2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（十二）

**基本信息** 大连市高二下学期数学期末模拟卷，以函数、数列、概率统计等核心知识为载体，通过台灯近视调查、体育比赛等真实情境设计问题，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，层次分明，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、充分必要条件、函数奇偶性、条件概率|基础概念辨析，如第4题条件概率考查逻辑推理| |多选|3/18|函数周期性、数列与函数图像、不等式性质|多维度能力考查，如第9题结合奇偶性与周期性| |填空|3/15|等差数列求和、线性回归、切线方程|综合应用，如第13题线性回归结合残差分析| |解答|5/77|独立性检验、导数单调性、数列错位相减、概率应用、导数证明|情境化与综合性强，如15题台灯调查融合独立性检验与二项分布，19题导数证明体现创新意识|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（十二） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．已知实数 ，那么“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 4．甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 5．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为0.1，现从该批产品中随机抽取6件，用表示这6件产品的质量指标不在区间的产品件数，则（     ） A．0.2 B．0.6 C．0.8 D．1.2 7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（   ） A．是周期为4的周期函数 B． C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 10．如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（    ） A． B．对任意的， C．数列的前项和为 D． 11．已知，，则（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．记为等差数列的前项和，若，，则_________． 13．已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为且当x=9时，残差为-0.1．则当x=11时，y的预测值为___________． x 5 6 7 8 9 y 3.5 4 5 6 6.5 14．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 17．已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 18．甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．现已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是． (1)求第二场比赛结束后比赛终止的概率； (2)求甲最终获胜的概率． 19．已知函数，． (1)若，求的极值点； (2)若，都有，求的取值范围； (3)证明：，有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（十二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D D C B ABD ACD 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】先判断充分性： ∵ 当，时，，满足， 此时，不满足， ∴ 由无法推出，充分性不成立. 再判断必要性： ∵ 若，则，同号， 根据绝对值的运算性质，同号两数和的绝对值等于绝对值的和，即恒成立， ∴ 由可推出，必要性成立. 综上，“”是“”的必要非充分条件. 2．D 【详解】依题意，，，所以． 3．A 【分析】根据已知条件得到关于与，求出的解析式，代入求解即可. 【详解】由题意可得，  所以， 故． 4．C 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”， 则，且， 所以. 5．D 【详解】，，解得； . 为正项等差数列， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的最小值为. 6．D 【分析】根据正态分布的对称性求出质量指标不在区间的概率，结合条件可得随机变量服从二项分布，根据二项分布的均值公式求解即可. 【详解】因为工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布， ，根据正态曲线的对称性，得， 所以1件产品的质量指标不在区间的概率为， 根据题意，故. 7．C 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 8．B 【分析】对于A，分别作出函数、和的图象，易得点，关于直线对称，进而得到；对于B，联立，结合零点存在定理得到，结合图象得到，结合的单调性及放缩法证明即可；对于C，利用基本不等式证明即可；对于D，联系，结合零点存在定理得到，构造函数，结合导数与单调性证明即可. 【详解】对于A，作出函数、和的图象， 因为和互为反函数，所以它们的图象关于直线对称. 直线与垂直，即关于直线对称， 所以交点，关于直线对称，所以，， 又在直线上，所以，即，故A正确； 对于B，由，得，设，则单调递增， 因为，，所以由零点存在定理知，的零点在上， 所以，所以. 结合图象可知，，则，. 所以，故B错误. 对于C，易知，所以，故C正确； 对于D，由，得，设，， 则在上单调递增， 又，，所以. 因为，设，，则， 所以在上单调递增，所以，故D正确. 9．ABD 【分析】对于A选项，因为是奇函数，由判断函数周期；对于B选项，由的周期为4，分别求解，，，即可；对于C选项，由函数对称求解即可；对于D选项，由函数对称的定义求解即可； 【详解】因为是奇函数，所以．因为，所以， 所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确． 因为时，，所以，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以．因为的周期为4，所以．因为，所以， 所以，所以，故B正确． 因为，所以，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 当时，，因为时，，所以， 因为的图象关于直线对称，所以，在上单调递减，故C错误． 10．ACD 【分析】选项A：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线求解即可；选项B：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线得到，根据与的关系求出，进一步判断即可；选项C：由B求出，进而求出，结合裂项相消法求和即可；选项D：由解析式代入求解即可. 【详解】选项A：由题意易知，，则，即，解得，故A正确. 选项B：易知，即， 则，即，则， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 因为，故B错误. 选项C：，则， 所以数列的前项和为，故C正确. 选项D：，故D正确. 11．BC 【分析】由，利用的符号判断A、B，化并应用基本不等式判断C、D. 【详解】已知，， 由于均为正数，和也都大于0 ，则， 判断正负可以转为判断正负. ， 因为，，所以恒成立， 即，又，所以，B正确，A错误； ，因为均为正数，所以， 将分子和分母同时除以：， 对于分母，由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故，C正确，D错误. 12．10 【分析】首先求首项和公差，再代入求和公式. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，解得：，， 所以. 13． 【分析】经验回归直线方程过样本点的中心，所以把代入，结合残差公式联立方程组可求得的值，再代入求解即可. 【详解】由已知得，所以，① 又因为时，残差为-0.1，故，② 联立①②得；所以经验回归直线方程为， 所以，当时，． 14． 【分析】设出曲线的切点坐标，写出切线方程后代入点A坐标，将切线条数转化为关于切点横坐标的一元二次方程的实根个数，利用判别式求解参数的取值范围. 【详解】由，得： ， 即切点处切线斜率为， 切线方程为：， 将代入切线方程， 整理得： ， 过点有两条切线，等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 计算判别式：， 解得或，即或 因此的取值范围是. 15．(1)学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关 (2) 【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可. （2）利用二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. （2）使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得. 16．(1) (2)当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）对求导后代入使导数值为0即可求解； （2）由条件整理出后求导，再讨论根的位置关系即可得到的单调性. 【详解】（1）由题意得， 因为是函数的极值点，所以， 解得， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 为函数的极小值点，满足条件，故； （2）因为， 则. 且， 当时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 当且时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 17．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的首项和公差，从而列方程组求出首项和公差，进而得到数列的通项公式； （2）对求导后，可知是等差乘等比结构的求和问题，用错位相减法即可计算出结果． 【详解】（1）由数列为等差数列，设首项为，公差为， 又对恒成立，所以有， 联立， 即， 解得 所以 ， 故数列的通项公式为． （2）由， 则， 所以， ， 两式相减得： ， 所以． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据比赛终止条件，拆分互斥事件，再利用独立事件概率相乘，最后求和即可； （2）根据题意得出比赛结束场次为第场、第场或第场，计算相应概率并求和． 【详解】（1）设“打场后甲获胜”，“打场后乙获胜”，“第二场比赛结束后比赛终止”，“甲最终获胜”， 因为，， 所以． （2）由题设条件，比赛可能在第场、第场或第场终止， 甲连胜两场：； 前两场双方，第3、4场甲连胜： ； 前4场双方，第5场甲获胜： ， 所以． 19．(1)有极小值点，无极大值点． (2) (3)由（2）知， 令，则， 所以， 即， 所以． 【分析】（1）代入求导并通分，解导数零点，根据定义域舍去负根，再由导数正负划分单调区间，判定极小值点； （2）化简导数分子为二次函数，以分界分类：时导数恒非负，函数在递增，；时处导数为负，存在正区间函数递减致，舍去，得； （3）借用（2）结论，令作放缩证明，对到累加，左边对数合并化简为，右边即为待证求和式，得证． 【详解】（1）当时，，， ， 令，则，， 解得，（舍去）， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以有极小值点，无极大值点． （2），， 由基本不等式知， 当时，，， 则函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当时，，， 记， 则是开口向上，对称轴为的二次函数． 又， 所以在上单调递减，则. 所以时，，单调递减，， 不符合题意， 综上． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $