江苏如皋中学2025-2026学年度高二下学期数学周末练习2

如皋中学高二数学练习2 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．若随机变量服从两点分布，其中，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有一个空盒的放法种数为（    ） A．30 B．36 C．42 D．60 6．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是（   ） A． B． C． D． 7．若随机变量服从两点分布，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 8．设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（   ） A． B． C． D． 二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 9．下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 10．若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知事件A，B，且，，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若随机变量X服从参数为p的两点分布，则________． 13．甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有______种． 14．袋中有2个不同的红球和3个不同的白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回袋中；若取出白球，则放回袋中.连续取3次球,袋中还有2个红球的概率为______；若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率为______． . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 16．（15分）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 17．（15分）如图，在正三棱柱中，D是棱AC的中点，． (1)证明：平面． (2)求直线BD与平面所成角的正弦值． 18．（17分）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 19．（17分）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作，的数学期望记为． (1)求随机变量，的分布列； (2)设． （i）用含的式子表示； （ii）证明是等比数列，并求． 如皋中学高二数学练习2 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求解即可. 【详解】因为. 故选：A． 2．若随机变量服从两点分布，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点分布的方差公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，， 所以， 所以， 所以， 故选：B 3．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 4．若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【详解】的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为，， 由题意得，所以. 5．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有一个空盒的放法种数为（    ） A．30 B．36 C．42 D．60 【答案】C 【分析】按照分步乘法与分类加法原理，先分盒子再分球计算可得. 【详解】先选一个空盒子，有种， 再将四个球分组，第一组分为一、三个球，有种；第二组分为两两一组，有种； 然后放入盒子中，共有种. 故选：C. 6．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量，直接求出的概率，由加法公式求解；方法二：先求出至多有1个白球的概率，间接法求解. 【详解】方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量，则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则． 故至少有2个白球的概率为． 方法二：设“至少有2个白球”，则“至多有1个白球”， 所以． 故选：D 7．若随机变量服从两点分布，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】服从两点分布，设成功的概率为，则可得，，其中， （当且仅当，即时取等号）， 的最大值为． 故选：D. 8．设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 由题意，在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是， 则， 即，解得，即. 二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 9．下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 【答案】BCD 【分析】利用互斥事件，相互独立事件同时发生乘法公式，条件概率公式来进行判断即可. 【详解】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，对于古典概型，若，则事件与互斥，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，则， 所以，故与独立，即事件与独立，D对． 故选：BCD． 10．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】变形给定的等式，再利用赋值法逐项分析计算. 【详解】原等式化为： 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，则，B正确； 对于C，取，得，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 11．已知事件A，B，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，由条件概率公式，乘法公式以及全概率公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以，故A正确； 因为，故B正确； 因为，， 所以，故D错误； 因为，， 因为，故C正确； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若随机变量X服从参数为p的两点分布，则________． 【答案】 【分析】利用两点分布的期望公式求解即可. 【详解】由两点分布的性质得两点分布的期望. 故答案为： 13．甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有______种． 【答案】8 【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根据计数原理计算即可. 【详解】先安排甲、乙，有种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有种方法； 又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有种方法； 所以不同的排法共有（种）排法. 故答案为：8 14．袋中有2个不同的红球和3个不同的白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回袋中；若取出白球，则放回袋中.连续取3次球,袋中还有2个红球的概率为______；若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率为______． 【答案】 【分析】先设事件，再应用独立事件概率乘积公式得出，再应用概率乘法公式及互斥事件概率和公式得出，最后应用条件概率公式计算求解. 【详解】记“第次取出白球为事件”，“第次取出红球为事件”， “连续取球3次，袋中还有2个红球为事件”， “连续取球3次，袋中还有1个红球为事件”， 事件的发生，意味着三次取球中三次取到白球， ； 事件的发生，意味着三次取球中有且仅有一次取到红球，该次可能是第一次、第二次或第三次，这三种情况互斥， 则， 因为， ， ， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 【答案】(1)0.7 (2)0.4 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）由贝叶斯公式求解． 【详解】（1）设“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”， “月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”， “用户购买的是低价位的S型新能源汽车”， “用户对S型新能源汽车满意”， 则，，两两互斥，且，，， ，，， 由全概率公式得 ． （2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，发生的概率， 16．（15分）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）易知随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，， 随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为. 17．（15分）如图，在正三棱柱中，D是棱AC的中点，． (1)证明：平面． (2)求直线BD与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，进而利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为是正三棱柱，D是AC的中点， 所以，易得平面ABC，平面ABC， 所以，因为平面， 所以平面． （2）取BC的中点O，的中点M，连接AO，OM， 易得，而平面ABC，则平面ABC，而， 以O为坐标原点，以OB，OM，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线BD与平面所成的角为， 则， 故直线BD与平面所成角的正弦值为． 18．（17分）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 19．（17分）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作，的数学期望记为． (1)求随机变量，的分布列； (2)设． （i）用含的式子表示； （ii）证明是等比数列，并求． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析， 【分析】（1）按照分布列的步骤进行求解即可； （2）（i）利用条件概率及全概率公式即可求解； （ii）利用（i）中的结论及可得到递推公式，再利用构造法即可得证，进而求出. 【详解】（1）根据题意的可能取值为， 即一次摸球摸到白球，， 即一次摸球摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 根据题意的可能取值为，   即二次摸球均摸到白球，， 即二次摸球恰好摸到一白一黑球，， 即二次摸球均摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 6 （2）（i）设第次摸球摸到黑球为事件， 则，     ，     ，     所以．     （ii）由（i）及得， ，   所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，     所以，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $