21.2.1 平行四边形及其性质（分层题型专练，4夯基题型+5进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 初中数学平行四边形性质同步练，分层设计从基础性质应用到综合问题解决，覆盖角度、线段等单一知识点到面积、作图、动点等综合应用，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|平行四边形角度、线段长计算|选择填空为主，直观考查性质，培养运算能力| |技能应用|性质证明、平行线距离求解|证明与简单计算结合，发展推理意识| |综合拓展|面积问题、尺规作图、网格应用、动点问题|结合实际情境与动态问题，提升几何直观与创新意识|

第二十一章 四边形 21.2.1 平行四边形及其性质 （分层题型专练） 题型一 利用平行四边形的性质求角度 1．在平行四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 2．平行四边形中，若，则的度数为（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形的对角相等）． 3．在平行四边形中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．在中，若，则的度数是___________． 【答案】 /度 【分析】根据平行四边形对角相等可得，结合已知条件即可求解. 【详解】解：四边形 是平行四边形， ， ， ， . 5．在中，，则的度数是_________． 【答案】/118度 【分析】先得出，则可得的度数，再根据求解即可． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 1．已知中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对边相等即可推导得出结果． 【详解】∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ． 2．在中，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，可得到另外两条边的长度，再计算周长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴的周长为：． 3．如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是平行四边形，得，，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 4．已知平行四边形周长为20，一边长4，则另一边长为________． 【答案】 6 【分析】利用平行四边形对边相等的性质，结合周长的定义即可计算出另一边长． 【详解】∵平行四边形的对边相等， ∴平行四边形的周长等于2倍的两邻边长度之和， 设平行四边形另一边长为x，根据题意得， 解得． 5．已知平行四边形相邻两边的长度比是，若较长的边长为，则这个平行四边形的周长是___________． 【答案】60 【分析】根据题意先求出较短边的长度，再利用平行四边形周长公式计算周长即可． 【详解】解：∵平行四边形相邻两边的长度比是，且较长的边长为， ∴较短的边长为， ∴这个平行四边形的周长是． 题型三 利用平行四边形的性质进行证明 1．在平行四边形中，对角线和相交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，牢记平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键． 由平行四边形的性质逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 故选项符合题意， 与不一定相等，与不一定相等，与不一定相等， 故选项，，不符合题意， 故选：． 2．如图，在平行四边形中，，相交于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握性质是解题关键．平行四边形的性质：①两组对边平行且相等；②对角相等，邻角互补；③对角线互相平分． 【详解】A、平行四边形邻边不一定相等，故选项不符合题意； B、平行四边形邻边不一定垂直，故选项不符合题意； C、平行四边形对边相等，故选项符合题意； D、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，在平行四边形中，下列结论一定正确的是．（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质，选择答案即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， 根据现有条件无法推出、、， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形邻角互补是解题的关键． 4．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 5．如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据平行四边形的性质可得，再证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】依据平行四边形的性质，即可得到，，，判定，即可得到． 【详解】在平行四边形中，，，， 又， ， ， 在和E中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 题型四 平行线之间的距离表示及求解 1．铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（   ） A．平行线间的距离处处相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键在于理解铁轨枕木的设计与平行线间距离的关系．依据铁轨双轨道平行进行分析即可得出结论． 【详解】解：A、铁轨是平行的两条直线，枕木位于两轨之间，若枕木形状相同，则无论放置在哪个位置，都能保证与两轨的距离一致，符合平行线间距离处处相等，故A正确； B、此选项强调两点间最短路径，与枕木形状无关，故B不合题意； C、垂线段最短是点到直线的垂直距离，与枕木横向支撑无关，故C不合题意； D、此选项用于解释直线方向的确定，与枕木形状的统一性无关，故D不合题意． 故选：A． 2．如图，直线，则直线a，b之间的距离是（    ）    A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案． 【详解】解：由直线，，得： 线段的长度是直线，之间距离， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键． 3．已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，则m与n之间的距离（    ） A．等于5cm B．等于6cm C．等于4cm D．小于或等于4cm 【答案】D 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm， ∴AB＜AC＜AD， ∴m与n之间的距离小于或等于4cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义． 4．如图，已知，，，则与间的距离是________． 【答案】5 【分析】本题主要考查两平行线间的距离，理解两平行线间的距离的概念是解题的关键． 与间的距离就是的长度，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意得：与间的距离就是的长度， ∵，， ∴与间的距离是5， 故答案为：5． 5．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 题型一 平行四边形的性质与面积问题 1．已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】根据和是等底等高的两个三角形，其面积相等，计算即可； 【详解】直线，点、、在直线上， 点到直线的距离与点到直线的距离相等， ， 和是等底等高的两个三角形， ． 2．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 3．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 4．已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴间的距离处处相等， ∴为同底等高的三角形，为同底等高的三角形， ∴，， ∴， ∴； 故共有3对面积相等的三角形； 故选C． 5．如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可知三角形和梯形的高相等，据此分别表示出两个图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设两平行线间的距离为h， ∴三角形面积为，梯形面积为， ∴①的面积是②的面积的2倍， 故选：C． 6．如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线， ∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确； ∵，的长随点P的移动而变化， ∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误； ∵点到直线的距离不变，的长度不变， ∴的面积不会随点的移动而变化，故③正确； 综上，不会随点的移动而变化的是①③． 故答案为：①③． 7．如图，A、B是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的有_____________．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：∵、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的；故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变；故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的；故③错误； ∵两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变；故④正确； 综上，正确的有②④； 故答案为：②④． 题型二 平行四边形性质与尺规作图综合 1．在任意中，通过尺规作图得到射线（作图痕迹如图所示），交边于点E，连接．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图方法可知，平分，则，由平行四边形的性质结合平行线的性质可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，故A的结论正确，符合题意； 根据现有条件无法得到，故B、C、D的结论错误， 不符合题意 ． 2．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【答案】见解析 【分析】关键是掌握平行四边形是中心对称图形．先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可． 【详解】解：如图所示 连接、相交于点O，则点O是平行四边形的对称中心。 过O、P作直线分别交、于E、F，则一人分四边形，另一人分四边形． 3．如图，在中，与之间的距离为m，请利用尺规作图的方法在上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．过B点作的垂线，垂足为点F，则． 【详解】解：如图，点F为所作． 4．如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图和平行四边形的性质，熟练掌握“等边对等角”是解题的关键． （1）利用尺规作图作的平分线，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E即可； （2）由（1）可得，根据得到，进而得到，根据等边对等角证明即可． 【详解】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点， 再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E，如图所示： （2）证明：平分 四边形是平行四边形 ． 5．手工课上设计窗花，需要在三角形剪纸底稿上设计两处面积相等的装饰区域．已知点在边上，对应区域为，请用尺规在边上确定一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】以为顶点，为边，在右侧作，交于点，此时，那么到的距离相等，即中边上的高相等，即可得到． 【详解】解：以为顶点，为边，在右侧作，交于点，点即为所求作； 6．如图，已知平行四边形． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在①的条件下，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作的平分线交于点E，即可作答． （2）先根据角平分线的定义得，根据四边形为平行四边形，得，等量代换得，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：∵为的平分线， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 7．如图，E为的边上一点，，的延长线和的延长线相交于点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接． (2)求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是掌握作图方法解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）通过平行四边形的性质，以及垂直平分线的性质进行倒角，利用证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求． ②如图所示，连接，． （2）证明：如图，是的垂直平分线， ． ． 四边形是平行四边形， ． ，． ， ． ，即． ，， ． ． 8．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点E；②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点F，连接，交于点O．． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由作图方法可得平分，则，再由平行四边形的性质和平行线的性质证明，得到，则，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，由勾股定理求出的长，则由三线合一定理可得答案． 【详解】（1）证明：由作图方法可得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型三 平行四边形的性质在网格中的应用 1．如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； (2)在图2中，在边上确定一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移思想，确定格点即可； （2）找到的中点即可． 【详解】（1）解： （2）如图2，点即为所求； 2．如图的正方形方格纸中，点都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长都是1； (1)在图中画出平行四边形，且，点C、D均在小正方形的顶点上； (2)作出边上的中线（保留做题痕迹）； (3)直接写出（2）中所画线段的长_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，即可求解； （2）根据网格的特点找到的中点，连接，即可求解； （3）连接，根据勾股定理以及逆定理得出是等腰直角三角形，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，平行四边形即为所求 （2）解：如图所示，即为所求 （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵是的中点， ∴ ∵ ∴ 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点均在格点上，以下所画的四边形的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中以为边画一个只是中心对称的四边形，且其面积为． (2)在图②中以为对角线画一个只是中心对称的四边形，且其面积为． (3)在图③中以为边画一个只是中心对称的四边形，且其面积为． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）根据平行四边形的性质画图即可； （）根据平行四边形的性质画图即可； （）根据平行四边形的性质画图即可； 本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键 ． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求； （3）解：如图所示，四边形即为所求． 4．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． (1)请画出平移后的； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是_______； (3)若在网格中存在格点P，且，则符合条件的点P有_______个． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)4 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握“平移后，各组对应点的线段互相平行且相等”是解题关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质即可得，； （3）利用平行线间的距离处处相等结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图， 由平移的性质可得：，． 故答案为：，； （3）解：如图， ． 符合条件的点P有4个． 故答案为：4． 题型四 利用平行四边形的性质解决证明与解答综合类问题 1．如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，再结合，，即可证明； （2）由平行四边形的性质得；由平分，得，由（1）知，则，可得，由即可求解． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：在平行四边形中，； ∵平分， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 2．如图，点E在内部，过点A作的平行线、过点D作的平行线交于点F． (1)求证：； (2)连接、，设的面积为S，四边形的面积为T，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，根据平行线的性质得到和，从而证得； （2）易证得，由（1）知，则，进而得到，从而求出的值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 、， ， ， ， ， 同理得， 在和中， ， ； （2）解：如图，连接、， 点E在内部， 由（1）知， ， ， 设的面积为S，四边形的面积为T， ． 3．如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答． （2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又分别是和的平分线， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． ， 的周长． ， 的周长为16． 4．如图在平行四边形中，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行四边形性质和全等三角形证明线段关系，再结合等腰三角形性质求角度． （1）利用平行四边形对边平行且相等，结合全等三角形判定证明，得出，再根据平行四边形，证得； （2）由（1）结论及推出，得到等腰三角形，结合，利用三角形内角和求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ， （2）由（1）知， ， ∴， ∴， ， 5．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 6．在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的面积等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据：得到．推出．结合推出即可求解； （2）过点作于点，根据即可求解； 【详解】（1）解： ． 在中，． ， ． ． （2）解：过点作于点，如图， 即与之间的距离为 题型五 平行四边形的性质与动点相结合 1．如图，在平行四边形中，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒请问是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，的值为或． 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、分类讨论数学思想及一元一次方程的应用等知识与方法，正确地用代数式表示的长及的长是解题的关键． 由，，求得，因为四边形是平行四边形，，所以，因为，所以当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，再分两种情况讨论，一是当时，则，求得；二是当时，则，求得． 【详解】解：存在， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 点在线段上，点在射线上， ， 当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 当点与点重合时，则， ； 当点与点重合时，则， 当时，如图，四边形是平行四边形， ， ， 解得； 当时，如图，四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，的值为或． 2．如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，同时出发，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：______；______；______； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1)，， (2)当运动5秒时，四边形是平行四边形 (3)当运动4秒时，四边形是平行四边形 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据平行四边形的判定定理可得当时，四边形是平行四边形．由此列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）根据平行四边形的判定定理可得当时，四边形是平行四边形．由此列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，，． （2）解：∵， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形． ， 解得：． ∴当运动5秒时，四边形是平行四边形． （3）解：， ∴， 当时，四边形是平行四边形． ∵， ， 解得：． ∴当运动4秒时，四边形是平行四边形． 1．如图，在中，平分交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，推出，，证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解： 平分， ， 平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 2．如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径作圆弧，两弧交于点P，射线交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，结合作图得到是的角平分线，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 根据题意，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 3．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据作图可知，结合平行四边形的性质可得， ，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 作图可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， 在中，， ∴ 解得：． 4．如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点F，根据线段垂直平分线的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点F， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 5．如图，在中，对角线与相交于点，点在上，直线交于点．若，，，则的周长为______． 【答案】 【分析】结合平行四边形的性质推得，，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，最后由即可得解． 【详解】解：中，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 6．如图，的周长为16，对角线相交于点O，点E在上，，则的周长是_________． 【答案】8 【分析】由平行四边形对角线互相平分及得到垂直平分，结合垂直平分线性质、三角形周长与平行四边形周长求解即可． 【详解】解：在中，对角线、相交于点，则， ， 垂直平分， ， 则的周长是， 的周长为16， 的周长是． 7．如图，中，于，于，，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】在四边形中，利用四边形的内角和为，先求出的度数；再根据平行四边形的性质，即可求得的度数；然后在中，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵在四边形中，内角和为，，，， ∴， ∵中，，， ∴，， ∵中，，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 【答案】/40度 【分析】先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，，推出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______，______；（分别用含有t的式子表示） (2)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1) (2)或2或4 【分析】（1）根据速度、路程、时间的关系即可列代数式； （2）分类讨论，根据平行四边形的对边相等列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得； ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得； ∵， 当时，， 解得， ∴综上点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t的值为或2或4． 10．如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，连结． ①若，求的面积； ②设，试求与之间满足的关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据▱中，，结合角平分线的定义可得，即可得证是等边三角形； （2）①根据 ，可得 ，证明，再利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得平行四边形的面积； ②根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 平分， 是等边三角形， （2）解：① ， ， ， ， ，， ， ， ， 当时， 平行四边形的面积 ； ②四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ， 的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍， 设边上的高为，的长为， ，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.2.1 平行四边形及其性质 （分层题型专练） 题型一 利用平行四边形的性质求角度 1．在平行四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．平行四边形中，若，则的度数为（ 　） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，则的度数是___________． 5．在中，，则的度数是_________． 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 1．已知中，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知平行四边形周长为20，一边长4，则另一边长为________． 5．已知平行四边形相邻两边的长度比是，若较长的边长为，则这个平行四边形的周长是___________． 题型三 利用平行四边形的性质进行证明 1．在平行四边形中，对角线和相交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，相交于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，下列结论一定正确的是．（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 5．如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 6．在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 题型四 平行线之间的距离表示及求解 1．铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（   ） A．平行线间的距离处处相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．如图，直线，则直线a，b之间的距离是（    ）    A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 3．已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4cm，AC＝5cm，AD＝6cm，则m与n之间的距离（    ） A．等于5cm B．等于6cm C．等于4cm D．小于或等于4cm 4．如图，已知，，，则与间的距离是________． 5．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 题型一 平行四边形的性质与面积问题 1．已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 2．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 4．已知如图直线，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，与交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 6．如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是________．（填序号） 7．如图，A、B是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的有_____________．（填序号） 题型二 平行四边形性质与尺规作图综合 1．在任意中，通过尺规作图得到射线（作图痕迹如图所示），交边于点E，连接．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 3．如图，在中，与之间的距离为m，请利用尺规作图的方法在上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． 4．如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 5．手工课上设计窗花，需要在三角形剪纸底稿上设计两处面积相等的装饰区域．已知点在边上，对应区域为，请用尺规在边上确定一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） 6．如图，已知平行四边形． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在①的条件下，求证：是等腰三角形． 7．如图，E为的边上一点，，的延长线和的延长线相交于点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接． (2)求证：． 8．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点E；②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点F，连接，交于点O．． (1)求证：； (2)求线段的长． 题型三 平行四边形的性质在网格中的应用 1．如图1、图2均是由边长均为的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形； (2)在图2中，在边上确定一点，使得． 2．如图的正方形方格纸中，点都在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长都是1； (1)在图中画出平行四边形，且，点C、D均在小正方形的顶点上； (2)作出边上的中线（保留做题痕迹）； (3)直接写出（2）中所画线段的长_____． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点均在格点上，以下所画的四边形的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中以为边画一个只是中心对称的四边形，且其面积为． (2)在图②中以为对角线画一个只是中心对称的四边形，且其面积为． (3)在图③中以为边画一个只是中心对称的四边形，且其面积为． 4．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． (1)请画出平移后的； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是_______； (3)若在网格中存在格点P，且，则符合条件的点P有_______个． 题型四 利用平行四边形的性质解决证明与解答综合类问题 1．如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的长． 2．如图，点E在内部，过点A作的平行线、过点D作的平行线交于点F． (1)求证：； (2)连接、，设的面积为S，四边形的面积为T，求的值． 3．如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 4．如图在平行四边形中，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若，，求的度数． 5．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 6．在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 题型五 平行四边形的性质与动点相结合 1．如图，在平行四边形中，，，动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒请问是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，同时出发，设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：______；______；______； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当t为何值时，四边形是平行四边形？ 1．如图，在中，平分交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径作圆弧，两弧交于点P，射线交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（    ） A．5 B． C．6 D． 4．如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，对角线与相交于点，点在上，直线交于点．若，，，则的周长为______． 6．如图，的周长为16，对角线相交于点O，点E在上，，则的周长是_________． 7．如图，中，于，于，，，，则的面积等于__________． 8．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 9．如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______，______；（分别用含有t的式子表示） (2)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值． 10．如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，连结． ①若，求的面积； ②设，试求与之间满足的关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $