1.4 二次函数与一元二次方程的关系(课件)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，涵盖图像与x轴交点对应方程根的三种情况、图像法求近似根及待定系数法确定表达式，通过从二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）当y=0转化为方程入手，结合表格对比搭建函数与方程的学习支架，衔接二次函数图像与方程根的判别式知识。 其亮点是以数形结合为主线，通过典例（如三种方法求交点、二分法估近似根）发展几何直观与运算能力，延伸抛物线与直线y=m交点对应方程ax²+bx+c=m的根强化模型意识。小结结构化梳理知识，学生能系统掌握，教师可借多样化例题提升教学效率。

第1章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 九上数学 ZJ 1 1.知道二次函数与一元二次方程之间的关系,理解二次函数的图象与 轴的交点的三种情况，明确其分别对应一元二次方程的根的三种 情况，体会数形结合思想。 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，解决相关方程 和不等式的问题,增强几何直观,提升解决问题的能力。 3.会用待定系数法确定二次函数的表达式,能根据给出的条件恰当地 选取二次函数表达式的类型，并求出二次函数表达式,发展运算能 力。 学习目标 2 二次函数，当 时，得到一元二次方程 ，所以抛物线与 轴交点的横坐标就是一元二次方程 的根。 二次函数的图象与 轴的交点的三种情况，分别对应一元二次方程 的根的三种情况，如下表所示： 3 的取值 二次函数 的大致图象 4 的取值 二次函数 的图象与 轴的交点情况 有两个交点， 分别为 ， 。 只有一个交 点，为 。 没有交点。 5 的取值 一元二次方程 的根的情况 有两个不相等的 实数根, ， 为 。 有两个相等的 实数根, ， 且 。 没有实 数根。 6 抛物线与直线 的交点和一元二次方 程 的根的关系 如图，二次函数的图象与直线 的交点的横 坐标就是一元二次方程 的根。同样地，抛物线和 直线的交点情况对应一元二次方程的根的情况。 7 利用二次函数图象确定不等式的解集 以<m></m>为例，求不等式的解集如下表： 的取值 抛物线 8 的取值 不等式 或 全体实数 不等式 无解 无解 9 典例1 已知二次函数的图象与 轴的一个交点为 ，则该函数的图象与 轴的另一个交点的坐标为_______。 解析：方法一 因为二次函数的图象与 轴的一 个交点为，所以是一元二次方程 的一 个根， 所以，解得 ， 所以，解得， ， 所以该函数的图象与轴的另一个交点的坐标为 。 10 方法二 因为二次函数 的图象的对称轴是直线 ，且与轴的一个交点为 ， 所以该函数的图象与轴的另一个交点的坐标为 。 方法三 因为二次函数的图象与 轴的一个交点为 ， 所以是一元二次方程 的一个根。 设方程的另一个根为，则，解得 ， 所以该函数的图象与轴的另一个交点的坐标为 。 11 1.用图象法求一元二次方程 的根的方法 方法 步骤 结论 方法一 直接作出二次函数 的图象。 图象与 轴的交点 的横坐标就是一 元二次方程 的根。 12 方法 步骤 结论 方法二 先将一元二次方程变为 ,再在同一平面直角坐标系中画出抛物线 和直线 。 两图象交点的横 坐标就是一元二 次方程 的根。 13 方法 步骤 结论 方法三 先将一元二次方程化为（或 ）的形式，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线 和直线（或抛物线 和直线 ）。_______ 两图象交点的横 坐标就是一元二 次方程 的根。 14 2.确定一元二次方程的近似根的步骤 当二次函数图象与 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时， 可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： （1）画图：画出二次函数 的图象。 （2）定位：观察函数图象，确定函数图象与 轴的一个交点在两 个连续整数， 之间。 15 （3）试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取和 的平均数，计算出当时的函数值，将 与自变量分 别为和时的函数值,比较，若函数值, 异号，说明所求 的根在和之间，再取和 的平均数，计算函数值;若函数 值,异号，说明所求的根在和之间，再取和 的平均数， 计算函数值。重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位 为止。 （4）定根：按照（2）（3）的方法估计出方程的另一个根。 16 典例2 利用二次函数的图象求方程 的近似实数根 （结果保留小数点后一位）。 解：画出函数 的图象，如图所示。 由图可知，函数的图象与 轴的 两个交点的横坐标分别在 和0，1和2之间。 取和0的平均数 ， 当时，，当时， ， 所以方程的一个根在 和0之间。 17 取和0的平均数 ，当时， ， 所以方程的这个根在和 之间。 取和的平均数 ， 当时, ， 所以方程的这个根在和 之间， 由此方法可得到原方程的一个近似实数根为 。 用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为1.8。 所以方程的近似实数根是， 。 表达式类型 函数表达式 适用条件 一般步骤 一般式 ______________ 已知抛物线上任意三个点的坐标。_______ ①设：根据已知条 件，设出合适的二 次函数表达式； ②代：把已知点的 坐标代入，得到关 于待定系数的方程 （组）； 顶点式 𝑦=𝑎(𝑥−𝑚)2+𝑘 ____________ 已知抛物线的顶点坐标(𝑚,𝑘) 和抛物线上一点（非顶点）的坐标。 19 表达式类型 函数表达式 适用条件 一般步骤 交点式 已知抛物线与 轴的两个交点的坐标 , 和抛物线上另一个点的坐标。 ③解：解方程 （组），求出待定系数的值； ④写：写出二次函数的表达式。 20 设特殊二次函数表达式的技巧 （1）若抛物线的顶点在原点，则表达式可设为 ； （2）若抛物线的对称轴是轴，则表达式可设为 ； （3）若抛物线经过原点，则表达式可设为 ； （4）若抛物线的顶点在轴上，则表达式可设为 。#16.4 21 典例3 根据下列条件，分别求出对应二次函数的表达式。 （1）已知一个二次函数的图象经过，， 三点。 解： 设二次函数的表达式为 。 因为函数图象经过，， 三点， 所以解得 所以该二次函数的表达式为 。 22 （2）已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且经过原点 。 解：设二次函数的表达式为 。 因为函数图象经过原点，所以，解得 ， 所以该二次函数的表达式为，即 。 23 （3）已知一个二次函数的图象与轴两交点的横坐标分别为 ,4, 且图象经过点 。 解：设二次函数的表达式为 。 因为函数图象经过点，所以 ，解得 ， 所以该二次函数的表达式为 ， 即 。 24 课堂小结 25 $