第二十一章 四边形（解答题30题）热点题型专练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以四边形性质为核心，整合面积法、轴对称、截长补短等解题方法，形成从基础证明到动态探究的递进训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-3、5、7|菱形性质证明、内角和公式应用、尺规作图|从四边形定义到特殊四边形性质，构建概念-性质-应用链条| |方法探究|2、15、30|面积法推导等式、轴对称求最值、截长补短证线段关系|通过“探究-归纳-应用”深化转化思想，建立方法与问题的对应| |综合迁移|14、21、28|折叠变换、动点轨迹分析、坐标系综合计算|结合动态几何与代数运算，体现从静态性质到动态问题的拓展|

第二十一章 四边形（解答题30题） 1．（1）计算：； （2）如图，在菱形中，，的垂线交于点P，交的延长线于点E．求证：．    【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）先将绝对值，0次幂，负整数幂化简，再进行计算即可； （2）连接，通过证明为等边三角形，得出，再证明，即可求证． 【详解】（1）解： ； （2）证明：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，   ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握实数混合运算顺序和运算法则，掌握菱形四条边都相等，对边互相平行，以及等边三角形三线合一． 2．（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积． ①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ； ②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ． （2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢? ①方法1：一路往下数，不回头数． 以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个； 以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个； 以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个； 以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个； 则图中锐角的总个数是 ； ②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ； 用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ． （3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题． ①计算：19782＋20222； ②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线． 【答案】（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3) 【分析】（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可； ②利用矩形和正方形的面积公式求解即可； （2）①根据题中的数据求和即可； ②根据题意求解即可； （3）①利用（1）的规律求解即可； ②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案． 【详解】解：（1）①大正方形的面积为； ②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为； 可以得到等式：=； 故答案为：①；②；=； （2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1； ②锐角的总个数是n（n－1）； 可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）； 故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）； （3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2 ＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22 ＝2×（20002＋222） ＝2×[4000000＋（20＋2）2] ＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968； ②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2； 一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5； 一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9； ……， 一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线； 一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线． 故答案为：119，n(n-3)． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键． 3．若边形的内角和为，求的值． 【答案】13 【分析】本题主要考查多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：根据多边形内角和公式，得 ，解得． 4．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，，试求的值． 小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到解决（如图②）　 　，并写出推理和计算过程． 参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题： 如图③，已知和矩形，与交于点G，求的度数．      【答案】，过程见解析； 【分析】 由,可证得四边形是平行四边形, 即可得, 即可得, 然后利用勾股定理，求得的值；首先连接, 由四边形是平行四边形，四边形是矩形，易证得四边形是平行四边形，继而证得是等边三角形，则可求得答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解决问题：连接． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】 此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是注意掌握辅助线的作法． 5．已知． (1)化简； (2)若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘多项式的运算法则和完全平方公式将原式展开，去括号后再合并同类项即可； （2）根据菱形的面积公式可求出的值，然后整体代入由（1）所得的结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题是求代数式的值的应用，考查了整式的混合运算，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式，合并同类项，菱形的面积等知识点，运用了整体代入的思想．掌握整式的混合运算和菱形的面积的计算方法是解题的关键． 6．如图，在直角坐标系中： (1)描出、、、四点； (2)顺次连接、、、后得到的图形是_________； (3)计算（2）中得到图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形 (3)30 【分析】（1）根据题意，描出各点，即可求解； （2）根据题题意可得CD=6，AB=6，且CD∥x轴，AB∥x轴，从而得到AB=CD，AB∥CD，即可求解； （3）根据平行四边形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点、、、即为所求； （2）解：由（1）得：CD=6，AB=6，且CD∥x轴，AB∥x轴， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； 故答案为：平行四边形 （3）（2）中得到图形的面积为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 7．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 如图，为的中线； (2) 为等边三角形，理由如下： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】本题考查作已知线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线性质，等边三角形的判定； （1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作的垂直平分线即可； （2）直角三角形斜边中线可得，再由可得即可判断为等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，在正方形中，为上一点，连接． (1)尺规作图：过点作线段的垂线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问的条件下，求证： 证明：四边形为正方形 ， 又 ① 在与中 （③ ） ④ 【答案】(1)见解析 (2)；；， 【分析】（1）根据垂线的尺规作图解答即可． （2）根据正方形的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． 本题考查了尺规作图，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握尺规作图，正方形的性质是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，作图如下： 则F，G即为所求． （2）证明：四边形为正方形 ， 又， ， ， 在与中 ； ； 答案为：；；，． 9．如图，在平行四边形中，点是的中点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写画法）． ①在图1中，请过点作的平行线交于点． ②在图2中，请过点作的平行线交于点． 【答案】 ①如图1，为所求； ②如图2，为所求． 【分析】本题考查了限定工具作图，平行四边形的判定与性质： ①连接和，设交点为，延长并延长交于F，则F点为所作； ②连接，交于点，延长交于H，连接交于点G，作射线交于F，则F点为所作． 【详解】 略 10．如图，在等边中，是边上一点，，点是点关于直线的对称点，点在直线上（点不与点重合），且． (1)依题意补全图形，直接写出的度数（用含有的代数式表示）； (2)探究、、满足的等量关系，并证明； (3)若点在的延长线上，其余条件不变，直接写出、、满足的等量关系． 【答案】(1)图见解析，； (2)，证明见解析； (3)，证明见解析． 【分析】（1）利用折叠的性质得，，结合，可得，进而可得； （2）在上取，连接．先证，推出，，再利用证明，推出，即可得出； （3）连接，，作交于点G．先证四边形是平行四边形，得出，；再利用证明，得出，进而得出． 【详解】（1）解：补全图形，如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是点关于直线的对称点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：．证明如下： 如图所示，在上取，连接． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 由（1）知， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：．证明如下： 如图所示，连接，，作交于点G． 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． ∴． 即． 【点睛】本题考查折叠的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段的和差关系等知识点，综合性质较强，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，AB⊥BC，请用尺规作图法，在平面内求作一点D，使四边形ABCD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，四边形ABCD即为所求， 【分析】根据矩形的性质进行尺规作图即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图的方法． 12．在学习正方形的过程中，小明发现一个规律：在正方形中，E为上任意一点，连接，若过点A的直线，交于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小明的思路是：先利用下图，过点A作出的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小明的思路完成以下作图与填空：    (1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线，交于点F，交于点G．（只保留作图痕迹） (2)证明：∵四边形是正方形 ∴ ① ， ∴ ∴ ② ∵ ∴， ∴ ③ 在和中 ∴（ ⑥ ） ∴ 【答案】(1)见解析 (2)①②③④⑤⑥ 【分析】（1）根据过一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）根据正方形的性质得到，，利用余角的性质得到，利用证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求；   ； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，尺规作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 13．数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． 【探究提炼】 （1）________； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）45；（2）；（3）存在，面积的最小值为 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据垂直定义和三角形的内角和定理求解即可； （2）连接，由折叠可知：，，，再求得，设与相交于点，证明是的垂直平分线，得到，则，根据等腰三角形的判定与性质可得结论； （3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则根据四边形的内角和为求得，根据菱形的性质和角平分线的性质定理得到，进而证明，进而根据全等三角形的性质得到，过点作于点，然后根据等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，当最小时，面积最小，即时，面积最小，进而利用菱形的性质和直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； 故答案为：45； （2）如图，连接，由折叠可知：，，， 由（1）得 设与相交于点， ，， ∴是等腰直角三角形，又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ； （3）存在， 理由：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 在菱形中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， 当最小时，面积最小，即时，面积最小， ， ， 菱形草坪的边长为， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形和四边形的内角和定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 14．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，．由E为的中点，推出，根据三角形内角和定理及平角的定义得到，推出，由四边形是平行四边形，得到，继而证明四边形为平行四边形，即可得出结论． （2）同理（1）证明即可； （3）过点A作交CB的延长线于点M，分点F在平行四边形内和点F在平行四边形外；两种情况讨论即可． 【详解】解：（1），，理由如下： 证明：由折叠，可得，． ∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立． 同理（1）证明即可； （3）①当点F在平行四边形内时，过点A作交CB的延长线于点M，如解图1所示． 由（2）可知， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵，， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． 设，则，． 由（2）可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． ②当点F在平行四边形外时，过点A作于点M，如解图2所示． 同理可得．设，则，， 可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上性质是解题的关键． 15．利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）米 【分析】根据对称的性质可知：，，所以可知，，从而可得：； 根据对称性质可知，，所以可知是等边三角形，从而可知，线段的长度就是周长的最小值； 过点作于点，延长到点，使，连接，则点与点关于直线对称，连接交于点，则，线段的长度就是的最小值，利用勾股定理求出线段的长度即可； 过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，根据直角三角形的性质可知米，利用可证，根据全等三角形的性质可知，米，利用勾股定理求出米，可得：的最小值是米． 【详解】解：点与点关于对称， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， ， 故答案是：； 解：点与点关于对称， ，， 点与点关于对称， ，， ， 由可知， 是等边三角形， ， 的周长是， 周长的最小值是， 故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称， 连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点是的中点， ， ， 的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形， ， ，米， 米， 米， ， 点是矩形的中心， ， ， ， ， 在中， ，， ， 在和中，， ， ，米， 米， 米， 的最小值是米， 米， 的最小值是米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质构造全等三角形和直角三角形，利用勾股定理求出边的长度． 16．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图是它的骨架示意图，点在伞柄，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合即，，点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求 ，两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出的长，再根据，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． 17．如图1，摆钟是一种利用单摆原理工作的计时仪器．摆钟的摆锤可视为质点，摆动的部分轨迹可抽象为图2中的圆弧，摆长（摆长固定不变）．当摆锤摆动到最低点时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高点时，它离底座的垂直高度 ，且与摆锤在最低点时的水平距离为． (1)图2中 ； (2)求钟摆的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）容易证明四边形是矩形，则，因此； （2）设，则，利用勾股定理构造方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得， 答：钟摆的长度为． 18．如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．判断四边形的形状，并求这个停车位的面积． 【答案】四边形是平行四边形，这个停车位的面积是 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．先根据两组对边分别相等是四边形是平行四边形进行判断，然后过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质和三角形的内角和定理求出，然后根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解∶，， 四边形是平行四边形， 过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理， ， ， 答：四边形是平行四边形，这个停车位的面积是． 19．在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，当时，连接，交于点．若平分，求证：； (2)如图2，连接，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析； (3) 【分析】（1）连接，先证明，继而得到在和中，由三角形内角和得，，而，故，那么； （2）作辅助线，延长至点，使，连接，在中，根据三角形的中位线，得出，再根据条件证明：，于是猜想得以证明； （3）如图， 延长至点，使得，连接，显然为等边三角形，则，，同（2）得，则，可得垂直平分，因此，可证明是等边三角形，那么，证明以及，则，设，则在等腰中，由勾股定理得，则，由勾股定理逆定理可得，则，则，过点作于点，在上取点，使得，角度推导得到，故，在中，，那么，同上可求，由等腰三角形可得，故，则． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， 由旋转得， 在和中，， ， ∴， ， 平分， ， 在和中，由三角形内角和得，， ， ， ∴； （2）解： 如图2，延长至点，使，则，连接． 是的中点， ． ， ， ， 在和中，， ， ， ； （3）解：如图3， 延长至点，使得，连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 同（2）可得，，， ∵， ∴， 同（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ， ， 由旋转的性质得：， 是等边三角形， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则在等腰中，由勾股定理得, 而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，在上取点，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 同上可求, ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形合理解决特殊角的构造． 20．如图，菱形的对角线 交于点，连接，交于点E、F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定与性质． （1）根据菱形的性质得到，结合，推出，即可证明； （2）根据菱形的性质可得，由平行线的性质可得，进而得到，即，同理得，在根据平行四边形的性质可得，即可证明． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， 理由：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵四形是平行四边形， ∴， ∴． 21．如图， 在正方形中， ，P 是对角线上一个动点，连接，，过点 P向P点右侧作的垂线交射线于点，连接． (1)如图1， 求证： ； (2)如图2，连接，在点P 从点A 向点 C 运动过程中，求 周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得：，由角平分线的性质得：，证明，可得结论； （2）先确定周长的最小值时点的位置，因为的周长，这三条线段中，为定值，所以的最小值，就是周长的最小值，根据轴对称的最短路径先作辅助线，根据勾股定理可得的值，从而得结论． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：作关于的对称点，连接，当在上时，如图2，此时的周长最小， ， 中，， 的周长， 即周长的最小值是． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的最短路径问题等有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 22．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，利用，得到，即可得解； （3）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，从而得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为边上的中点， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， 连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ∴， ，即 ， ∴； （3）解：连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， 为直角三角形， 为的中点，为的中点， 设， ， ， 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 23．如图①，以的边为边，向外作正方形，过点A作于点M，过点E作交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图②，若，以为边向外作正方形，连接交于点N．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点G作于点H．同（1）方法证明，，得到，再证明可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，， ，， ， ． ， ， ； （2）如答图，过点G作于点H． 由（1）同理，得，， ，， ． ，， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质，找到全等三角形或添加辅助线构造全等三角形证明线段相等是解答的关键． 24．如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)连接，，若，试探究四边形的形状，并对结论给予证明． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是菱形，证明见解析． 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、菱形的判定等知识，推导出，及是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据“”证明； （2）由平行四边形的性质得，，因为，所以，则，所以四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形， 证明：如图，连接，， 四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 25．如图，在中，对角线、相交于点，延长至点，连接、，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理等知识． （1）利用平行四边形性质得到对角线相关关系，结合，推出对角线互相垂直，根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，从而证明四边形是菱形； （2）设，根据勾股定理求出，从而得，再在中，利用勾股定理求出，从而得到的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； （2）设， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ， 故的长为． 26．操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【答案】(1)四边形是菱形（特殊位置时为正方形），见解析 (2)， 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，勾勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，过点A分别作，，垂足分别是点E、F，证明，得出，即可得出结论；（特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，设菱形 的边长为，根据勾股定理得出，最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长 为底的四边形即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形（特殊位置时为正方形）． 证明：两张完全相同的长方形纸条， ，， 四边形是平行四边形 过点A分别作，，垂足分别是点E、F， ，， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）解：当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，正方形边长等于长方形纸条的宽，即， 所以最小面积为； 设菱形 的边长为，在由长方形长的剩余部分与宽构成的直角三角形中，一条直角边为长方形的宽 5cm，另一条直角边为，斜边为菱形边长， 根据勾股定理， 解得： 最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长为底的四边形，最大面积为 ． 27．如图，矩形中，对角线与交于点O，若，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握矩形的对角线相等且相互平分的性质．先由矩形的对角线相等且互相平分推出，结合三角形外角的性质和等腰三角形的性质即求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点， ， ， ， ， ， ， ． 28．如图，在平面直角坐标系中，点在的负半轴上，点在的正半轴上，点在的正半轴上，，，，动点从点出发，以个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，边与相交于点，以为边作等边，点在线段上，设点的运动时间为．    (1)当点在边上，直接写出的长为______ 用含的代数式表示； (2)当点与点重合时， 求的值； 直接写出此时点和点的坐标； 点在轴上，点在直线上，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为，点的坐标为；③以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或 【分析】（1）由直角三角形的性质得，，再证，当点与点重合时，与重合，则，即可解决问题； （2）①当点与点重合时，与重合，，即可得出结论；②当点与点重合时，点与点重合，，则是等边三角形，得，即可得出结论；③分情况讨论，、当为平行四边形的边时，，，当、在轴上方时，当、在轴下方时，由勾股定理求出、的长，即可得出结论；、当为平行四边形的对角线时，四边形为平行四边形，此时，点与点重合，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ，， ， ，， ， ， 当点与点重合时，与重合， ， 点从点出发，以个单位长度的速度沿边向终点匀速运动， ， 故答案为：； （2）解：①当点与点重合时，与重合，， ； ②当点与点重合时，点与点重合，，与重合， 是等边三角形， ， ， 点的坐标为，点的坐标为； ③，， ，且在轴上， 分情况讨论： 、当为平行四边形的边时，如图所示：，，    ，， 轴， 轴， 当、在轴上方时， ， ， ， ， ， ， ， ； 当、在轴下方时，同理，，轴， ， ， ， ； 、当为平行四边形的对角线时，如图所示：    ，， 四边形为平行四边形， 此时，点与点重合， ； 综上所述，以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，属于中考常考题型． 29．在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（1，0），同时将点A，B先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A，B的对应点依次为点C，D连接CD，AC，BD． (1)直接写出点C，D的坐标，并求出平行四边形ABDC的面积； (2)点E是坐标轴上一动点，当S△EBD＝S四边形ABDC时，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)6 (2)（3，0）、（−1，0）、（0，2）、（0，−6） 【分析】（1）根据平移即可求出点C，D的坐标，进一步求面积即可； （2）根据题意，得，分情况讨论：点E在x轴上，点E在y轴上，分别求解即可． 【详解】（1）如图所示： ∵点A，B的坐标分别为（−2，0），（1，0） ∴AB＝3 根据平移，可知C（−1，2），D（2，2） ∴平行四边形ABDC的面积＝3×2＝6 （2） 当点E在x轴上，设E（m，0）则EB＝|m−1| ∴＝|m−1|×2÷2＝2 解得m＝3或m＝−1 ∴E（3，0）或（−1，0） 当点E在y轴上，设E（0，n） 延长DB交y轴于点F，如图所示： 设BD的解析式：y＝kx＋b 代入B，D点坐标 得 解得 ∴BD的解析式：y＝2x−2 ∴F（0，−2） 则EF＝|n＋2| ∴ 解得n＝2或n＝−6 ∴E（0，2）或（0，−6） 综上，点E的坐标为（3，0）或（−1，0）或（0，2）或（0，−6）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，涉及平移的性质，三角形的面积等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 30．截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系． 【探索发现】如图1，在中，点E为上的一点，连接，作的平分线交于点F，若点F为的中点，求证：； 解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点M，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明． 【类比迁移】如图2，在正方形中，点E为上的一点，连接，作的平分线交CD于点F，求证：； 【综合应用】如图3，在菱形中，，延长至点E，使，连接，点F为上一点，连接，作的平分线交于点G，连接，若，，求的面积． 【答案】【探索发现】详见解析； 【类比迁移】详见解析； 【综合应用】． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 探索发现：先根据平行四边形的性质，得，，进一步证明，得出，通过角平分线的定义，再导角得出，从而求证； 类比迁移：先延长至点，使得，连接，由正方形的性质，进一步证明，得出，再根据平分，进一步导角可证，从而求证； 综合应用：先证是等边三角形，再延长至点，使，连接，过点作于点，过点作于点，进一步证出，再导角得出，再通过设，利用勾股定理和勾股定理的逆定理，从而判定，则，进行计算即可． 【详解】解：【探索发现】证明：如图，延长交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 【类比迁移】证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 令，则，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 【综合应用】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 如图，延长至点，使，连接，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴，． ， ∴，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴，（舍）， ∴，，，，， ∴， 在中，． ， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形（解答题30题） 1．（1）计算：； （2）如图，在菱形中，，的垂线交于点P，交的延长线于点E．求证：．    2．（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积． ①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ； ②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ． （2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢? ①方法1：一路往下数，不回头数． 以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个； 以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个； 以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个； 以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个； 则图中锐角的总个数是 ； ②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ； 用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ． （3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题． ①计算：19782＋20222； ②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线． 3．若边形的内角和为，求的值． 4．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，，试求的值． 小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到解决（如图②）　 　，并写出推理和计算过程． 参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题： 如图③，已知和矩形，与交于点G，求的度数．      5．已知． (1)化简； (2)若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值． 6．如图，在直角坐标系中： (1)描出、、、四点； (2)顺次连接、、、后得到的图形是_________； (3)计算（2）中得到图形的面积． 7．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线； (2)判断的形状，并说明理由． 8．如图，在正方形中，为上一点，连接． (1)尺规作图：过点作线段的垂线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问的条件下，求证： 证明：四边形为正方形 ， 又 ① 在与中 （③ ） ④ 9．如图，在平行四边形中，点是的中点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写画法）． ①在图1中，请过点作的平行线交于点． ②在图2中，请过点作的平行线交于点． ②如图2，为所求． 10．如图，在等边中，是边上一点，，点是点关于直线的对称点，点在直线上（点不与点重合），且． (1)依题意补全图形，直接写出的度数（用含有的代数式表示）； (2)探究、、满足的等量关系，并证明； (3)若点在的延长线上，其余条件不变，直接写出、、满足的等量关系． 11．如图，在△ABC中，AB⊥BC，请用尺规作图法，在平面内求作一点D，使四边形ABCD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 12．在学习正方形的过程中，小明发现一个规律：在正方形中，E为上任意一点，连接，若过点A的直线，交于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小明的思路是：先利用下图，过点A作出的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小明的思路完成以下作图与填空：    (1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线，交于点F，交于点G．（只保留作图痕迹） (2)证明：∵四边形是正方形 ∴ ① ， ∴ ∴ ② ∵ ∴， ∴ ③ 在和中 ∴（ ⑥ ） ∴ 13．数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． 【探究提炼】 （1）________； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 14．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 15．利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 16．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图是它的骨架示意图，点在伞柄，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合即，，点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求 ，两点之间的距离． 17．如图1，摆钟是一种利用单摆原理工作的计时仪器．摆钟的摆锤可视为质点，摆动的部分轨迹可抽象为图2中的圆弧，摆长（摆长固定不变）．当摆锤摆动到最低点时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高点时，它离底座的垂直高度 ，且与摆锤在最低点时的水平距离为． (1)图2中 ； (2)求钟摆的长度． 18．如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．判断四边形的形状，并求这个停车位的面积． 19．在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，当时，连接，交于点．若平分，求证：； (2)如图2，连接，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值． 20．如图，菱形的对角线 交于点，连接，交于点E、F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：． 21．如图， 在正方形中， ，P 是对角线上一个动点，连接，，过点 P向P点右侧作的垂线交射线于点，连接． (1)如图1， 求证： ； (2)如图2，连接，在点P 从点A 向点 C 运动过程中，求 周长的最小值． 22．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 23．如图①，以的边为边，向外作正方形，过点A作于点M，过点E作交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图②，若，以为边向外作正方形，连接交于点N．求证：． 24．如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)连接，，若，试探究四边形的形状，并对结论给予证明． 25．如图，在中，对角线、相交于点，延长至点，连接、，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 26．操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 27．如图，矩形中，对角线与交于点O，若，．求的度数． 28．如图，在平面直角坐标系中，点在的负半轴上，点在的正半轴上，点在的正半轴上，，，，动点从点出发，以个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，边与相交于点，以为边作等边，点在线段上，设点的运动时间为．    (1)当点在边上，直接写出的长为______ 用含的代数式表示； (2)当点与点重合时， 求的值； 直接写出此时点和点的坐标； 点在轴上，点在直线上，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 29．在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（1，0），同时将点A，B先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A，B的对应点依次为点C，D连接CD，AC，BD． (1)直接写出点C，D的坐标，并求出平行四边形ABDC的面积； (2)点E是坐标轴上一动点，当S△EBD＝S四边形ABDC时，请直接写出点E的坐标． 30．截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系． 【探索发现】如图1，在中，点E为上的一点，连接，作的平分线交于点F，若点F为的中点，求证：； 解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点M，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明． 【类比迁移】如图2，在正方形中，点E为上的一点，连接，作的平分线交CD于点F，求证：； 【综合应用】如图3，在菱形中，，延长至点E，使，连接，点F为上一点，连接，作的平分线交于点G，连接，若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $