1.1《三角形中的线段和角》暑假预习 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学暑假同步练，聚焦《三角形中的线段和角》，以“基础巩固-能力提升-拓展应用”分层设计，通过概念理解、综合计算到规律探究的路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三角形外角、三边关系、中点性质|单选题1-3直接应用概念，填空题7-10强化基础计算，培养空间观念| |能力提升|面积比、折叠问题、角平分线综合|单选题4-6结合图形变换，解答题13-15融合作图与推理，发展运算能力| |拓展应用|规律探究、等高三角形性质|解答题15-18设置跨情境问题（如低多边形网眼），渗透创新意识与模型观念|

1.1《三角形中的线段和角》暑假预习 一、单选题 1.如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，CE是∠ACD内部一条射线，已知∠I=∠2， ∠B=40°，则的度数为(） ∠3 A E 3 A.30° B.40° C.50° D.60° 2.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=4,BC=3,AB=5,将△ABC沿AB对折得到 △ABD ,连接CD,则CD长为() CD B A.3.6 B.4.8 C.6.4 D.8 3.如图，S4Bc=18,若SaE=SADc=SAACE,则SADE=（) A.3 B.6 C.9 D.12 4.如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，且△ABC的面积等于8cm' 则阴影部分图形面积等于() A.Icm2 B.2cm2 C.4cm2 D.8cm2 5.如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC边上，E是AC的中点，BC=3BD,BE与AD 相交于点F,SE=18,则△ACD的面积为() A.9 B.12 C.24 D.36 6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB,DF L AC,E,F分别是垂足.已知 2AB=31C,则DB与DF的长度之比是() E A.1:2 B.2:1 C.2:3 D.3:2 二、填空题 7.如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，且△ABC的面积等于4cm', 则阴影部分图形面积等于cm'. 8.一个三角形的三边长分别是xcm、(仁+)m、(任+2)m,它的周长不超过10em,则x的取 值范围是 9.如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、BE边的中点，已知SaBc=40,则阴影部分 的面积为一· A E B C D 10.在△ABC中，已知AC<AB<BC,那么∠A,∠B,∠C的大小关系是 （用“<”号连 接) 11.如图，线段AD,CE分别是△ABC中边BC,AB上的高.若AD=5,CE=4,AB=6,则 BC 的长是 B 12.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=12cm,S4c=24cm,AB边上的高=cm. 若点D是底边BC边上的任意一点，DE LAB于点E,DF L AC于点F.则DE+DF=cm 三、解答题 13.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1.（请利用网格作图，画出的线请用 铅笔描粗描黑) A B (1)过点C画AB的垂线，垂足为F: (2)过点C画AB的平行线CF,F在格点上 (3)连接AC,BC,则三角形ABC的面积为 14.好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列2个问题，请你帮她解决.如图，在 △ABC中，点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，点D是∠MBC、∠NCB平分线的交点，BI, DC 的延长线交于点 B (1)若∠BAC=50°，求∠BIC; (2)若∠D=3∠E,求∠BAC的度数. 15.“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过 把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑 斓绚丽（如图1）·受此启发，小聪提出如下问题：设多边形A44…A,中，有m个“内点” B,B,B,B,连接它们成一张互相毗邻的三角形网(=5，m=4时的情形如图2。若 称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t,多边形的边数n,多边形“内 点”的个数m之间存在怎样的数量关系. A B A3 图1 图2 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形(=3)时，列表如下： 三角形( n= ) 三角形内点 3 的个数(m) 网眼个数 3 (t) (1)表中x= y= 根据上述探索过程，猜想m,t之间满足的等量 关系为 (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形(=4)时，写出m,t之间满足的等量关系 (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数. 16.如图，在△ABC中，AD是中线，AB=10cm,AC=6cm, B (1)求△ABD与△ACD的周长差； (2)点E在边AB上，连接ED.若△ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm,求线段AE的长. 17.已知△ABC的三边长为a,b,c, (1)若a=3,b=5,求边长c的取值范围； (2)化简a+b-d-a-b+d 18.【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形. 例如：如图①，在△ABC和△AB'C'中，AD,A'D'分别是BC和B'C边上的高线，且AD=AD, 则△ABC和△A'B'C'是等高三角形. D 图① 图② 图③ 【性质探究】 如图①，用SABC,SBC分别表示△ABC和△AB'C'的面积. 则5=2BCAD,Sfc-)BCAD. 1 AD=AD, SAuBC SMWc =BC:B'C 【性质应用】 (1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点.若BD=2,CD=3,则SaB:Sac=;(直接 写出答案) (2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3, S△ABC=2 则 BEC SACDE ;(直接写出答案) (3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n, ,请用含m,”“的式子表示△CD的面积 S△ABC= 一、单选题 1.B 解：∠ACD=∠B+∠2=∠1+∠3，∠1=∠2， ∴.∠3=∠B=40° 2.B 解：如图，令AB与CD相交于点O, B 由折叠的性质可得B⊥CD,且C0=D0CD, 2 :在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=4,BC=3,AB=5, ·5c4AC-8c 1 -24B.CO :C0=4C9C=3x4-24, AB 5 ∴.CD=2C0=4.8. 3.A 解：SABDE=SADEC=SA4cE, 5服片，及mS,点D是BC的中点， .AE:BE=1:2 1 1 1 ==6SA0-6X18=3. 6 6 4.B 解：如图，点F是CE的中点， “△BBF的底是E,△BEC的底是EC,即EF-C,而商相等， 2 9m5, 2 ,E是AD的中点， .S△BDE= 1 S.E8C=, 2 1 5r=45， S.ABc =8cm2 .S△r=2cm2，,即阴影部分的面积为2cm2. 故选：B. 5.C 解：：E是AC的中点，Sas=18, SABE =S.CBE =18 .S△48c=36. ∴.BC=3BD, CD-28C 3 =2×36=24, 故选：C 6.C 解：DE⊥AB,DF LAC, 1 S.=AB-DE..AC.DF “在△ABC中，MD是BC边上的中线， aABD与△MCD 的面积相等. 号4BDE=4C-DF 2 AB·DE=AC.DF .2AB=3AC AB-3AC 2 3AC:DE =AC.DF .∴.3DE=2DF .DE:DF=2:3 故选：C 二、填空题 7.1 解：Sac=4cm2,点D是BC的中点， .5e2cm' 点E是AD的中点， :Ss=成c分e=lm,同理=Scx方w=lm, 1 ∴.S△BCE=SABDE+S△cDE=2. ,点F是CE的中点， 1 .SBEr=7ScE=lcm2】 2 7 8.1<x Γ3 解：”一个三角形的三边长分别是xcm、(x+l)cm、(c+2)cm ∴.0<x<x+1<x+2 “三角形任意两边之差小于第三边， .x>(x+2)-(x+1) .x>1 “它的周长不超过 0cm ∴.x+x+1+x+2≤10 3, 的取值范围是1<x 3. 9.15 解：：D为BC中点，S△Bc=40, 5m40-20, 1 点E为AD边的中点， 1 1 1 S.m20=10.S.cn=SAcD=7x20=10 :点F为BE边的中点， 1 .S,DEr=7S,B0e=5×10=5 2 2 ∴.阴影部分的面积为S.cDe+S△per=10+5=15, 故答案为：15. 10.∠B<∠C<∠A 解：在△ABC中，边AC所对的角为∠B,边AB所对的角为∠C,边BC所对的角为∠A, AC<AB<BC, .∠B<∠C<∠A. 故答案为：∠B<∠C<∠A, 11.4.8 解：：线段AD,CE分别是△ABC的边BC,AB上的高，AD=5,CE=4,AB=6, Se=号4D-BC-AB-CE BC=BCE_6x4_24=48 AD 55 故答案为：4.8 12. 4 4 解：：AB=AC=12cm,SBc=24cm2 ∴.AB边上的高=24×2÷12=4cm 连接AD,如图所示： D 由图可得：SMac=SBn+S4cD, 又：5mx4BxDE,SmX4CxDF, .(xDE+4CxDr）. .AB=AC=12cm, 1 .SABc=7×AB×(DF+DE) 2 即2×I2x(DF+DE)=24 解得：DF+DE=4cm, 故答案为：4；4 三、解答题 13.(1)解：如图所示，即为所求； (2)解：如图所示，即为所求； -E 3解：如图所示，S5x4)×3x4)1x5)x495 14.(1)解：∠BAC=50°， .∠ABC+∠ACB=180°-50°=130° :BE平分 平分<ACB 、∠ABC CI LIC-ARC ZICR-LACB 2 ∠c+∠CB-1c+ACB-18c+∠4c8)=65, .∠B1C=180°-65°=115° (2)解：BD平分∠MBC,BE平分∠ABC, ∠IBc-hBc,∠Dac-WBc, .∠ABC+∠MBC=180° .∠1BC+∠D8C=x180P=90,即∠DBE=90, .∠D=3∠E 2D+E=3E+∠E=90,解得E=225, 设LABE=LEBC=x,∠ACE=∠ECG=y, :.∠E=y-x,∠B1C=∠ACG-∠ABC=2y-2x=20-x) 解得∠BAC=2∠E=45°. 15.（1)解：观察图形，网眼个数如下： 当m=2时，t=2×2+1=5,即x=5; 当m=3时，1=2×3+1=7，即y=7; “… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得t=2m+1. 故答案为：5,7；t=2m+1. (2)解：如图，当n=4时， 取m=1,得t=4=2×1+2: 取m=2,得t=6=2×2+2; 取m=3,得t=8=2×3+2 。t8t。 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得t=2m+2. 故答案为：t=2m+2. (3)解：由多边形三角剖分的一般规律，得1=2m+(n-2) 已知t-n=12,代入得2m+(n-2)-n=12, 化简得2m-2=12, 解得m=7. 答：这个多边形“内点”的个数为7. 16.(1)解：△ABD的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+CD+AD, AD是中线， ∴.BD=CD, △ABD与△1CD的周长差：（MB+BD+AD)-(1C+CD+AD)=AB-AC=4cm (2)解：由图可知：△BDE的周长=BE+BD+DE,四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE, ① 当△BDE的周长-四边形ACDE的周长=2cm时， D是BC的中点， ∴BD=DC, (BE+BD+DE)-(4E+AC+DC+DE)=2 ∴.BE=AE+AC+2, .AB=10cm,AC=6cm,BE AB-AE, ∴.AE+AC+2=AB-AE, ∴.10-AE=AE+6+2 .'AE =1cm ②四边形4CDE的周长°△BDE的周长=2cm时， ,D是BC的中点， ∴.BD=DC, (AE+AC+DC+DE)-(BE+BD+DE)-2 ∴.AE+AC=BE+2, .AB =10cm,AC=6cm,BE=AB-AE, ..AE+AC=AB-AE+2, .∴.AE+6=10-AE+2 .AE=3cm; 综上，线段AE的长为lcm或3cm. 17.(1)解：a=3,b=5, .5-3<c<5+3 2<c<8 ,即 (2)解：.△ABC的三边长为a,b,c, ∴.a+b>c,a+c>b .∴.a+b-c>0,a-b+c=a+c-b>0, ..a+b-c=a+b-c;a-b+c=a+c-b 原式-a+h-小-a+c- =(a+b-c)-(a+c-b) =a+b-c-a-c+b =2b-2c 18.(1)解：4ABD,aADC是等高三角形， SAABD SAADC=BD:CD=2:3 故答案为：2：3； (2)解：BE:AB=1:2,S△ABc=2, ∴.SBEc:S△MBc=BE:AB=1:2, 1 .S.mc=S,48c=1: 2 .CD:BC=1:3, .'.SACDE S,DEC=CD:BC=1:3 1 1 S.cme=3S.ac-3 故答案为：： (3)解：BE:AB=1:m,SBc=a, 'S.BEC SAABC=BE:AB=1:m .c.c a m ..CD:BC=1:n, ..SACDE S.BEC =CD:BC=1:n .S.coS.suc =Ixa=a. n n m mn;