第10讲 直线的两点式方程（思维导图+3知识点+4考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 直线的两点式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围； 2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围； 3．会用中点坐标公式求线段的中点坐标. 知识点 1 直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程定义 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 3、对两点式方程的理解 （1）与，显然后者表示直线的范围比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式． （2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． （3）把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 4、两点式方程的使用方法 （1）已知直线上两点，且，时，可以直接使用该公式求直线方程． （2）当，时，直线方程为或． （3）当，时，直线方程为或． 知识点 2 直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程的定义 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）纵截距：直线与轴交点的纵坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． 4、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 知识点 3 中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为，则． 考点一：两点式与截距式辨析 例1．（23-24高二上·河北邢台·月考）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024高二·全国·专题练习）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【变式1-2】（23-24高二上·四川宜宾·月考）（多选）下列说法中错误的是（   ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为 【变式1-3】（23-24高二上·江苏宿迁·月考）（多选）下列说法中错误的是（    ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 考点二：直线的两点式方程 例2. （23-24高二上·宁夏银川·月考）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【变式2-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标为，，，求它的对角线AC，BD所在直线的方程. 考点三：直线的截距式方程 例3. （23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）（多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·云南昆明·月考）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（23-24高二上·广东东莞·月考）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 考点四：直线与坐标轴围成图形的面积 例4. （23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【变式4-1】（23-24高二上·广东揭阳·期中）（多选）直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·江苏徐州·月考）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（22-23高二上·海南·期中）在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北黄石·月考）过点和点的直线的两点式方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津南开·月考）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（22-23高二上·四川成都·期中）过点 ​且横、纵截距相等的直线其条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高二上·黑龙江大庆·月考）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·江苏无锡·期中）直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（    ） A． B．1 C．3 D．0 8．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（    ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 三、填空题 9．（23-24高二上·广东广州·期中）若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 10．（23-24高二上·山东泰安·月考）已知直线l过点，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是 ． 11．（23-24高二上·山西文水·月考）经过点，的直线在轴上的截距为 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 13．（23-24高二上·福建福州·月考）已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4． (1)若直线的斜率为2，求实数m的值； (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 直线的两点式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围； 2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围； 3．会用中点坐标公式求线段的中点坐标. 知识点 1 直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程定义 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 3、对两点式方程的理解 （1）与，显然后者表示直线的范围比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式． （2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． （3）把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 4、两点式方程的使用方法 （1）已知直线上两点，且，时，可以直接使用该公式求直线方程． （2）当，时，直线方程为或． （3）当，时，直线方程为或． 知识点 2 直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程的定义 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）纵截距：直线与轴交点的纵坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． 4、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 知识点 3 中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为，则． 考点一：两点式与截距式辨析 例1．（23-24高二上·河北邢台·月考）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确；故选：D. 【变式1-1】（2024高二·全国·专题练习）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【解析】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：.故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·四川宜宾·月考）（多选）下列说法中错误的是（   ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为 【答案】ABC 【解析】对于选项A，直线方程的截距式为，其中， 不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，故A错误； 对于选项B，直线方程的截距式为，其中， 而与不是直线的截距式方程，故B错误； 对于选项C，直线方程的斜截式包含在轴上的截距为0的情况， 而此类不能化为截距式，比如，故C错误； 对于选项D，直线方程的截距式为，其中， 、是直线在轴、轴上的截距， 所以在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为，故D正确.故选：ABC. 【变式1-3】（23-24高二上·江苏宿迁·月考）（多选）下列说法中错误的是（    ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 【答案】ABD 【解析】A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误； B：和的斜率有可能不存在，故B错误； C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果， 直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线， 但化为整式后就可以表示任意直线，故C正确； D：直线斜率不存在，则直线垂直于x轴； 直线斜率存在，但不一定为0，所以两直线不一定垂直，故D错误.故选：ABD. 考点二：直线的两点式方程 例2. （23-24高二上·宁夏银川·月考）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即．故选：A 【变式2-1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 【变式2-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 【答案】答案见解析 【解析】由题意可知，作出图形如图所示 直线过， 其两点式方程为，整理，得， 这就是边所在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为. 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为. 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标为，，，求它的对角线AC，BD所在直线的方程. 【答案】， 【解析】因为三个顶点的坐标为，，，设， 因为AC和BD的中点重合，所以，解得，所以， 所以对角线AC所在直线的斜率为，对角线BD所在直线的斜率为， 所以对角线AC所在直线的方程为，即， 对角线BD所在直线的方程为，即. 考点三：直线的截距式方程 例3. （23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【解析】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为.故选：A. 【变式3-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）（多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得 所以或解得或 所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为， 由题可知，故直线方程为，D正确．故选：ACD 【变式3-2】（23-24高二上·云南昆明·月考）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意， 若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得， 此时直线方程为，符合题意； 即经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条故选：C. 【变式3-3】（23-24高二上·广东东莞·月考）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）依题意，直线的方程为：，即， 所以直线的截距式方程为. （2）由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为， 于是直线的方程为，即， 所以直线的截距式方程为. 考点四：直线与坐标轴围成图形的面积 例4. （23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得， 当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积.故选：B. 【变式4-1】（23-24高二上·广东揭阳·期中）（多选）直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 则，得，结合选项可知，满足题意.故选：AC. 【变式4-2】（23-24高二上·江苏徐州·月考）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为， 解得或满足题意， 将和分别代入， 解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条.故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或；；(2) 【解析】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为， 将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由可得，所以在轴上的截距为，故选：B 2．（22-23高二上·海南·期中）在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线在轴、轴上的截距分别是、3， 所以直线方程是，即．故选：C． 3．（23-24高二上·湖北黄石·月考）过点和点的直线的两点式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为所求直线过点和点，根据直线的两点式方程可得： 所求直线方程为.故选B. 4．（23-24高二上·天津南开·月考）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上，所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确.故选：C. 5．（22-23高二上·四川成都·期中）过点 ​且横、纵截距相等的直线其条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因直线过点 ​，且横、纵截距相等，当此直线过原点时，直线方程为， 当此直线不过原点时，设其方程为， 则有，解得，即直线方程为， 所以过点 ​且横、纵截距相等的直线方程为或，共2条.故选：B 6．（23-24高二上·黑龙江大庆·月考）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知直线经过第一、二、三象限，则直线在轴上的截距，在轴上的截距， 由直线的斜率小于1，可知，结合可得， 对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误， 对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误， 对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误， 对于D，，，则，故选项D正确.故选：D 二、多选题 7．（23-24高二上·江苏无锡·期中）直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（    ） A． B．1 C．3 D．0 【答案】ACD 【解析】当直线过原点时，设直线方程为，则，解得，此时在轴上的截距为； 当直线不过原点且截距相同，设直线方程为，则，解得， 此时在轴上的截距为； 当直线不过原点且截距相反，设直线方程为，则，解得， 此时在轴上的截距为； 综上所述：截距可能为.故选：ACD 8．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（    ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【答案】ABC 【解析】对于A，直线方程的截距式为，其中， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误； 对于B，，，都不是直线的截距式方程，B错误； 对于C，直线方程的斜截式，不能化为截距式方程，C错误； 对于D，在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为，D正确．故选：ABC. 三、填空题 9．（23-24高二上·广东广州·期中）若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【答案】 【解析】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0， 设直线方程为， 又线段AB的中点为，则，即 则直线方程为，即. 10．（23-24高二上·山东泰安·月考）已知直线l过点，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是 ． 【答案】或 【解析】若直线在坐标轴上的截距都是0，则由点在l上，得其方程为； 若直线在坐标轴上的截距不为0，可设其方程为， 将点代入可得，所以l的方程是. 11．（23-24高二上·山西文水·月考）经过点，的直线在轴上的截距为 ． 【答案】27 【解析】经过两点和的直线方程为， 即，令，得. 四、解答题 12．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得，所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 13．（23-24高二上·福建福州·月考）已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4． (1)若直线的斜率为2，求实数m的值； (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程． 【答案】(1)；(2)面积的最大值为2， 直线方程为 【解析】（1）依题意知，直线在x，y轴上的截距都存在且不为0， 设直线的方程为（且）， 令，可得，令，可得， 即直线经过点，， 所以直线的斜率为，解得； （2）设直线的方程为（且）， 由直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， 可得，解得， 又由，， 可得， 当时，取得最大值2， 此时直线方程为，即. 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