精品解析：云南玉溪市2025-2026学年下学期期末考试试卷八年级数学

2025—2026学年下学期期末考试试卷 八年级 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，先确定每组的最大边，再计算两条较小边的平方和，验证是否等于最大边的平方，即可得出结论． 【详解】解：对于选项A，三个数为，，，最大边为，，这组数能作为直角三角形的三边长； 对于选项B，最大边为，，，，这组数不能作为直角三角形的三边长； 对于选项C，最大边为，，，，这组数不能作为直角三角形的三边长； 对于选项D，最大边为，，，，这组数不能作为直角三角形的三边长． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不符合要求； ∵，被开方数含分母，∴B不符合要求； ∵，被开方数含分母，∴C不符合要求； ∵同时满足两个判定条件，∴D符合要求． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据二次根式的运算规则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A∵与不是同类二次根式，无法合并，∴A计算错误； 选项B根据二次根式乘法法则，得，∴B计算正确； 选项C∵，∴C计算错误； 选项D∵，∴D计算错误． 4. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握边形内角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 5. 正比例函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，只需根据正比例函数（）中比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过第二、四象限． 6. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 7. 如图是某小组同学一周内学习用品日花费（单位：元）的箱线图，通过该图无法确定这组数据的（ ） A. 最大值、最小值 B. 中位数 C. 上四分位数、下四分位数 D. 平均数 【答案】D 【解析】 【详解】解：箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个统计量绘制而成，无法直接反映数据的平均数． 8. 二十四节气是我国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长；当冬至时，白昼时长最短．某地区一年中部分节气所对应的白昼时长示意图如图所示．下列节气中白昼时长未超过11个小时的是（ ） A. 惊蛰 B. 小暑 C. 秋分 D. 立冬 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，白昼时长未超过11个小时的是立春、立冬、冬至、大寒，选项中只有选项D符合题意． 9. 勾股定理在我国古代被称为“商高定理”，最早记载于《周髀算经》中，古人常通过直角三角形三边上的正方形面积关系来验证勾股定理．如图，所有四边形都是正方形，三角形为直角三角形，若正方形的面积为9．正方形的面积为25，则正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形的面积加正方形的面积等于正方形的面积，即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为b，正方形的边长为c，正方形的边长为a， 三角形为直角三角形， ，即， ，即正方形的面积为16． 10. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 C. 顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定与性质，以及中点四边形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，说法正确，不符合题意； B、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，是菱形的基本性质，说法正确，不符合题意； C、顺次连接四边形各边中点，根据三角形中位线定理，所得四边形的对边平行且相等，因此是平行四边形，说法正确，不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是正方形，因此说法错误，符合题意． 11. 随着“双减”政策落地和云南省校园体育活动的深入推进，各地学校都在大力开展阳光体育活动．某校为选拔学生参加市级中小学生田径运动会，组织甲、乙、丙、丁四位同学进行了为期一周的封闭训练，并开展五次跳远测试．已知四人跳远成绩的平均分相同，方差分别为，，，．若优先选择发挥最稳定的学生参赛，应选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的统计意义，当数据平均分相同时，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，比较四人方差大小即可得到结果． 【详解】解：∵方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，且四人跳远成绩的平均分相同， 又∵， ∴甲的方差最小，发挥最稳定，应选甲． 12. 我国“奋斗者”号全海深载人潜水器下潜时，随着下潜深度的增加，潜水器所受到的海水压强会不断增大．在这一过程中，自变量是（ ） A. 下潜时间 B. 潜水器的体积 C. 下潜深度 D. 海水压强 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数中自变量的概念，在变化过程中，主动发生变化的量为自变量，随之发生变化的量为因变量，根据题意判断即可． 【详解】解：∵由题意可知，海水压强随着下潜深度的增加而增大， ∴下潜深度是主动变化的量，海水压强随下潜深度的变化而变化， 因此自变量是下潜深度，故选C． 13. 在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形， 则斜边， 故选A． 14. 如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可得四边形为菱形，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 四边形为菱形， ， ． 15. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，已知直线（）与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把点代入直线求出m的值，确定交点坐标，再根据两条直线的交点坐标即为由这两条直线解析式组成的二元一次方程组的解即可得出答案． 【详解】解：把点代入， 可得， 解得， 则直线（）与直线相交于点， 所以关于，的二元一次方程组的解是． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，二次根式在实数范围内有意义，要求被开方数为非负数，因此可得． 17. 一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是__________．（填“”，“”或“”） 【答案】< 【解析】 【分析】根据一次函数的性质判断函数的增减性，结合两点横坐标的大小即可推出函数值的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而增大． 点，，满足， ． 18. 如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，由三角形中位线定理可得． 【详解】解：在矩形中，， 点，分别为，的中点， ， ． 19. 为传承和弘扬聂耳精神，玉溪市某学校开展了“聂耳故里少年说”主题演讲活动．为展示参赛选手的综合表现能力，参赛选手的最终成绩以“形象风貌、语言表达、内容呈现”三项得分按的权重计算．若小李三项得分分别为80分，90分，95分，则小李的最终成绩为__________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算．解题思路是根据三项得分的权重，结合小李的三项得分，利用加权平均数的计算方法求出最终成绩． 【详解】解：由题意可得，权重总和为． 小李的最终成绩为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分） 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数乘方．零指数幂．绝对值的运算性质以及二次根式的化简．解题思路是分别计算原式中每一项的值．再合并同类项得到最终结果． 【详解】解： 21. 已知一次函数，我们可以通过表格与图象深入研究它的性质． （1）补全下列表格，并在图中画出这个函数的图象； … 1 … … 3 2 0 … （2）结合画出的函数图象，写出当时，的取值范围是__________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把函数值代入函数解析式，求出相应的自变量的值，描点，连线画出函数图象即可； （2）直接利用图象法得出时，的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据函数图象可得：当时，的取值范围是． 22. 运算能力是数学学科的核心素养之一，它既是解决生活实际问题的必备技能，也是学生理解数学概念、解决数学问题的重要基础．为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次考试中第20题计算题（满分为10分）的得分情况进行了调查．现分别从A，B两班随机各抽取10名学生的成绩，绘制了如下图表．其中，如图是A班10名学生的成绩统计图，如表是A，B两班10名学生的成绩统计表，B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，7，7，8，8，9，9，9，9，9． A，B两班10名学生的成绩统计表 A班 B班 平均数 8.2 8.2 中位数 8.5 众数 8 根据以上信息，解答下列问题． （1）直接写出表中，的值：__________，__________； （2）若某同学说：“我这次计算题得了8.5分，位于班级中等偏上水平”，由此可判断他是这两个班中__________班的学生； （3）根据以上数据，你认为A，B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）， （2）A （3）B班计算题掌握得更好，理由：两班平均分相同，但B班的中位数（）高于A班的中位数（），说明B班半数以上学生的成绩不低于分，整体中等水平更优，成绩分布更集中稳定（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）将A班10名学生成绩从小到大排序，取第5、6个数据的平均数得到中位数；统计B班各分数的出现次数，出现次数最多的分数即为众数； （2）中等偏上水平代表成绩大于班级中位数，对比两班中位数，大于A班中位数、等于B班中位数，据此即可判断学生所属班级； （3）两班平均分相同，对比中位数指标，B班中位数更高，说明B班半数以上学生成绩不低于8.5分，整体中等水平更优，因此B班计算题掌握得更好． 【小问1详解】 解：A班10名学生成绩从小到大排列为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10； 中位数为第5、6个数的平均数，即； B班成绩中，9分出现次数最多（共5次），因此众数； 【小问2详解】 解：该同学成绩分，处于班级中等偏上水平，说明分大于班级中位数， A班中位数为8，，符合“中等偏上”； B班中位数为，，属于中等水平； ∴他是A班的学生； 【小问3详解】 略 23. 在物理实验课上，老师准备了一套单摆装置，细绳上端固定点被保护壳遮挡，无法直接用刻度尺测量细绳长度． 小华在实验过程中观察到，单摆在往复摆动时细绳长度始终保持不变，据此他打算利用数学知识构造直角三角形，借助勾股定理计算出细绳的实际长度． 【实践发现】 （1）结合实际测量数据，构建出如图所示的几何图形．细绳上端固定点为点，将小球拉至一侧合适位置，使细绳始终保持拉直状态，标记此时小球位置为点，小球自然下垂的静止位置记为点，过点作，垂足为点（图中的，，，在同一平面内）．通过测量得到以下数据：小球静止点与垂足之间的距离；小球在点时，到竖直直线的垂直距离．设细绳的长度，则线段__________．（用含的代数式表示） 【问题解决】 （2）请结合上述建模过程，利用勾股定理列方程，求出细绳的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的长为，则，根据，即可求解． （2）建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：设的长为，则， ， ， 【小问2详解】 ，， 中，，即， 解得， 答：细绳的长度为． 24. 如图，在中，，点是斜边上的中点，过点，分别作，，与相交于点，连接，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为，且，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是斜边上的中点， ∴， ∴四边形是菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再利用中点定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可完成证明； （2）先结合三角形周长与、的和求出斜边长，借助勾股定理与完全平方公式整体代换算出，由三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形得到，由平行四边形对角线把平行四边形分成两个全等三角形可知菱形面积为面积的两倍，即可求出四边形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的周长为， ∴， ∴， ∵点是上的中点， ∴， 设，， 在中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵点是上的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 25. 根据以下信息，按要求完成下列任务． 背景 为推进玉溪市“大抓产业、主攻工业”战略实施，某投资公司计划采购光伏支架智能生产设备和智能分拣机器人两种设备，助力本地产业发展． 素材1 采购2台光伏支架智能生产设备和3台智能分拣机器人共需680万元；采购3台光伏支架智能生产设备和2台智能分拣机器人共需720万元． 素材2 公司计划采购这两种设备共20台，且采购光伏支架智能生产设备的数量不超过智能分拣机器人数量的，同时要求光伏支架智能生产设备至少采购3台． 请完成以下任务： （1）任务1：求每台光伏支架智能生产设备和每台智能分拣机器人的单价分别是多少万元？ （2）任务2：给出最节省采购费用的方案，并计算最低采购费用． 【答案】（1）每台光伏支架智能生产设备单价为160万元，每台智能分拣机器人单价为120万元 （2）最节省采购费用的方案是采购光伏支架智能生产设备3台，智能分拣机器人17台，最低采购费用为2520万元 【解析】 【分析】（1）设两种设备的单价为未知数，根据两种采购方案的总费用列出二元一次方程组，求解得到单价． （2）设光伏支架智能生产设备的采购数量，根据题干的数量限制列出不等式组得到自变量的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性求出最低费用，得到最节省的采购方案． 【小问1详解】 解：设每台光伏支架智能生产设备单价为万元，每台智能分拣机器人单价为万元． 根据题意得 解得 答：每台光伏支架智能生产设备单价为160万元，每台智能分拣机器人单价为120万元． 【小问2详解】 解：设采购光伏支架智能生产设备台，则采购智能分拣机器人台，总采购费用为万元． 根据题意得 解不等式组得．为正整数． 根据题意得 ∵ ∴随的增大而增大 ∴当时，取得最小值，最小值为（万元）． 此时，满足条件． 答：最节省采购费用的方案是采购光伏支架智能生产设备3台，智能分拣机器人17台，最低采购费用为2520万元． 26. 已知一次函数（）的图象经过点． （1）求的值； （2）若，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入即可解答； （2）根据题意可得，可得，再代入原式进行变形，计算即可解答． 【小问1详解】 解：把代入， 可得， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 两边平方可得， 即， 原式 ． 27. 如图，四边形是正方形，，分别在线段，上，，与对角线相交于点，过点作，，垂足分别为点和点，连接，． （1）若正方形边长为6，，则四边形的面积为__________； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，有，，是否存在常数，使得等式成立？若存在，请直接写出一个的值，并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：如图所示，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形； ∵是正方形的对角线， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质求出的面积，再利用的面积等于和的面积和求出的长度，从而求出四边形的面积； （2）延长交于点，利用正方形的性质与矩形的性质与判定证得，再证得，从而证得答案； （3）根据半角模型，将绕点顺时针旋转，证得，得到，由（2）知，，利用勾股定理和等量代换求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴， 又∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图所示，将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， 又∵， ∴三点共线； ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 在和中， ， 由（2）知，，， ∵， ∴， ， ， ， 即， 又∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期末考试试卷 八年级 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 5. 正比例函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 6. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图是某小组同学一周内学习用品日花费（单位：元）的箱线图，通过该图无法确定这组数据的（ ） A. 最大值、最小值 B. 中位数 C. 上四分位数、下四分位数 D. 平均数 8. 二十四节气是我国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长；当冬至时，白昼时长最短．某地区一年中部分节气所对应的白昼时长示意图如图所示．下列节气中白昼时长未超过11个小时的是（ ） A. 惊蛰 B. 小暑 C. 秋分 D. 立冬 9. 勾股定理在我国古代被称为“商高定理”，最早记载于《周髀算经》中，古人常通过直角三角形三边上的正方形面积关系来验证勾股定理．如图，所有四边形都是正方形，三角形为直角三角形，若正方形的面积为9．正方形的面积为25，则正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 34 10. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 C. 顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 11. 随着“双减”政策落地和云南省校园体育活动的深入推进，各地学校都在大力开展阳光体育活动．某校为选拔学生参加市级中小学生田径运动会，组织甲、乙、丙、丁四位同学进行了为期一周的封闭训练，并开展五次跳远测试．已知四人跳远成绩的平均分相同，方差分别为，，，．若优先选择发挥最稳定的学生参赛，应选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 12. 我国“奋斗者”号全海深载人潜水器下潜时，随着下潜深度的增加，潜水器所受到的海水压强会不断增大．在这一过程中，自变量是（ ） A. 下潜时间 B. 潜水器的体积 C. 下潜深度 D. 海水压强 13. 在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（ ） A. B. C. D. 15. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，已知直线（）与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 17. 一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是__________．（填“”，“”或“”） 18. 如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为__________． 19. 为传承和弘扬聂耳精神，玉溪市某学校开展了“聂耳故里少年说”主题演讲活动．为展示参赛选手的综合表现能力，参赛选手的最终成绩以“形象风貌、语言表达、内容呈现”三项得分按的权重计算．若小李三项得分分别为80分，90分，95分，则小李的最终成绩为__________分． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分） 20. 计算： 21. 已知一次函数，我们可以通过表格与图象深入研究它的性质． （1）补全下列表格，并在图中画出这个函数的图象； … 1 … … 3 2 0 … （2）结合画出的函数图象，写出当时，的取值范围是__________． 22. 运算能力是数学学科的核心素养之一，它既是解决生活实际问题的必备技能，也是学生理解数学概念、解决数学问题的重要基础．为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次考试中第20题计算题（满分为10分）的得分情况进行了调查．现分别从A，B两班随机各抽取10名学生的成绩，绘制了如下图表．其中，如图是A班10名学生的成绩统计图，如表是A，B两班10名学生的成绩统计表，B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，7，7，8，8，9，9，9，9，9． A，B两班10名学生的成绩统计表 A班 B班 平均数 8.2 8.2 中位数 8.5 众数 8 根据以上信息，解答下列问题． （1）直接写出表中，的值：__________，__________； （2）若某同学说：“我这次计算题得了8.5分，位于班级中等偏上水平”，由此可判断他是这两个班中__________班的学生； （3）根据以上数据，你认为A，B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）． 23. 在物理实验课上，老师准备了一套单摆装置，细绳上端固定点被保护壳遮挡，无法直接用刻度尺测量细绳长度． 小华在实验过程中观察到，单摆在往复摆动时细绳长度始终保持不变，据此他打算利用数学知识构造直角三角形，借助勾股定理计算出细绳的实际长度． 【实践发现】 （1）结合实际测量数据，构建出如图所示的几何图形．细绳上端固定点为点，将小球拉至一侧合适位置，使细绳始终保持拉直状态，标记此时小球位置为点，小球自然下垂的静止位置记为点，过点作，垂足为点（图中的，，，在同一平面内）．通过测量得到以下数据：小球静止点与垂足之间的距离；小球在点时，到竖直直线的垂直距离．设细绳的长度，则线段__________．（用含的代数式表示） 【问题解决】 （2）请结合上述建模过程，利用勾股定理列方程，求出细绳的长度． 24. 如图，在中，，点是斜边上的中点，过点，分别作，，与相交于点，连接，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为，且，求四边形的面积． 25. 根据以下信息，按要求完成下列任务． 背景 为推进玉溪市“大抓产业、主攻工业”战略实施，某投资公司计划采购光伏支架智能生产设备和智能分拣机器人两种设备，助力本地产业发展． 素材1 采购2台光伏支架智能生产设备和3台智能分拣机器人共需680万元；采购3台光伏支架智能生产设备和2台智能分拣机器人共需720万元． 素材2 公司计划采购这两种设备共20台，且采购光伏支架智能生产设备的数量不超过智能分拣机器人数量的，同时要求光伏支架智能生产设备至少采购3台． 请完成以下任务： （1）任务1：求每台光伏支架智能生产设备和每台智能分拣机器人的单价分别是多少万元？ （2）任务2：给出最节省采购费用的方案，并计算最低采购费用． 26. 已知一次函数（）的图象经过点． （1）求的值； （2）若，求代数式的值． 27. 如图，四边形是正方形，，分别在线段，上，，与对角线相交于点，过点作，，垂足分别为点和点，连接，． （1）若正方形边长为6，，则四边形的面积为__________； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，有，，是否存在常数，使得等式成立？若存在，请直接写出一个的值，并证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $