2026-2027学年高一上学期2.1 等式性质与不等式性质讲义

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 一、学习目标 1. 掌握作差法比较实数大小的步骤； 1. 牢记不等式的基本性质，能熟练应用性质变形； 1. 能利用不等式性质解决简单的比较大小、求范围问题。 二、知识点精讲 1. 作差法比较大小： 步骤：① 作差：a - b；② 变形：因式分解、配方、通分等（化为能判断符号的形式）；③ 判断差的符号；④ 结论：差 > 0⇒a>b，差 = 0⇒a=b，差＜0⇒a＜b. 1. 比较实数a，b大小： ①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)； ②＝1(a≠0，b≠0)⇔a=b(a≠0，b≠0)； ③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0). 1. 等式基本性质： (1)对称性：a＝b⇔ b=a． (2)传递性：a＝b，b＝c⇒a=c． (3)可加（减）性：a＝b⇔a+c=b+c． (4)可乘性：a＝b⇒ac=bc． (5)可除性：a＝b，c≠0⇔ = ． 1. 不等式基本性质： 性质 内容 注意事项 ① 对称性 a > b ⇔ b < a 直接由定义推导，双向成立 ② 传递性 a > b，b > c ⇒ a > c 不可反向推导（a > c，b > c 不能推出 a > b） ③ 可加性 a > b ⇒ a + c > b + c 同加任意实数，不等号不变；推论：a > b，c > d ⇒ a + c > b + d（同向可加，异向不可加） ④ 可乘性 a > b，c > 0 ⇒ ac > bc；a > b，c < 0 ⇒ ac < bc 乘负数必须变号！无 c≠0 条件时不能乘，当a＞b > 0，c＞d > 0时有ac＞bd > 0，即同向同正可乘性 ⑤ 乘方性 a > b > 0 ⇒ aⁿ > bⁿ（n∈N⁺） 前提：a、b 均为正数，n 为正整数（例：-2 > -3，但 (-2)² ＜（-3）2 ⑥ 开方性 a > b > 0 ⇒ √ⁿa > √ⁿb（n∈N⁺，n≥2） 同乘方性，需 a、b 为正数 不等式变形禁忌： 不可随意相减：a > b，c > d ⇏ a - c > b - d（应转化为 a + (-c) > b + (-d)，但 - c 异向不可加）； 不可随意相除：a > b，c > d ⇏ >（需考虑除数正负）； 不可跨级传递：a > b，b ≥ c ⇒ a > c（正确），但 a ≥ b，b > c ⇒ a > c（正确），a ≥ b ≥ c ⇒ a ≥ c（正确）。 三、例题解析 例 1：比较 (x+1)(x+3) 与 (x+2)² 的大小 例 2：已知 a > b > 0，c＜0，求证： > 例 3：已知 - 1 < a＜ 1 ，1< b＜5 ，求： （1）a + b 的范围；（2）a - b 的范围；（3）2a + 3b 的范围。 四、当堂训练 1. 已知 a > b，c > d，判断下列命题是否成立： （1） a + c > b + d；（2）a - c > b - d；（3）ac > bd 1. 比较 (x-2)(x+4) 与 (x+1)² 的大小 1. 已知 1 ≤ a - b ≤ 2，2 ≤ a + b ≤ 4，求 4a - 2b 的范围 五、易错点总结 1. 作差法变形：未化为 “能直接判断符号” 的形式（如因式分解、完全平方），导致无法判断； 1. 乘除变形：忘记 “乘负数变号”，或无前提条件随意乘除； 1. 求范围：同向不等式不可直接相减，需先变号再相加；不可直接乘除含字母的式子（需判断正负）。 6、 课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列命题是假命题的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 2.若，，则(    ) A. B. C.                                          D. 3.“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，，，则下列结论正确的有(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 6.下列命题中，不正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 比较与的大小，其中． 已知，比较与的大小． 已知，，求证：． 8.本小题分 比较与的大小； 已知实数，满足，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 一、学习目标 1. 掌握作差法比较实数大小的步骤； 1. 牢记不等式的基本性质，能熟练应用性质变形； 1. 能利用不等式性质解决简单的比较大小、求范围问题。 二、知识点精讲 1. 作差法比较大小： 步骤：① 作差：a - b；② 变形：因式分解、配方、通分等（化为能判断符号的形式）；③ 判断差的符号；④ 结论：差 > 0⇒a>b，差 = 0⇒a=b，差＜0⇒a＜b. 1. 比较实数a，b大小： ①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)； ②＝1(a≠0，b≠0)⇔a=b(a≠0，b≠0)； ③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0). 1. 等式基本性质： (1)对称性：a＝b⇔ b=a． (2)传递性：a＝b，b＝c⇒a=c． (3)可加（减）性：a＝b⇔a+c=b+c． (4)可乘性：a＝b⇒ac=bc． (5)可除性：a＝b，c≠0⇔ = ． 1. 不等式基本性质： 性质 内容 注意事项 ① 对称性 a > b ⇔ b < a 直接由定义推导，双向成立 ② 传递性 a > b，b > c ⇒ a > c 不可反向推导（a > c，b > c 不能推出 a > b） ③ 可加性 a > b ⇒ a + c > b + c 同加任意实数，不等号不变；推论：a > b，c > d ⇒ a + c > b + d（同向可加，异向不可加） ④ 可乘性 a > b，c > 0 ⇒ ac > bc；a > b，c < 0 ⇒ ac < bc 乘负数必须变号！无 c≠0 条件时不能乘，当a＞b > 0，c＞d > 0时有ac＞bd > 0，即同向同正可乘性 ⑤ 乘方性 a > b > 0 ⇒ aⁿ > bⁿ（n∈N⁺） 前提：a、b 均为正数，n 为正整数（例：-2 > -3，但 (-2)² ＜（-3）2 ⑥ 开方性 a > b > 0 ⇒ √ⁿa > √ⁿb（n∈N⁺，n≥2） 同乘方性，需 a、b 为正数 不等式变形禁忌： 不可随意相减：a > b，c > d ⇏ a - c > b - d（应转化为 a + (-c) > b + (-d)，但 - c 异向不可加）； 不可随意相除：a > b，c > d ⇏ >（需考虑除数正负）； 不可跨级传递：a > b，b ≥ c ⇒ a > c（正确），但 a ≥ b，b > c ⇒ a > c（正确），a ≥ b ≥ c ⇒ a ≥ c（正确）。 三、例题解析 例 1：比较 (x+1)(x+3) 与 (x+2)² 的大小 解： 作差：(x+1)(x+3) - (x+2)² = (x²+4x+3) - (x²+4x+4) = -1 故 (x+1)(x+3)＜（x +2)²。 例 2：已知 a > b > 0，c＜0，求证： > 证明： ∵ a > b > 0 ⇒0＜ ＜（倒数大的反而小）； 又 c <0，两边乘负数 c，不等号变向 ⇒ > . 例 3：已知 - 1 < a＜ 1 ，1< b＜5 ，求： （1）a + b 的范围；（2）a - b 的范围；（3）2a + 3b 的范围。 解： 已知：-1 < a < 1，1 < b < 5 （1）求a+b的范围 同向不等式可以相加，左右分别相加： -1 + 1 < a + b < 1 + 5 计算得：0 < a + b < 6 （2）求a-b的范围 先对b变形，1 < b < 5，各项乘-1，不等号反向： -5 < -b < -1 再与 -1 < a < 1 相加： -1 + (-5) < a - b < 1 + (-1) 计算得：-6 < a - b < 0 （3）求2a+3b的范围 第一步：-1 < a < 1，同乘2 -2 < 2a < 2 第二步：1 < b < 5，同乘3 3 < 3b < 15 两式相加：-2 + 3 < 2a + 3b < 2 + 15 计算得：1 < 2a + 3b < 17 最终结论 （1）0 < a + b < 6 （2）-6 < a - b < 0 （3）1 < 2a + 3b < 17 四、当堂训练 1. 已知 a > b，c > d，判断下列命题是否成立： （1） a + c > b + d；（2）a - c > b - d；（3）ac > bd 解：（1）成立 依据不等式性质：同向不等式可以相加，不等号方向不变。 （2）不成立 举反例：设a=3，b=1，c=4，d=0 a-c=3-4=-1，b-d=1-0=1，-1<1，不满足a-c>b-d。 （3）不成立 举反例：设a=1，b=-2，c=-1，d=-3 ，ac=1×(-1)=-1，bd=(-2)×(-3)=6，-1<6，不满足ac>bd。 1. 比较 (x-2)(x+4) 与 (x+1)² 的大小 解：用作差法比较大小 (x-2)(x+4) - (x+1)² = x²+2x-8 - (x²+2x+1) = x²+2x-8-x²-2x-1 = -9 因为 -9 ＜ 0 所以 (x-2)(x+4) ＜ (x+1)² 1. 已知 1 ≤ a - b ≤ 2，2 ≤ a + b ≤ 4，求 4a - 2b 的范围 解： 设 4a - 2b = m(a - b) + n(a + b) 展开右边： m(a - b) + n(a + b) = (m + n)a + (-m + n)b 对应系数相等列方程组： m + n = 4 -m + n = -2 两式相减：(m+n)-(-m+n)=4-(-2) 2m = 6，m=3 把m=3代入 m+n=4，得n=1 所以 4a - 2b = 3(a - b) + 1(a + b) 由 1 ≤ a - b ≤ 2， 同乘3： 3 ≤ 3(a - b) ≤ 6 又 2 ≤ a + b ≤ 4 同向相加： 3 + 2 ≤ 3(a - b)+(a + b) ≤ 6 + 4 5 ≤ 4a - 2b ≤ 10 综上：5 ≤ 4a - 2b ≤ 10 五、易错点总结 1. 作差法变形：未化为 “能直接判断符号” 的形式（如因式分解、完全平方），导致无法判断； 1. 乘除变形：忘记 “乘负数变号”，或无前提条件随意乘除； 1. 求范围：同向不等式不可直接相减，需先变号再相加；不可直接乘除含字母的式子（需判断正负）。 6、 课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列命题是假命题的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 2.若，，则(    ) A. B. C.                                          D. 3.“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，，，则下列结论正确的有(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 6.下列命题中，不正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 比较与的大小，其中． 已知，比较与的大小． 已知，，求证：． 8.本小题分 比较与的大小； 已知实数，满足，，求的取值范围． 课后作业答案 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等关系，命题的概念与真假，属于基础题． 列举反例可判断选项，根据不等性质可判断选项． 解：选项： 取，，，，故A错误； 选项：若，又， 则，故B正确； 选项： 若，则，则， 又因为， 由不等式的性质可得，故C正确； 选项：若且， 则， 所以，故D正确． 故选：． 2.【答案】  【解析】 解：选项A：若，则，所以选项A错误． 选项B：若，满足，但是，所以选项B错误． 选项C：因为所以又因为，所以，所以选项C正确． 选项D：若，满足，但是，所以选项D错误． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：若，则，充分性得证； 若，，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 举出反例检验选项A，，，结合不等式的性质检验选项C． 解：当，，，时，，，显然错误； 因为，所以，所以． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：选项A分析：若，当时，，此时不成立，故A错误。 选项B分析：作差得： 通分后化简： 因，故，，则，因此差为正，即，故B正确。 选项C分析：作差得： 因，故；又，即差为正，因此分母，故C正确。 选项D分析：因，两边乘正数得：，即； 两边乘正数得：，即； 综上，故D正确。 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题． 利用不等式的性质，推理判断；举例说明判断． 解：对于，由，得，A错误； 对于，取，，，，满足，而，B错误； 对于，由，得，则，因此，C正确； 对于，由，得，而，则，D正确． 故选：． 7.【答案】，． ． ，， ． 证明：由题意， 当时取等，成立． 8.【答案】解：， 所以； 设， 即， 所以，解得，， 所以， 因为，， 所以， ， 所以， 即， 【解析】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题． 作差法比较大小； 利用不等式的性质即可求解． 学科网（北京）股份有限公司 $