21.2 平行四边形～21.3 特殊的平行四边形综合练习 -2025-2026学年人教版八年级下册数学

**基本信息** 聚焦平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，通过概念辨析、性质计算与综合证明，系统整合知识逻辑，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择2-3题|平行四边形判定条件辨析|从边、角、对角线判定的递进关系| |性质应用|填空1-5题|矩形/菱形性质计算（对角线、面积等）|特殊平行四边形性质的转化应用（如面积法、直角三角形性质）| |综合证明|解答14-17题|性质与判定综合证明|平行四边形到特殊平行四边形的判定链，结合全等、中位线等综合推理|

21.2平行四边形-21.3特殊的平行四边形 一、选择题（共6小题） 1．（2025秋•牟平区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD与F，则PE+PF的值为（　　） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 2．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 3．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝DO D．AO＝CO 4．（2026•定海区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在AD边上，连接BE交AC于点F．若∠OCD＝60°，∠BED＝130°，则∠BFO的度数为（　　） A．95° B．105° C．100° D．110° 5．（2026•西岗区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　） A． B． C．10 D．12 6．（2026•雁塔区校级一模）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，连接BD，BE，则∠DBE的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 二、填空题（共6小题） 7．（2025秋•永年区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC上一点，P是AD的中点．若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8cm，则BP为　 　 ． 8．（2025秋•广元期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交BC、AD于点E、F，若AB＝4，DF＝3，则BC＝　 　 ． 9．（2025秋•阳江期末）在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠D的度数为　 　 ． 10．（2026•南京一模）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上任意一点，点E，点F分别是BM，CM的中点，若AD＝6，则EF的长为　 　 ． 11．（2025秋•淄博期末）如图，▱ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长为　 　 ． 12．（2025秋•横山区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AC上，连接BE，△BCE是等腰三角形，CE＝CB．若AB＝6，BD＝10，则AE的长为　 　 ． 三、解答题（共5小题） 13．（2025秋•秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OC的中点，连接AE、DF，求证：AE＝DF． 14．（2025秋•萧县期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接AD，AD平分∠BAC． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）连接EF交AD于点O，若∠BAC＝60°，AE＝5，求AD的长． 15．（2026•建邺区一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP． （1）BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若AE＝DF＝1，AB＝4，求OP的长． 16．（2025秋•平顶山期末）如图，点B在直线MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D． （1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论； （2）当AB与MN的位置关系为　 　 时，四边形ACBD是正方形． 17．（2025秋•沭阳县校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上的点，且AE＝CF． 求证：BE＝DF． 一、选择题（共6小题） 1．【答案】B 【分析】连接OP，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，可求得OA＝OD以及△AOD的面积，继而可得S△AOD（PE+PF），则可求得答案． 【解答】解：连接OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝ODBD，S△AOD＝S△AOB， ∵AB＝3，AD＝4， ∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5， ∴S△AODS矩形ABCD＝3，OA＝OC， ∵S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFPEPF（PE+PF）＝3， ∴PE+PF＝2.4． 故选：B． 2．【答案】B 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 3．【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【解答】解：已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形， 选项A：仅AD∥BC且AB＝CD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； 选项B：AD∥BC且AC＝BD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 B错误； 选项C：平行四边形要求对角线互相平分，仅AO＝DO不满足，故C错误； 选项D：∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO， 在△DAO和△BCO中， ， ∴△DAO≌△BCO（ASA）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故D正确． 故选：D． 4．【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得OA＝OB，进而可得△OAB是等边三角形，∠ABO＝60°，由∠BED＝130°可得∠AEB＝50°，即可求出∠ABE＝40°，则∠OBF＝20°进而求出∠BFO即可． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，OD＝OC，∠BAE＝90°， ∵∠OCD＝60°， ∴∠COD＝60°＝∠AOB， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABO＝60°， ∵∠BED＝130°， ∴∠AEB＝50°， ∴∠ABE＝40°， ∴∠FBO＝20°， ∴∠BFO＝180°﹣60°﹣20°＝100°， 故选：C． 5．【答案】B 【分析】首先，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和已知边长计算出对角线AC的长度；然后，利用菱形面积的两种计算方法，通过已知的面积和边长求解CE的长度． 【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴，OB＝ODBD＝12，AC⊥BD，AB＝AD＝13， ∴∠AOB＝90°， ∴OA5， ∴AC＝10， ∵菱形的面积＝AB．CEAC•BD， 即13×CE10×24， 解得：CE， 故选：B． 6．【答案】D 【分析】首先由正方形的性质得到∠ABD＝45°，AB＝AD，∠BAD＝90°，然后由等边三角形的性质得到AD＝AE，∠DAE＝60°，推出AB＝AE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝45°，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴AB＝AE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°， ∴， ∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝30°． 故选：D． 二、填空题（共6小题） 7．【答案】4cm． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC＝8cm，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【解答】解：∵AC的垂直平分线经过点D，DC＝8cm， ∴DA＝DC＝8cm， ∵∠ABC＝90°，P是AD的中点， ∴BPDA＝4cm． 故答案为：4cm． 8．【答案】8． 【分析】连接CF，由矩形的性质得OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，根据勾股定理求出，再由EF⊥AC，可知EF垂直平分AC，则AF＝CF＝5，即可求出BC＝AD＝AF+DF＝8． 【解答】解：连接CF， ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O， ∴OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC， ∴， ∵EF⊥AC， ∴AF＝CF＝5， ∴AD＝AF+DF＝5+3＝8， ∴BC＝AD＝8， 故答案为：8． 9．【答案】70°． 【分析】先画出图形，再根据平行四边形的性质可得∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，再根据“∠A比∠B大40°”可求出∠A＝110°，∠B＝70°即可解答． 【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D， ∵∠A比∠B大40°， ∴∠A＝110°，∠B＝70°， ∴∠D＝∠B＝70°， 故答案为：70°． 10．【答案】3． 【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6， ∵点E，点F分别是BM，CM的中点， ∴EF是△BMC的中位线， ∴EF＝3， 故答案为：3． 11．【答案】20 【分析】由平行四边形的性质得出OAAC，OBBD，AB＝CD＝4，求出OA+OB＝16，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OAAC，OBBD，AB＝CD＝4， ∵AC+BD＝32， ∴OA+OB（AC+BD）＝16， ∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝16+4＝20． 故答案为：20． 12．【答案】2． 【分析】矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角△ABC中，使用勾股定理计算出CB，结合CE＝CB，计算出AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD＝10， 在直角△ABC中，， ∵CE＝CB， ∴CE＝8， ∴AE＝AC﹣CE＝10﹣8＝2． 故答案为：2． 三、解答题（共5小题） 13．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∵点E、F分别为OB、OC的中点， ∴OEOB，OFOC， ∴OE＝OF，在△AOE和△DOF中， ， ∴△AOE≌△DOF（SAS）， ∴AE＝DF． 【分析】根据矩形性质得AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，再根据点E、F分别为OB、OC的中点得OE＝OF，由此依据“SAS”判定△AOE和△DOF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∵点E、F分别为OB、OC的中点， ∴OEOB，OFOC， ∴OE＝OF，在△AOE和△DOF中， ， ∴△AOE≌△DOF（SAS）， ∴AE＝DF． 14．【答案】（1）∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F， ∴∠ADE＝∠FAD，四边形AEDF是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴平行四边形AEDF是菱形； （2）． 【分析】（1）先证四边形AEDF是平行四边形，再通过等角对等边证AE＝DE，即可得出结论； （2）先证明△AEF是等边三角形，则EF＝AE＝5，根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求解AO，即可求解AD． 【解答】（1）证明：∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F， ∴∠ADE＝∠FAD，四边形AEDF是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴平行四边形AEDF是菱形； （2）解：∵四边形AEDF是菱形，连接EF交AD于点O，∠BAC＝60°，AE＝5， ∴AD⊥EF，AO＝DO，EO＝FO，AE＝AF＝5， ∴△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝5， ∴， 在Rt△AEO中，由勾股定理得：， ∴． 15．【答案】（1）AF与BE的关系是垂直且相等，证明见解析； （2）． 【分析】（1）先根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，再根据三角形全等的判定定理证出△ABE≌△DAF，然后根据全等三角形的性质可得BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，最后根据角的和差可得∠AOB＝90°，由此即可得证； （2）先根据正方形的性质可得∠C＝90°，BC＝CD＝AB＝4，再根据线段的和差可得CF＝3，然后利用勾股定理可得BF＝5，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【解答】解：（1）AF与BE的关系是垂直且相等，证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF， ∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠ABE＝90°， ∴∠AOB＝90°，即AF⊥BE， 综上，AF与BE的关系是垂直且相等； （2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴∠C＝90°，BC＝CD＝AB＝4， ∵AE＝1，AE＝DF， ∴DF＝1， ∴CF＝CD﹣DF＝3， 在Rt△BCF中，， ∵点P是Rt△BOF斜边BF的中点， ∴． 16．【答案】（1）四边形ACBD是矩形， 证明：∵CD平行MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵CD＝OC+OD， AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴四边形ACBD是矩形； （2）AB⊥MN时，四边形ACBD是正方形， 证明：∵AB⊥MN， ∴∠ABM＝∠ABN＝90°， ∵BC平分∠ABM，BD平分∠ABN， ∴∠ABC∠ABM，∠ABD∠ABN， ∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD∠ABN180°＝90°， 由（1）得四边形ACBD是矩形， ∵CD∥MN， ∴AB⊥CD， ∴四边形ACBD是正方形． 故答案为：AB⊥MN． 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线推出∠OCB＝∠OBC，推出OC＝OB，同理OD＝OB，即可得出答案． （2）根据矩形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形， 证明：∵CD平行MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵CD＝OC+OD， AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴四边形ACBD是矩形； （2）AB⊥MN时，四边形ACBD是正方形， 证明：∵AB⊥MN， ∴∠ABM＝∠ABN＝90°， ∵BC平分∠ABM，BD平分∠ABN， ∴∠ABC∠ABM，∠ABD∠ABN， ∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD∠ABN180°＝90°， 由（1）得四边形ACBD是矩形， ∵CD∥MN， ∴AB⊥CD， ∴四边形ACBD是正方形． 故答案为：AB⊥MN． 17．【答案】证明过程请看解答． 【分析】根据平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，再判断四边形BEDF是平行四边形，即可得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF． ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF． 学科网（北京）股份有限公司 $