精品解析：云南文山州马关县第一中学校2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷

马关县第一中学2024年秋季学期高一年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知指数函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知不等式的解集为，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知幂函数是定义域上的偶函数，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 1 B. C. 9 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则使得成立的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则关于函数下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数的定义域为，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. 在上单调递增 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则符合条件的集合的个数为______. 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 14. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）求值： （2）已知：，求的值 16. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围. 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）在图中画出函数的图象，并写出函数的单调区间及值域. 18. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. （1）试用表示，并求的取值范围； （2）用表示广告牌的面积； （3）广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 19. 设函数. （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围； （3）若，且在上的最小值为，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2024年秋季学期高一年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的结果列出方程求解即得. 【详解】集合，而，则， 经验证符合题意，所以. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用量词命题否定的规则“改量词，否结论”即可得解. 【详解】因为量词命题否定的规则为“改量词，否结论”， 所以“，”的否定是，. 故选：A. 3. 对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格先求，再求的值. 【详解】由表格可得，， 所以. 故选：C. 4. 已知指数函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 5. 已知不等式的解集为，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的解集为，得到是方程的两个根，由根与系数的关系求出，即可得到答案． 【详解】由题意，是方程的两个根， ∴，，解得，， ∴. 故选：B． 6. 已知幂函数是定义域上的偶函数，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义，结合偶函数性质列式求出的值. 【详解】由条件得，解得或. 当时，是上的偶函数，符合题意； 当时，是上的奇函数，不符合题意，所以， 故选：B. 7. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数在每一段上的单调性求的取值范围，再根据函数在分段处的函数值确定的取值范围. 【详解】由题意：在上单调递减，所以， 又由. 所以的取值范围是：. 故选：D 8. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 1 B. C. 9 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式求出取得最大值时，进而代入，结合二次函数性质求解即可. 【详解】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则使得成立的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用充分条件的定义结合不等式的性质求解即可. 【详解】由，可得， 由，得，即， 则，即，即，故A，D正确；B，C错误. 故选：AD. 10. 已知函数，则关于函数下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由分母不为零求出函数的定义域可得A正确；分离常数后由函数的单调性可得B正确；分离常数可得C正确；由分式不等式的解法可得D错误； 【详解】对于A，已知函数，则的定义域为，故A正确； 对于B，又在和上单调递减，则在上单调递减，故B正确； 对于C，又函数，则，故C正确； 对于D，若，即，即，则，则D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数的定义域为，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. 在上单调递增 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别令和，得到，可判定A正确；由为奇函数，根据，可判定B错误；设，证得，得到在上单调递增，可判定C正确；由为奇函数，和，进而可判定D错误． 【详解】对于A，令，可得， 所以，令，得到， 即，所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为为奇函数，所以，故B错误； 对于C，设，取，可得， 又因为，所以，所以，即， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为为奇函数，所以， 所以， 又，则，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则符合条件的集合的个数为______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再利用给定的包含关系求出集合个数. 【详解】依题意，， 则符合条件的集合的个数为个. 故答案为：7 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可. 【详解】当时，，，不满足题意； 当时，,所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质，可以求出点，把点代入一次函数，得出，然后利用不等式的性质进行求解． 【详解】∵函数且的图象恒过定点，可得 ，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以 ，当且仅当时取得等号； 故答案为：4 【点睛】求得指数函数过定点是解决该题的关键．基本不等式最值注意“1”的妙用. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）求值： （2）已知：，求的值 【答案】（1）81 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求出； （2）根据指数幂的运算性质和完全平方公式即可求出. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以. 16. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解得集合，再利用集合的运算求出结果即可； （2）由条件可得B是A的真子集，再分与零的大小讨论即可； 【小问1详解】 若，则集合， 则或. 又集合， 所以或或. 【小问2详解】 集合，集合， 若“”是“”的必要不充分条件， 所以B是A的真子集. 当时，集合， 由B是A的真子集，可得，解得； 当时，集合， 由B是A的真子集，可得，解得； 当时，，不满足B是A的真子集. 综上，a的取值范围是或. 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）在图中画出函数的图象，并写出函数的单调区间及值域. 【答案】（1） （2）作图见解析，增区间为，无减区间，值域为或 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出函数的解析式. （2）作出的图象，然后根据图象写出的单调区间和值域. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以. 因为当时，， 所以当时，， 所以 【小问2详解】 函数的图象如图所示， 根据的图象知： 的单调增区间为； 值域为：或 18. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. （1）试用表示，并求的取值范围； （2）用表示广告牌的面积； （3）广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 【答案】（1） （2） （3）140cm 【解析】 【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可； （2）矩形面积公式写函数表达式； （3）运用换元，结合基本不等式解题即可. 【小问1详解】 每栏的高和宽分别为，其中两栏面积之和为：， 整理得，. 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 令， 则； 当时，取最小值为24500，此时； 答：当广告牌的高取140cm时，可使广告的面积S最小. 19. 设函数. （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围； （3）若，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）奇函数，减函数 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由定义域结合奇偶函数定义可判断的奇偶性，然后由指数函数的单调性可直接判断的单调性； （2）由（1）可得在上单调递减，据此可将不等式化为，据此可得答案； （3）由，可得，，令，则得，分，两种情况讨论可得答案. 【小问1详解】 ∵的定义域为，关于原点对称， 因，则为奇函数. ∵，∴函数在R上单调递减，函数在R上单调递减， 故是R上的减函数； 【小问2详解】 ∵，∴， 又，且，∴，故在上单调递减. 不等式可化为， 则得，即在上恒成立， ∴，解得. 【小问3详解】 ∵，∴，即，解得或（舍去）， ∴. 令，因均在R上递增，故为R上的增函数， ∵，∴. 令. 若，则，∴； 若时，，解得，不合题意. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $