精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区2024-2025学年八年级下学期期末调研数学卷

2024～2025学年第二学期期末调研试卷 初二数学 2025.06 本试卷由选择题，填空题和解答题三大题组成，共27小题，满分100分．考试时间120分钟． 一，选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学的辉煌成就在世界上产生了深远的影响．下列图形“青朱出入图”“七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ） A. 摸出的2个球中至少有1个红球 B. 摸出的2个球都是白球 C. 摸出的2个球中1个红球、1个白球 D. 摸出的2个球都是红球 4. 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（ ） A B. C. D. 5. 为了解某校八年级1200名学生的身高状况，从中随机抽取60名学生进行统计分析．下列说法中，正确的是（ ） ①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的身高是个体；④样本容量是60． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 6. 已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五线谱是由等距、等长的五条平行横线组成的．已知直线l上的点A，B，C都在横线上，且线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 8. 已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 9 二，填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 已知，则______． 10. 如果分式的值是0，那么_______． 11. 化简：______． 12 计算：_____． 13. 若方程有增根，则a的值为______． 14. 图像识别是人工智能领域的一个重要分支．如图，某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定．现用该模型识别100幅图像，被正确识别的图像估计有______幅． 15. 如图，在中，点E是边中点，点F是边的中点．若的面积是3，则的面积是______． 16. 如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则______． 三，解答题：本大题共11小题，共68分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值： ，其中． 20. 苏州工业园区图书馆推出“阅读巴”项目，通过七大主题专线将阅读服务精准嵌入城市肌理，带领读者邂逅多种“书”适生活．某校为了解八年级1200名学生每周课外阅读情况，随机抽取了八年级部分学生进行调查，设被调查每名学生每周课外阅读的总时间为n小时，将它分为4个等级：A（），B（），C（），D（），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A等级对应的扇形圆心角是______°； （3）估计该校八年级学生每周课外阅读时间不少于6小时的人数． 21. 如图，惠游园区“转转卡”涵盖园区六大核心景点，持有人可根据表中规定，在“超值权益”和“特惠权益”中各选一项产品体验．小明购买“转转卡”后，计划在有效期内随机选择两项产品体验． 权益 产品 备注 超值权益 A．“苏州之眼”摩天轮单人票 二选一 B．华谊兄弟电影世界单人票 特惠权益 C．金鸡湖游船（登岛）单人票 四选一 D．苏艺国风剧场单人票 E．比斯特苏州购物村双人下午茶 F．嘉德·宥爱艺术中心单人票 （1）小明在“超值权益”中选择A产品的概率是______； （2）求小明选择A产品和C产品的概率．（用画树状图或列表等方法说明） 22. 如图，在中，．将绕点B按顺时针方向旋转后得到，点D的对应点F在边上，连接，求的度数． 23. 某班准备购进《周髀算经》和《九章算术》若干本供同学们借阅．据了解，用540元购买《周髀算经》数量比购买《九章算术》的数量多2本，且《九章算术》的单价是《周髀算经》单价的倍． 请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点C是y轴上一点，若的面积是21，求点C的坐标． 25. 如图，在中，是对角线． （1）作的垂直平分线，分别交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． 26. 综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 27. 如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． （1）面积的最小值为______； （2）求证：； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第二学期期末调研试卷 初二数学 2025.06 本试卷由选择题，填空题和解答题三大题组成，共27小题，满分100分．考试时间120分钟． 一，选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此进行判断即可． 【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意． B、最简二次根式，符合题意． C、，不是最简二次根式，不符合题意． D、，不最简二次根式，不符合题意． 故选B． 2. 中国古代数学的辉煌成就在世界上产生了深远的影响．下列图形“青朱出入图”“七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ） A. 摸出的2个球中至少有1个红球 B. 摸出的2个球都是白球 C. 摸出的2个球中1个红球、1个白球 D. 摸出的2个球都是红球 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件和必然事件的具体意义进行判断即可． 详解】解：袋子里装有2个红球和1个白球， 随机摸出2个球，根据抽屉原理可知， 随机摸出2个球，至少有1个红球， 故选：A． 【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件的实际意义是正确判断的前提． 4. 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，计算相邻两项的比值，发现斐波那契数列相邻两项的比值逐渐趋近于黄金分割比例．黄金分割比例的具体值为，即可得出结果． 【详解】解：计算相邻两项的比值：，，，，，，，，． 观察可知，比值逐渐趋近于一个固定值， ∵， ∴相邻两数的比值趋近于， 故选：D． 5. 为了解某校八年级1200名学生的身高状况，从中随机抽取60名学生进行统计分析．下列说法中，正确的是（ ） ①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的身高是个体；④样本容量是60． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【详解】①正确．因只抽取部分学生调查，属于抽样调查． ②错误．总体是1200名学生的身高状况，而非学生本身，故表述不准确． ③正确．每名学生的身高作为个体，符合定义． ④正确．样本容量为60，即抽取的样本数量，不带单位． 综上，正确的说法为①③④， 故选B． 6. 已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．由反比例函数的图象和性质，可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，且当时，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，五线谱是由等距、等长的五条平行横线组成的．已知直线l上的点A，B，C都在横线上，且线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，求出的长，根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵五线谱是由等距、等长的五条平行横线组成的， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 8. 已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二，填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 已知，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据，得出，然后求出式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为；2． 10. 如果分式的值是0，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0，即分子为0，分母不为0，据此列式计算即可作答． 【详解】解：∵分式的值是0， ∴ 解得 故答案为：． 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握是解题的关键． 根据利用二次根式的性质化简，再去绝对值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．利用平方差公式进行展开计算即可． 【详解】解： 故答案为： 13. 若方程有增根，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、增根等知识点，理解增根的意义和掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键． 把分式方程化为整式方程，再令最简公分母为0，即可求得增根，将增根代入整式方程求解，即可解题． 【详解】解： 去分母得：， 方程有增根，即， 解得， 将代入中有， 解得； 故答案为：． 14. 图像识别是人工智能领域的一个重要分支．如图，某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定．现用该模型识别100幅图像，被正确识别的图像估计有______幅． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，正确理解题意并读懂图象含义是解题的关键． 由图象可知正确率趋于稳定时，正确率约为0.8，再由100乘以0.8即可求解． 【详解】解：由题意知，正确率逐渐趋于稳定时，正确率约为0.8，则(幅)． 故答案为：80． 15. 如图，在中，点E是边的中点，点F是边的中点．若的面积是3，则的面积是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握面积比与底之比的转化是解题的关键． 连接，由点E是边的中点，点F是边的中点，则，那么由得，再由求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴与等底共高， ∴， ∵四边形是平行四边形，点F是边的中点 ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 16. 如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，中点坐标等知识点，进行等积转化是解题的关键． 连接，过点作轴于点，可证明，则，设，求出，再由中点坐标公式可得，将代入，即可求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点， ∵四边形是矩形， ∴经过点，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴，即， 将代入， 则 解得：， 故答案为：6． 三，解答题：本大题共11小题，共68分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算和减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用乘法分配律先进行乘法计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键．先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 19. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解题． 【详解】解： ， ， 原式． 20. 苏州工业园区图书馆推出“阅读巴”项目，通过七大主题专线将阅读服务精准嵌入城市肌理，带领读者邂逅多种“书”适生活．某校为了解八年级1200名学生每周课外阅读情况，随机抽取了八年级部分学生进行调查，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为n小时，将它分为4个等级：A（），B（），C（），D（），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A等级对应的扇形圆心角是______°； （3）估计该校八年级学生每周课外阅读时间不少于6小时的人数． 【答案】（1）50 （2）28.8 （3）384 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体，读懂统计图是解题的关键． (1)用B等级的人数除以可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三个等级的人数可得C等级的人数，再补全条形统计图即可； (2) 求出扇形A对应的百分比，再乘即可得到答案； (3)用样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是：（名）， C等级的人数为：（名）， 补全条形统计图如下： 故答案为：50； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，A等级对应的扇形圆心角是： 故答案为：28.8； 【小问3详解】 解： (人)， 答:估计该校八年级学生每周课外阅读时间不少于6小时的人数大约为384人． 21. 如图，惠游园区“转转卡”涵盖园区六大核心景点，持有人可根据表中规定，在“超值权益”和“特惠权益”中各选一项产品体验．小明购买“转转卡”后，计划在有效期内随机选择两项产品体验． 权益 产品 备注 超值权益 A．“苏州之眼”摩天轮单人票 二选一 B．华谊兄弟电影世界单人票 特惠权益 C．金鸡湖游船（登岛）单人票 四选一 D．苏艺国风剧场单人票 E．比斯特苏州购物村双人下午茶 F．嘉德·宥爱艺术中心单人票 （1）小明在“超值权益”中选择A产品的概率是______； （2）求小明选择A产品和C产品的概率．（用画树状图或列表等方法说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：“超值权益”有A，B两种， 因此小明在“超值权益”中选择A产品的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下， 由图可知，共有8种等可能的情况，其中选择A产品和C产品的情况有1种， 因此选择A产品和C产品的概率是． 22. 如图，在中，．将绕点B按顺时针方向旋转后得到，点D的对应点F在边上，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质． 先根据平行四边形的性质得到，则利用平行线的性质得到，再根据旋转的性质得到，，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后计算即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵绕点B按顺时针方向旋转后得到，点D对应点F在边上， ∴，， ∴， ∴． 23. 某班准备购进《周髀算经》和《九章算术》若干本供同学们借阅．据了解，用540元购买《周髀算经》的数量比购买《九章算术》的数量多2本，且《九章算术》的单价是《周髀算经》单价的倍． 请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用． 先提出问题，设《周髀算经》单价是x元，则《九章算术》的单价是元，根据用540元购买《周髀算经》的数量比购买《九章算术》的数量多2本，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：问题：《周髀算经》单价是多少元？ 设《周髀算经》单价是x元，则《九章算术》的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：《周髀算经》单价是45元． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点C是y轴上一点，若的面积是21，求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的表达式，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的表达式； （2）设直线与y轴的交点为D，求出，设点C的坐标为，根据的面积是21，得出，求出c的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将代入得：， 则反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 所以， 将点和代入得：， 解得：， 则一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线与y轴的交点为D， 把代入得：， 则， 设点C的坐标为， 面积是21， ， 解得或， ∴点C的坐标为或． 25. 如图，在中，是对角线． （1）作的垂直平分线，分别交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，菱形的判定，平行四边形的性质等．掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由垂直平分线性质得，，再证，再依次证明四边形是平行四边形，菱形． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 是的垂直平分线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 26. 综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 27. 如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． （1）面积的最小值为______； （2）求证：； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，矩形性质和判定，折叠的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）过点作于点，证明四边形为矩形，得到，利用折叠和等腰三角形性质得到，根据的面积，推出当最小时，即， 时，的面积最小，即可解题； （2）由（1）知，，，由折叠的性质可知，，结合线段的和差关系，即可解题； （3）根据是以为腰的等腰三角形，分两种情况①当时，，②当时，结合等腰三角形性质，矩形性质和判定求解，即可解题． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， 矩形纸片中，，，， 四边形为矩形，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 的面积， 当最小时，的面积最小， 即， 时，的面积最小值为； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：由（1）知，，， 由折叠的性质可知，， ， 又，， ； 【小问3详解】 解：是以为腰的等腰三角形， ①当时，， 由（1）知，， 重合， 由折叠的性质可知，， 则， ， ， 重合， 设，则， ，， ， 解得； ②当时， 由折叠的性质可知，， ， 过点作于点， ， 四边形为矩形， ， ， ； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$