江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习(二) 高二数学

**基本信息** 江苏省如皋中学高二数学综合练习覆盖导数应用、概率统计、立体几何等核心知识，以“投篮概率”“就餐统计”等现实情境设计问题，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配月考对基础巩固与能力提升的检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数平均变化率、排列组合、线性回归|题7以投篮终止条件考查离散型随机变量期望，体现数学思维的逻辑性| |多选|3/18|二项分布、函数零点性质|题11结合三次函数零点讨论参数范围，培养数学眼光的抽象能力| |填空|3/15|组合数计算、函数最值、条件概率|题14以新旧球使用为情境，考查数学语言表达现实问题的能力| |解答|5/77|导数极值、独立性检验、立体几何、概率分布|题18通过学生就餐统计分析分布列与期望，强化数学建模与数据应用意识|

江苏省如皋中学 2025-2026 学年度第二学期综合练习(二) 高二数学 命题人：曹春茂 审核人：钱如美 一、单项选择题 :本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 ．函数y = x2 +1在区间[1, 3] 上的平均变化率是 ( ) A ．2 B ．4 C ． -2 D ． -4 2 ．若把英语单词“ math ” 的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 ( ) A ．24 种 B ．23 种 C ．12 种 D ．11 种 3 ．函数f(x ) = (x2 - 2x )ex 的图象大致是 ( ) 试卷第 1页，共 5页 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 4 ．已知变量x 和y 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 = 2.8x + ，则 ( ) x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A ．经验回归直线必过点(3.5, 7.5 ) B ． = 1.8 C ．当x = 6 时，预测值 = 14 D ．当x = 2 时，样本点对应的残差为0.2 5 ．对于事件 A ，B ， P P (B A) = ，P (AU B) = 1 ，则P(B ) = ( ) 7 1 3 2 A ． B ． C ． D ． 10 2 5 5 6．已知函数f, (x ) 是函数f(x) 的导函数，f 对任意实数 x 都有f(x)-f,(x) > 0 ，则不等式f(x) < ex-2的解集为 ( ) A ． (-∞,1) B ． (1, + ∞ ) C ． (1, e) D ． (e, + ∞ ) 7 ．某同学每次投篮命中的概率为0.8 ，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为 ( ) 试卷第 2页，共 5页 学科网（北京）股份有限公司 A ．4 B． 45 C ．3 D． 16 5 2 8 ．已知正四棱锥的侧棱长为33 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ( ) A ．1 B ． 3 C ．2 D ．3 二、多项选择题 :本题共 3 小题，每小题6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9 ．下列结论正确的是 ( ) A ．随机变量X 服从二项分布B Y = 2X +1 ，则D(Y ) = 3 B ．相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C ．在线性回归分析中，若 R2 值越少则模型的拟合效果越好 D ．随机变量X 服从正态分布N(5, σ 2) ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则P a 11．已知f(x) = x3 _3x2 _9x + m ，且函数有三个零点 x1 ， x2 ， x3 （ x1 < x2 < x3 ）．下列命题正确的是 ( ) A ．实数 m 的取值范围是(4, 27 ) B ． Vx ∈R, f (x ) + f (2 _ x ) = 2m _ 22 C ． (x1 _ x3)2 取值范围是(36, 48) D ． x1x3 取值范围是 三、填空题 :本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12 ．若C12 (m) = C12 (m)_2 ，则C2 (2) + C3 (2) + C4 (2) + + Cm (2) = （用数字作答） 13 ．若函数f x2 在区间(2a _ 5, a +1) 内有最小值，则实数a 的取值范围是 ． 14 ．已知某盒中装有 6 个大小、质地一致的乒乓球，其中有 4 个新球（从未被使用过）2 个旧球，第一次比赛时从此盒中任取 2 个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取 2 个球使用. （i）第二次比赛时取出的 2 个球都是新球的概率为 ； （ii）在第一次比赛时取出2 个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出的 2 个球都是新球 的概率为 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 ．(本小题满分 15 分)已知f x2 -6 x在x = 2 处取得极值. (1)求实数 a 的值； (2)求f(x) 在[-4,3]上的最值. 16．(本小题满分 13 分)福佑崇文阁为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 48 人进行了问卷调查，得到了如下2× 2的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 2 已知在全班 48 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 ． 3 (1)能否在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； (2)现从女生中抽取 2 人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求 X的分布列与均值．附 x n = a + b + c + d ． α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 17．(本小题满分 15 分)如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 丄 平面 ABCD ，PA = AB = 2 ， BC = 3 ， E 为AD 的中点. (1)证明：平面PAD 丄 平面PAB ； (2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值. 18．(本小题满分 17 分)某校有 A，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近 100 天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） (A, A) (A, B) (B, A) (B, B) 甲 30 天 23 天 37 天 10 天 乙 20 天 22 天 18 天 40 天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记X为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求 X 的分布列和数学期望E(X )； (2)设乙在 9 天中有 k 天的午餐和晚餐都选择 B 餐厅就餐的概率为Pk ，当Pk 取最大值时，求 k 的值； (3)假设 M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去 A 餐厅就餐”，0 < P(M ) <1，0 < P(N) <1 ，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明： P (MN ) > P (M N ) . 19 ．(本小题满分 17 分)已知函数f(x ) = a (ex _ x )_ e__x _ x (a ∈ R ) ． (1)讨论f(x) 的极值； (2)求函数f(x)在[0, 2]上的最小值． 试卷第5页，共 5页 学科网（北京）股份有限公司 $