江苏省如皋中学2025-2026学年高二下学期数学周考7

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，融合植树概率、蝗虫生态等现实情境，通过梯度化问题设计适配周测，强化逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数、组合数、立体几何|基础概念辨析，如第3题线面关系判定| |多项选择|3/18|概率、立体几何、导数|多维度能力考查，如第11题导数极值综合分析| |填空题|3/15|复数模、正态分布、三棱锥体积|空间想象与计算结合，第14题动态体积最值| |解答题|5/77|立体几何证明、概率递推、回归分析、导数应用|情境化综合探究，如17题蝗虫产卵回归与概率决策，19题导数零点讨论|

如皋中学高二数学滚动练习7 时间:120分钟 总分:150分 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上。 1.已知复数满足,则的虚部为( ) A. B. C.1 D.2 2.已知,则( ) A.11 B.12 C.13 D.14 3.已知是两条直线,是两个平面.下列命题正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 4.若命题“,使得”是假命题,则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.某4位同学排成一排准备照相时,又来了3位同学要加入,如果保持原来4位同学的相对顺序不变,则不同的加入方法种数为( ) A.150 B.160 C.180 D.210 6.如图,在三中,,二面角的余弦值为,则的长为( ) A.1 B.2 C. D. 7.正三棱柱的底面边长为,高为,为上的点,,平面将该棱柱截成两个几何体,那么小的几何体与大的几何体的体积比值为( ) A. B. C. D. 8.已知,则它们之间的大小关系是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 9.已知随机事件满足,,,,则( ) A. B.事件相互独立 C. D.若,则 10.如图,在四棱锥中,平面,底面是平行四边形,,为的中点,则( ) A.平面 B.平面平面 C.三棱锥的体积为 D.异面直线和所成的角为 11.已知函数,,则下列说法正确的有( ) A.当时,曲线在点处的切线方程为 B.对任意,在定义域内恒有两个极值点 C.若在处取得极值,则的极大值为 D.若在上的最小值为,则 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知且,则的最大值是_. 13.已知随机变量,且,则展开式中各项系数之和为_. 14.在三棱锥中,,,且直线与平面所成的角为.若,则长度的取值范围为_.当变化时,三棱锥体积的最大值为_. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程. 15.(13分)如图,在三棱台中,,, ,,分别为的中点,且 (1)证明:平面; (2)证明:平面平面; 16.(15分)2026年3月12日植树节,老师安排同学们去种植桃树和梨树,小明选择种植第一棵树是桃树的概率为,选择种植第一棵树是梨树的概率为,如果小明第一棵选择种植桃树,那么第二棵选择种植桃树的概率为,如果小明第一棵选择种植梨树,那么第二棵选择种植桃树的概率为,设小明第棵选择种植桃树的概率为. (1)已知小明第2棵选择种植桃树,求他第1棵也选择种植桃树的概率. (2)求的通项公式. 17.(15分)蝗虫会对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集到一只蝗虫的产卵数(单位:个)和温度(单位:)的8组观测数据,制成图1所示的散点图.现用两种模型:①,②分别进行拟合,由此得到相应的回归方程并进行残差分析,进一步得到图2所示的残差图. 整理收集到的数据,得到下表: 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中, (1)根据残差图,模型 (填“①”或“②”)的拟合效果更好,说明理由.根据所选的模型,利用上表中的数据,求出关于的回归方程. (2)据统计,该地福佑崇文阁每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为,该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率; ②当取最大值时,设该地今后5年需要人工防治的次数为,求的均值和方差. 18.(17分)如图,在以顶点的五面体中,四边形是矩形,平面平面,. (1)证明:平面; (2)已知二面角是,,点到平面的距离为. ①求; ②在棱上是否存在一点,使得二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 19.(17分)设函数. (1)求的图象在处的切线方程; (2)记,若,试讨论在上的零点个数.