精品解析：四川省资阳市雁江区2025-2026学年度下学期期末八年级质量抽样监测 数 学

2025-2026学年度下学期期末八年级质量抽样监测数学 本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．答题时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，请学生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和编号．答题结束，将试题卷和答题卡一并交回． 2.各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案． 3.各学科的非选择题须用0.5mm黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答；在试卷上作答，答案无效． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式 的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 3. 第二象限的点到轴的距离是2，到轴的距离是1，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 某电商平台综合“用户评价”和“物流速度”对商品进行评分，其中“用户评价”的权重为，“物流速度”的权重为．某商品的“用户评价”为90分，“物流速度”为60分．则该商品的综合评分为（ ） A. 75 B. 78 C. 81 D. 87 5. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而增大 B. 该函数的图象经过第一、二、三象限 C. 图象与轴交于点 D. 如果点和均在该函数的图象上，那么 6. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 四条边都相等的四边形是正方形 D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 7. 若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 9. 如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：①20分钟后，甲仓库内快件数量为190件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；③时，甲仓库内快件数为640件；④时，两仓库快递件数相同．其中正确的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上） 11. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上．一个DNA分子的直径约为0.000000301cm．用科学记数法可表示为______cm． 12. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 13. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是________． 14. 如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________． 15. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、两点，将线段绕点逆时针方向旋转，点恰好落在反比例函数在第二象限图象上的点．则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是6的正方形的两边分别相交于M，N两点，的面积为6，若动点P在x轴上，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再从1，0，中任选一个你喜欢的数作为x的值代入求值． 18. 某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 19. 如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，现给出三个关系：①；②；③． （1）请从上述三个关系中选择两个，将序号填在横线上：当满足 时，四边形是正方形； （2）请证明（1）中的命题． 20. 如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出的解集； （3）求的面积． 21. 如图，在中，，点、分别是、的中点．将绕点旋转得．连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，设四边形的面积为，求的值． 22. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用1800元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共35台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的2倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打九折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人模型的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围； （3）在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． （1）求证：△； （2）求四边形的面积； （3）当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； （3）点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末八年级质量抽样监测数学 本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．答题时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，请学生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和编号．答题结束，将试题卷和答题卡一并交回． 2.各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案． 3.各学科的非选择题须用0.5mm黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答；在试卷上作答，答案无效． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，均为整式，是分式， 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 2. 若分式 的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式值为0需同时满足分子等于0，分母不等于0，根据这两个条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， 解方程得， 由得， ∴． 3. 第二象限的点到轴的距离是2，到轴的距离是1，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴ 点纵坐标的绝对值，横坐标的绝对值， ∵ 点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴ ，， ∴ 点的坐标为． 4. 某电商平台综合“用户评价”和“物流速度”对商品进行评分，其中“用户评价”的权重为，“物流速度”的权重为．某商品的“用户评价”为90分，“物流速度”为60分．则该商品的综合评分为（ ） A. 75 B. 78 C. 81 D. 87 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，该商品的综合评分为（分）． 5. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而增大 B. 该函数的图象经过第一、二、三象限 C. 图象与轴交于点 D. 如果点和均在该函数的图象上，那么 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数中和的符号，即可判断函数增减性，图象所在象限和特殊点坐标． 【详解】∵一次函数为， ∴，． ∵， ∴的值随值的增大而减小，故A选项错误； ∵，， ∴ 函数图象经过第一，二，四象限，不经过第三象限，故B选项错误； 令，代入得， ∴图象与轴交于点，故C选项正确； ∵，且随的增大而减小， ∴，故D选项错误． 6. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 四条边都相等的四边形是正方形 D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、平行四边形、正方形、菱形的判定方法依次分析各选项即可作出判断. 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形， B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形， D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，均为真命题，不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故为假命题，本选项符合题意. 故选： 【点睛】特殊四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 7. 若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：由题意可知， ， 函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大． ， 点、位于第二象限， ． ， 点位于第四象限， ， ． 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 9. 如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形的面积是原四边形面积的一半，由此得出面积变化的规律，代入求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， 、， 顺次连接矩形四边的中点得到四边形， ， 四边形是菱形， ， 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的， ， ， 当时，． 10. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：①20分钟后，甲仓库内快件数量为190件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；③时，甲仓库内快件数为640件；④时，两仓库快递件数相同．其中正确的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出甲、乙仓库快件数量关于时间（分）的一次函数解析式，依次验证4个说法的正误，统计正确个数． 【详解】解：设对应，为经过的分钟数，总时长60分钟， 甲过、， 设代入： ， 解得， 即， 乙过、， 设 代入： ， 解得，， 即， 将代入： ，①错误； 乙函数斜率，代表每分钟减少4件，即每分钟派送4件，②正确； 对应，代入： ，③错误； ，解方程： ， 解得，④错误， 综上，正确个数为1个． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上） 11. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上．一个DNA分子的直径约为0.000000301cm．用科学记数法可表示为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 12. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为48，则，然后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴． 13. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题． 根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】， 去分母得：， 解得：， 方程的解为正数，且方程的增根为， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 14. 如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】证明为等边三角形，进而得到，即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 15. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、两点，将线段绕点逆时针方向旋转，点恰好落在反比例函数在第二象限图象上的点．则______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点，证明，进而求出点的坐标，进而求出值即可. 【详解】解：∵直线与轴、轴分别相交于点、两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴于点，则， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴. 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是6的正方形的两边分别相交于M，N两点，的面积为6，若动点P在x轴上，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得，根据三角形的面积列方程得到，作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， 作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长的最小值， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称-最短路线问题，勾股定理，正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再从1，0，中任选一个你喜欢的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）6 （2），1 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， ， ， 当时，原式． 18. 某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90；92 （2）70；96；箱线图如图 （3）乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求解． （2）根据四分位数的定义求出第一四分位数和第三四分位数，再画图即可． （3）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 甲组10个数，排序后第五和第六位分别是89和91， ∴中位数， 众数是出现次数最多的，乙组92最多， ∴众数． 【小问2详解】 解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 方法一：10个数据的第一四分位数的位置为，故第一四分位数为第3个数是，因此； 第三四分位数的位置为，故第三四分位数为第8个数是，因此； 方法二：第一四分位数为前5个数据的中位数，故； 第三四分位数为后5个数据的中位数，故； 箱线图见答案 【小问3详解】 略 19. 如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，现给出三个关系：①；②；③． （1）请从上述三个关系中选择两个，将序号填在横线上：当满足 时，四边形是正方形； （2）请证明（1）中的命题． 【答案】（1）①② （2）证明：四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ， 平行四边形是矩形， 又； ， 四边形是正方形. 【解析】 【分析】（1）根据邻边相等的矩形为正方形，选择①②即可； （2）先证明四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形为正方形，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，利用函数图像求不等式的解集及三角形的面积，解题的关键是理解待定系数法求函数解析式及利用图像比较函数值的大小． （1）利用待定系数求一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）利用图像求不等式的解集； （3）设直线交轴于点，利用求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 ， ， 根据图像，得或； 【小问3详解】 把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 21. 如图，在中，，点、分别是、的中点．将绕点旋转得．连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，设四边形的面积为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点旋转得， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）四边形的面积为 【解析】 【分析】本题考查图形旋转的性质，菱形的判定定理以及菱形的面积公式，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键． （1）根据旋转得，，可证四边形是平行四边形；再由是的中点及，得，进而可证四边形是菱形； （2）由得菱形边长为，设，，则，利用菱形对角线垂直，结合勾股定理得，再由完全平方公式求得，最后用菱形面积公式求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，令和的交点为， ∵， ∴， 设，，则， 由（1）得四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 整理得，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 答：四边形的面积为． 22. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用1800元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共35台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的2倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打九折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人模型的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围； （3）在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价为450元，B型机器人模型的单价为300元 （2）（且为整数） （3）购买A型机器人模型12台，购买B型机器人模型23台时花费最少，最少花费11070元 【解析】 【分析】（1）设B型机器人模型单价是x元，根据用1800元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的2倍，列出不等式求出的取值范围，根据总花费等于两种机器人的费用总和列出函数关系式即可； （3）根据一次函数的性质，求最值即可. 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价是x元，A型机器人模型单价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 所以A型机器人模型的单价为450元，B型机器人模型的单价为300元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，根据题意，得 ，且， 解得， 其中且为整数； 【小问3详解】 解： ， ， W随着m的增大而增大， 当时，W取最小值，此时， 所以购买A型机器人模型12台，购买B型机器人模型23台时花费最少，最少花费11070元． 23. 如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． （1）求证：△； （2）求四边形的面积； （3）当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ， ∴是等边三角形 ， ， （2）四边形的面积为 （3）存在，面积的最小值为 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，利用即可得证； （2）由（1）可知，四边形的面积等于的面积，进行求解即可； （3）易得是等边三角形，进而推出，得到当时，有最小值，此时的面积最小，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， 过点作于点， 由（1）知是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形的面积为； 【小问3详解】 解：存在， 由（1）知是等边三角形，， ，，， ， 是等边三角形， ， 过点作于点， ， ， ， 当时，有最小值，此时的面积最小，同理（2）得此时， ． 24. 如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； （3）点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值求出点的坐标； （2）求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据，进行求解即可； （3）设点，分两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数表达式得：， ， ∴反比例函数表达式为； 把代入得：， ； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式是， 把、代入得： ， ， ， ∴直线的函数表达式是， 当时，， ， ， ， 设直线与轴交于点， ． ， ， ， 【小问3详解】 解：设点， 、 ①当四边形为矩形时，如图1，， ， ， ； ②当四边形为矩形时，如图2，， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $