好能够落在直线上，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可求解与的度数，再根据旋转的性质得到，，结合的内角和为求解即可． 【详解】解：∵在中，． ∴，， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在中， ． 24. “复兴号”动车组是由我国自主研发，具有完全知识产权，达到世界先进水平的动车组列车．某条高速铁路干线上的甲、乙两地相距，从甲地到乙地的“复兴号”动车组列车的平均速度是普通动车组列车的1.75倍，且“复兴号”动车组列车所用时间比普通动车组列车少． 请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 【答案】问题：普通动车组列车的速度是多少？ 解：设普通动车组列车的速度是，则“复兴号”动车组列车的平均速度为，即 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：普通动车组列车的速度是． 【解析】 【分析】可提出问题“普通动车组列车的速度是多少”，然后设普通动车组列车的速度是，则“复兴号”动车组列车的平均速度为，即，根据““复兴号”动车组列车所用时间比普通动车组列车少”建立分式方程求解即可． 【详解】略 25. 如图，在梯形中，，，对角线平分． （1）作，使与关于对称（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形； （3）若，，求梯形的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）证明：由作图可得，， ∵对角线平分． ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据边角边证明即可； （2）先根据边角边证明，然后根据平行线加角平分线证明，即可得到四边相等，即可证明其为菱形； （3）设，则，然后对运用勾股定理求解，再由梯形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴梯形的面积． 26. 综合与实践：投影中的数学． （1）如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； （2）如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 【答案】（1）①如图，投影，即为所求；②3，； （2）①如图，灯泡P即为所求； ② 【解析】 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 【小问1详解】 解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） 【小问2详解】 解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 27. 如图，在矩形纸片中，，点是边的中点，沿折叠该纸片，点落在点处． （1）若点在该纸片的边上，则 ； （2）若点在该纸片内部，连接、，延长与相交于点． ①求证：四边形是平行四边形； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）12 （2）解：①证明：设， 由翻折的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②或 【解析】 【分析】（1）根据点在该纸片的边上作图，可得到点是边的中点，由此可求解的长度； （2）①根据角度的关系得到，由此可得，再由，即可证明四边形是平行四边形； ②分类讨论时，与时两种情况，设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：当点在该纸片的边上，如图， 由题意可知，， 则四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ∴点是边的中点， ∴，即； 【小问2详解】 解：①略 ②∵是以为腰的等腰三角形， 当时，过点作于点，如图， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， 由（2）①可知，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 令，则， ∴，即， 则有， 故（负值舍）， ∴； 当时，连接，过点作于点，如图， 则有为的垂直平分线， 由（2）①可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∴， 在中，， 则有，即， 解得（负值舍）， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $