第二十三章 一次函数（解答题30题） 热点题型专练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数核心考点，通过30道解答题构建从基础计算到几何综合再到实际应用的完整训练体系，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算与图像|12题（如1题）|求表达式、交点坐标、图像性质|以待定系数法为核心，衔接函数图像与坐标轴关系| |几何综合应用|10题（如4题）|与图形变换、存在性问题结合|融合几何直观与空间观念，深化函数与几何的综合应用| |实际情境建模|8题（如14题）|建立函数关系解决优化问题|培养数据意识与模型观念，体现数学应用价值|

第二十三章 一次函数（解答题30题） 1．如图，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求这个一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两直线相交，一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式． （1）把点坐标代入正比例函数解析式可求得； （2）把、坐标代入一次函数解析式可求得、，可求得答案． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， ， ； （2）解：由（1）得，在一次函数图象上， 代入一次函数解析式可得，解得， 一次函数的解析式为． 2．已知． (1)化简A； (2)若点是直线上的一点，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算进行化简即可； （2）根据解析式，确定，代入求A的值即可． 本题考查了分式的化简求值，整体思想求代数式的值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 【详解】（1）解：A• • ； （2）解：∵， ∴， ∴A． 3．如图，直线分别交x轴、轴于点，，直线交轴于点，两直线交于点． (1)求直线与坐标轴围成的的面积． (2)求点的坐标和的面积． 【答案】(1) (2) ，面积为 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，一次函数与几何综合. （1）由函数解析式，求出与坐标轴的交点即可知道的底与高，即可求得面积； （2）点既在直线上，也在直线上，则可求得点坐标，求出与轴 的交点即可知道三角形的底边长以及底边上的高，进而求出面积. 【详解】（1）解：直线分别交轴、轴于点，， 当时， 解得； 当时， ， ， ， ． （2）解：点在直线上， 把点代入， 得， ∴． 直线交轴于点， 当时， ， 解得， ， . 4．在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，． (1)求直线的函数解析式； (2)在正方形的边上有一点，若，求点坐标； (3)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或或 【分析】（1）首先确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）分点在上、点在上、点在上和点在上四种情况，分别讨论，即可获得答案； （3）分、、几种情况，分情况讨论，结合全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵点在轴正半轴上，且， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的函数解析式为； （2）当点在上时，如下图， 设，则，， ∵，， 若， 则有，解得， 即； 当点在上时，如下图， 设，则，， ∴，， 若， 则有，解得，不合题意，舍去； 当点在上时，如下图， 设，则，， ∴，， 若， 则有，解得， 即； 当点在上时，如下图， 此时，而，故不符合题意，舍去． 综上所述，点坐标为或； （3）存在，点坐标为或或或， 理由如下： 设，分四情况讨论： ①如下图，当时，此时，过点作与点，过点作于点， 则，，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴； ②如下图，当时，此时，过点作与点，交轴于点， 则，，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； ③如下图，当时，此时，过点作与点，过点作于点， 则，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴； ④如下图，当时，此时，过点作于点，过点作，交延长线于点， 则，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴． 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、坐标与图形、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数综合应用等知识，综合性强，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 5．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标； (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为； (2)点坐标为； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握不等式的解法是解答本题的关键． （1）将点坐标代入解析式解出值即可得到解析式； （2）将点坐标代入一次函数解析式求出值，即可得到点的坐标； （3）当时，求出一次函数值，利用不等式得到值的范围即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ， 解得， 一次函数解析式为：； （2）解：点在一次函数图象上， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：当时，一次函数的值都大于一次函数， 两个一次函数的交点坐标为：， 即， ． 6．如图，在平面直角坐标系在中，A，B两点的坐标分别为，． 计算：求直线的解析式； 尝试：直线与直线l关于x轴对称，求直线l的解析式； 发现：观察直线和直线l，两条直线在系数上有什么规律？ 猜想：若直线a为，则直线a与x轴对称的直线b的解析式是______； 验证：证明你的猜想． 【答案】计算： 直线AB的解析式为y=2x-2；尝试：直线l的解析式为y=-2x+2；发现：观察直线和直线l关于x轴对称，两条直线的一次项系数互为相反数,常数项也互为相反数；猜想： y=-mx-n；证明：见详解． 【分析】计算：利用待定系数法求直线AB解析式为y=2x-2； 尝试：求出AB两点关于x轴的对称点坐标，在用待定系数法求直线l关于x轴对称的解析式为y=-2x+2； 发现：观察直线和直线l关于x轴对称，两条直线的一次项系数互为相反数。常数项也互为相反数； 猜想：直线a为，则直线a与x轴对称的直线b的解析式是y=-mx-n即可； 验证：先找出直线a为上的两点，再求出关于x轴对称的两点，利用待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：计算：设直线AB的解析式为y=kx+b，过A，B两点， 代入得 ②-①得， 把代入①得． ∴ 直线AB的解析式为y=2x-2； 尝试：直线与直线l关于x轴对称， 点A在x轴上，点B的对称点为B′（2，-2） 直线l的解析式为y=px+q,过A，B′两点 代入得 解得 ∴直线l的解析式为y=-2x+2； 发现：观察直线和直线l关于x轴对称，两条直线的一次项系数互为相反数,常数项也互为相反数； 猜想：若直线a为，则直线a与x轴对称的直线b的解析式是_y=-mx-n； 故答案为y=-mx-n； 证明：直线a为，x=0，y=n，y轴上点为（0，n）,当y=0时，，解得 x轴上点为（，0） 点（0，n）关于x轴对称点为（0，-n）, 过点（，0）与（0，-n）两点的解析式为y=cx+d， 代入得 解得 ∴y=-mx-n． 【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，轴对称性质，系数规律，掌握待定系数法求直线解析式，轴对称性质，系数规律是解题关键． 7．已知某个等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)写出y与x的函数解析式； (2)确定x的取值范围； (3)画出y与x之间的函数图象． 【答案】(1)y与x的函数解析式为： (2)x的取值范围为 (3)见详解 【分析】本题主要考查一次函数与图形的综合，掌握等腰三角形的定义，一次函数图象的作图方法是关键． （1）根据等腰三角形周长的计算列式，再化为一般式即可； （2）根据三角形三边数量关系列不等式即可求解； （3）根据自变量取值得到函数值，并列表、描点、绘图即可求解． 【详解】（1）解：等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为， ∴， 化为一般式得，， ∴y与x的函数解析式为：； （2）解：根据题意得到，，即， 解得，， ∴x的取值范围为； （3）解：根据题意得到，，列表如下， 作图如下， 8．如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一点，使得的值最小，作出点并写出点的坐标． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)，图见解析 【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得，然后根据点的位置即可得点的坐标； （2）依据割补法即可求得△ABC的面积； （3）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P，然后利用待定系数法求出所在直线的函数解析式，最后根据函数解析式即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：即为所求，如图：    点的坐标为； （2）解：； （3）解：作点关于x轴对称的点，    则， 由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值， 设所在直线的函数解析式为， 将点和B的坐标代入得：，解得， 则所在直线的函数解析式为， 当时，，解得， 故点P的坐标为． 【点睛】本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、待定系数法求一次函数的解析式、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键． 9．已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，求出它与x轴，y轴交点的坐标； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围，并把图象上对应的部分描粗． 【答案】(1)画图见解析；与x轴交点坐标为，与y轴交点的坐标为； (2)，描图见解析 【分析】（1）根据题意画出函数图象，并求出其与坐标轴交点坐标即可； （2）结合函数图象直接得到答案，并描图． 【详解】（1）函数图象如下图所示； ∵一次函数， ∴当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交点坐标为，与y轴交点的坐标为； （2）由图象可得，当时，，把图象上对应的部分描粗见上图． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 10．小王家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示． 新能源汽车充电小常识： 1．新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量充电功率充电时间（） 2．电动汽车电池剩余电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色 表②：已知该新能源汽车在满电状态下行驶过程中仪表盘已行驶里程（千米）与显示电量的部分数据如下表：（不考虑续航缩水问题） 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 0 200 300 350 显示电量（） 100 60 40 30 (1)在直角坐标系中，通过描点连线判断与之间的函数关系，并求出该函数表达式． (2)请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？ (3)已知小王驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，则该汽车在服务区充电的时长为________分钟． 【答案】(1)描点见解析， (2)400公里 (3)6 【分析】（1）根据函数作图步骤，以及表格数据画出函数图象，判断与之间的函数关系，设函数解析式为，将点，代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）解析式求解，即可解题； （3）根据题意计算在满电状态下行驶里程表显示数据，进而得到行驶耗电量，再计算在满电状态下行驶剩余路程里程表显示数据，进而得到行驶剩余路程耗电量，设增加的电量为，解出的值．据此计算出充电时间即可． 搞清耗电量和仪表盘显示电量是解答本题的关键． 【详解】（1）解：在坐标系中描点作图如下：判断该函数为一次函数，设函数解析式为， 将点，代入解析式得：， 解得， 一次函数解析式为． （2）解：由题意，结合（1）可得，当时，， 答：该汽车在满电状态行驶400公里时，电量灯开始变成黄色． （3）解：由题意可得在满电状态下行驶， 行驶里程表显示：，解得， 行驶耗电量为， 剩余路程， 在满电状态下里程表显示：，解得， 据此行驶耗电量为， 设增加的电量为， ，解得． 根据题意，电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为，即小时充电， 的电量需要充电时间为：（小时）， 即充电时间为6分钟． 11．已知一次函数．请解答下列问题． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的平移，根据自变量的范围求函数的取值范围，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图象； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：由，当时，， 当时，， 则一次函数经过点， 如图所示， （2）解：观察图象，当时，y取值范围是． 12．已知：一次函数的图象如图所示：    (1)求出的表达式； (2)请在同一直角坐标系中画出函数的图象，并求出与的交点坐标，根据图象直接写出不等式的解集； (3)求，与y轴所围成三角形的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由已知条件确定直线经过的两个点，利用待定系数法即可求解析式； （2）在同一坐标系中画出与的图象即可求解； （3）分别求出与与y轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）∵一次函数的图象过点， 解得： ∴的表达式为； （2）∵, ∴当时,； 当时,; ∴过,画图如图所示;    由 解得： ∴交点坐标为, 由图象可知,不等式的解集为:； （3），与y轴所围成三角形的面积 【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的知识点，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变，难度适中． 13．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．求： x(元) 15 20 25 y(件) 25 20 15 (1)日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式； (2)求销售价定为30元时，每日的销售利润． 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）把代入函数式求y，根据售价进价销售量利润，求解即可． 本题考查了一次函数的实际问题，正确分析题意找出数量关系，列出相应的函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设函数关系式为，代入，；，；得： ，解得， ∴ 日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式为； （2）解：当时，日销售量为件， ∴每日的销售利润为元． 14．【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 【答案】(1)； (2)为使每日净收益W最大，处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨 【分析】（1）根据小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨可得；然后根据处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元可表示出W； （2）根据题意求出自变量x的取值，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∵每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨， ∴； ∵处理可回收垃圾每吨收益50元，处理厨余垃圾每吨收益30元 ∴； （2）解：根据题意，x应满足， 解得． ∵，， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， ∴为使每日净收益W最大，应处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 15．为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作基地农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？ (3)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是元 (2)那么再次购买了鹰嘴桃斤，水晶梨为斤 (3)w关于n的函数关系式，购买的鹰嘴桃为斤时，商场的利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的实际应用： （1）设鹰嘴桃的单价为元，则水晶梨的单价为元，根据“购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元”即可列式计算； （2）设再次购买了鹰嘴桃斤，则水晶梨为斤，根据“再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，”即可列式计算； （3）依题意，得，因为，随着的增大而增大，结合，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为元，则水晶梨的单价为元， 依题意，得 解得 则（元） 水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是元； （2）解：设再次购买了鹰嘴桃斤，则水晶梨为斤 依题意，得 解得 则（千克） ∴那么再次购买了鹰嘴桃斤，水晶梨为斤； （3）解：∵若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元， ∴购买水晶梨的数量为斤 依题意，得 则随着的增大而增大 ∵经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤 ∴ ∴w关于n的函数关系式 则当时，由最大值，且为 ∴购买的鹰嘴桃为斤时，商场的利润最大，最大利润为元 16．某商店分两次购进两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） 第一次 第二次 (1)求两种商品每件的进价分别是多少元? (2)为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进两种商品共件，其中种商品的数量不少于种商品数量的倍，且种商品以每件元出售，种商品以每件元出售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元 (2)当购进种商品件、种商品件时，销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一次函数的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，结合数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购进种商品件，获得的利润为元，由此列式，结合一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，依题意得： ， 解得， 答：种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元． （2）解：设购进种商品件，获得的利润为元，则购进种商品件，依题 ， ∵种商品的数量不少于种商品数量的倍， ∴， 解得：． ∵在中，， ∴的值随的增大而增大， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴， 答：当购进种商品件、种商品件时，销售利润最大，最大利润为元． 17．某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)（且整数） (2)当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元 (3)该商场应购进甲商品件方可获得最大利润，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据可以写出与之间的函数关系式，然后根据甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，可以求得的取值范围； （2）由函数关系式和的取值范围计算最大值即可； （3）根据题意可以写出最后获得的利润与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和的取值范围，可以求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，， ， 解得， 即与之间的函数关系式是（且整数）； （2）解：与之间的函数关系式是，， 随的增大而增大， ∴当时，y最大，最大值为， 即当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元； （3）解：设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ∵， ， 随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进甲商品件，方可获得最大利润，最大利润为元． 18．某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商店用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价 (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值． 【答案】(1)甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元； (2)总利润的最大值是1780元 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握销售利润问题解分式方程，解不等式，一次函数的增减性，是解题的关键． （1）设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是元，根据“用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果数量多8盒”列方程求解； （2）设该商店购进m盒甲坚果，则购进盒乙坚果，根据“乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍”求得，设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元，得，根据w随m的增大而增大，，且m，均为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，但不合题意， ∴， ∴． 答：甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元； （2）解：设该商店购进m盒甲坚果，则购进盒乙坚果， 根据题意得：， 解得：． 设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元， 则， ∵， ∴w随m的增大而增大， 又∵，且m，均为正整数， ∴当时，w取得最大值， 最大值为（元）． 答：总利润的最大值是1780元． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．    (1)求证：； (2)如图2，将沿轴正方向平移得，当经过点时，求平移的距离及点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴．    (2)平移的距离为，点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据直角三角形的性质及旋转的性质可知，再根据全等三角形的判定可知； （2）利用一次函数与轴，轴的交点可得点的坐标，设，则点的坐标为，再利用待定系数法可得直线的解析式和直线的解析式，进而可得的坐标为，最后根据两点之间的距离公式即可解答； （3）根据题意分①若为边，①若为对角线两种情况，再按照平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵直线与轴、轴相交于、两点， ∴点的坐标为，点的坐标为． 设， ∵， ∴，， ∴点的坐标为． ∴点在直线上， ∴， 解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为，根据题意可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴， ∴平移的距离为．    （3）解：设点的坐标为，点的坐标为． 分两种情况考虑，如图3所示： ①若为边，当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②若为对角线， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述：存在，点的坐标为或．    图3 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数与轴，轴的交点，平行四边形的性质，明确一次函数与几何图形之间的关系是解题的关键． 20．已知：如图，A、B两点坐标为（0，4），B（4，0），P 为线段AB上的任一点，过P作OP的垂线与过B点的x轴的垂线交于点Q，OQ与直线AB交于点M．请探究解答下列问题： (1)判断△OPQ的形状并证明； (2)三条线段AP、PM、BM 之间存在何种相等的数量关系？证明你的结论． (3)当点P在线段 AB上运动时，请问：BP﹣BQ的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)△OPQ是等腰直角三角形，证明见解析 (2)PM2=BM2+AP2，证明见解析 (3)BP-BQ的值没有发生变化，定值为4． 【分析】（1）根据题意得△OAB是等腰直角三角形，过点P作PG⊥AB交x轴于点G，利用ASA证明△GPO≌△BPQ，即可得出△OPQ是等腰直角三角形； （2）以OM为对称轴，作OB的轴对称图形得OB′，连接PB′，则△OBM≌△OB′M，得出BM=B′M，∠OBM=∠OB′M=45°，再证明△AOP≌△B′OP，得出AP=B′P，∠OAP=∠OB′P=45°，证出△PB′M是直角三角形，即可得出结论； （3）先求出直线AB的解析式为：y=-x+4，设点P的坐标为（a，4-a），由勾股定理得OP2+PQ2=OQ2，得出2[a2+（4-a）2]=42+BQ2，解得，BQ2=（2a-4）2，当点P运动至AB的中点时，点Q与点B重合，不合题意，得出a＜2，BQ=4-2a，由BP-BQ=（8-2a）-（4-2a）=4，即可得出结论，定值为4． 【详解】（1）解：△OPQ是等腰直角三角形；理由如下： ∵A（0，4），B（4，0）， ∴OA=OB， ∴△OAB是等腰直角三角形， 过点P作PG⊥AB交x轴于点G， ∴∠PGB=∠PBG=45°， ∴PG=PB， ∵BQ⊥x轴， ∴∠PBQ=∠PBG=∠PGB=45°， ∵OP⊥PQ，PG⊥AB， ∴∠OPQ=∠GPB=90°， ∴∠GPO=∠BPQ， ∴△GPO≌△BPQ(ASA)， ∴PO=PQ， ∴△OPQ是等腰直角三角形； （2）解：PM2=BM2+AP2，理由如下： 以OM为对称轴，作OB的轴对称图形得OB′，连接PB′，如图所示： ∵OB和OB′关于OM对称， ∴△OBM≌△OB′M， ∴BM=B′M，∠OBM=∠OB′M=45°， 由（1）知∠POQ=45°， ∴∠AOP+∠BOM=45°， 又∠BOM=∠B′OM，∠B′OP+∠B′OM=45°， ∴∠AOP=∠B′OP，OA=OB′=4，OP=OP， ∴△AOP≌△B′OP， ∴AP=B′P，∠OAP=∠OB′P=45°， ∴△PB′M是直角三角形， ∴PM2=B′M2+B′P2，即PM2=BM2+AP2； （3）解：不发生变化；理由如下： 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把A（0，4），B（4，0）代入得：， 解得：k=-1，b=4， ∴直线AB的解析式为：y=-x+4， ∴设点P的坐标为（a，4-a）， ∴BP=×（4-a）=8-2a， ∵OP2+PQ2=OQ2， ∴2OP2=OB2+BQ2， ∴2[a2+（4-a）2]=42+BQ2， 解得，BQ2=（2a-4）2， ∵当点P运动至AB的中点时，点Q与点B重合， ∴不合题意， ∴a＜2， ∴BQ=4-2a， ∴BP-BQ=（8-2a）-（4-2a）=4， ∴BP-BQ的值没有发生变化，定值为4． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质与判定、直角三角形的判定、一次函数解析式的确定、勾股定理；本题难度较大、综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线才能得出结论． 21．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 (3)或 【分析】（1）求出两点坐标，进而得到，证明，即可得证； （2）根据，得到，进而得到为的中点，求出点坐标，设，分三种情况进行求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，根据点是的三等分点，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 过点作轴，则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则：， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①，则：或； ②，则：， ∴， ∴； ③，则：，解得：， ∴； 综上：或或或； （3）过点作轴，过点作轴， ∵，为的三等分点， ①当， ∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②当时，则：， ∴， 同理可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 22．如图，平面直角坐标系中A（2，0），D（0，1），过O作OB⊥AD于点E，B为第一象限的点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接BC． （1）求直线AD的解析式； （2）若OD＝BC，求证：△OBC≌△ADO； （3）在第（2）问条件下若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上存在另一个点N，且以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请求出点N的坐标． 【答案】（1）y＝x＋1；（2）见详解；（3）（−3，0）或（3，0）或（7，0） 【分析】（1）设直线AD的解析式为：y＝kx＋b，把A（2，0）、D（0，1）代入y＝kx＋b，解之可得答案； （2）先证明∠OAD=∠COB，再利用AAS证明△OBC≌△ADO即可； （3）先求出B（1，2），再分两种情况：①当ON为边时，根据平行四边形的对边平行且相等可得BM∥AN且BM＝AN，令y＝2求出点M的坐标，从而得到BM的长度；②当ON为对角线时，设N（n，0），M （m，m＋1），列出方程组，即可求解． 【详解】解：（1）设直线AD的解析式为：y＝kx＋b， 把A（2，0）、D（0，1）代入y＝kx＋b，得：， 解得：， ∴直线解析式为y＝x＋1； （2）∵OB⊥AD， ∴∠OAD+∠AOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOC=90°， ∴∠OAD=∠COB， 在△OBC和△ADO中， ∵ ∴△OBC≌△ADO（AAS）； （3）∵△OBC≌△ADO， ∴CO=OA=2， ∵BC=OD=1， ∴B（1，2） ∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ①如图，当ON为边时， ∴BM∥x轴，且BM＝ON， ∴x＋1＝2，解得x＝−2， ∴点M的坐标为（−2，2）， ∴BM＝1−（−2）＝1＋2＝3， N在点O的左边时，ON＝BM＝3， ∴点N的坐标为（−3，0），点N在点O的右边时，ON＝BM＝3， ∴点N的坐标为（3，0）， ②当ON为对角线时，设N（n，0），M （m，m＋1）， 则，解得：， ∴点N的坐标是（7，0）， 综上所述，点N的坐标为（−3，0）或（3，0）或（7，0）． 【点睛】本题是对一次函数的综合考查，主要有坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，综合性较强，画出图形，分类讨论是解题的关键． 23．（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（，0） 【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论； （2）过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论； （3）过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l， ∴∠ACB＝∠ADC． ∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC． ∴△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE， （2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G， 由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°， ∴由（1）得△OFM≌△MGN， ∴MF＝NG，OF＝MG， 设M（m，n）， ∴MF＝m，OF＝n， ∴MG＝n，NG＝m， ∵点N的坐标为（4，2）      ∴ 解得 ∴点M的坐标为（1，3）； （3）如图3， 过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H， 对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4， ∴P（0，4）， ∴OP＝4， 由y＝0得x＝1， ∴Q（1，0），OQ＝1， ∵∠QPR＝45°， ∴∠PSQ＝45°＝∠QPS． ∴PQ＝SQ． ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP． ∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1． ∴S（5，1）， 设直线PR为y＝kx+b，则 ， 解得． ∴直线PR为y＝x+4． 由y＝0得，x＝， ∴R（，0）． 【点睛】 本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 24．如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点的坐标为，，过点的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式及点的坐标． （2）点在轴上从点向点以每秒1个单位长的速度运动（），过点分别作，，交、于点、，连接，点为的中点． ①判断四边形的形状并证明； ②求出为何值时线段的长最短． （3）点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）①矩形，理由见解析；②3；（3），或，或或 【分析】（1）根据有一个角为30°的直角三角形的性质，求出OB，再利用待定系数法即可求解； （2）由有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断出四边形DEBF是矩形，再利用点到直线的距离中垂线短最短即可； （3）设出点P（0，m）的坐标，先利用平行四边形的性质作出图形，求出点Q的坐标，再利用菱形的四边相等求出m即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， 在直线上， ， 直线的解析式为， 点在轴上， ． （2）解：如图1， ①四边形为矩形， ，， 四边形为平行四边形， ∵，， ∴OB=，OC=3， ∴BC===2OB， ∴∠OBC=60°， ∴∠ABC=∠OBC+∠ABO=90°， 平行四边形为矩形． ②为中点， 为矩形的对角线的交点， 要使最短，也就是最短， 只有时，最短， ， ； （3）如图2，在坐标平面内是存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形， 设且，， 直线的解析式为， 作，则直线的解析式为， 作，则直线的解析式为， 作，则直线的解析式为， ①以为对角线时，有， ， 四边形为菱形， ，即：， ， ， ，， ②以为边时， Ⅰ、为对角线时， 点，， ， 点是轴上的点， 或 解析式为， 解析式为或， 四边形为菱形， 点过点且轴的直线上， 或； Ⅱ、以为边时， ， 点， 存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，，或，或或． 【点睛】本题是一次函数中简单的综合题，涉及到待定系数法求直线解析式，平面内两点之间距离公式，利用方程组求直线的交点坐标，解本题的关键是利用两直线平行，比例系数相等，设出直线解析式如直线的解析式为，直线的解析式为，作，则直线的解析式为；作，则直线的解析式为；作，则直线的解析式为． 25．甲、乙两个仓库要向A，B两地调运小麦，已知甲库可以调出80吨，乙库可以调出40吨．A地需要小麦50吨，B地需要70吨，甲、乙两库运往A、B两地的费用如表： A地(元/吨) B地(元/吨) 甲库 10 40 乙库 20 30 (1)设甲库运往A地x吨，总运费为y元，求y与x之间的函数关系式； (2)哪种方案总运费最省？哪种方案总运费最多？并求最省和最多的运费． 【答案】(1)y=3900-20x (2)当x=50时，总运费最省，为2900元；当x=10时，总运费最多，为3700元． 【分析】（1）根据总运费=甲库运往A地需要的费用+甲库运往B地需要的费用+乙库运往A地需要的费用+乙库运往B地需要的费用，经过化简得出y与x的关系式； （2）根据函数的性质求出运费最省和最多的方案． 【详解】（1）已知甲库运往A地x吨， 则从甲库运往B地（80-x）吨，由乙库运往A地（50-x）吨，运往B地（x-10）吨． 所以y=10x+40（80-x）+20（50-x）+30（x-10）=3900-20x； （2）根据已知可知10≤x≤50， 所以，当x=50时，总运费最省，为2900元； 当x=10时，总运费最多，为3700元． 【点睛】一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，利用一次函数求最值时，主要应用一次函数的性质． 26．为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路_________米． (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 【答案】(1)180 (2)甲：；乙： (3)6天 【分析】（1）根据函数图像可得乙工程队在4天内修了720米的公路，由此即可得； （2）先求出两个函数图像的交点坐标为，再利用待定系数法求解即可得； （3）设若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需天完成，求出甲工程队每天修公路的长度和公路的总长度，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：乙工程队每天修公路（米）， 故答案为：180． （2）解：， 两个函数图像的交点坐标为， 设甲工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 将代入得：，解得， 则甲工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 设乙工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， 则乙工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为． （3）解：设若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需天完成， 甲工程队每天修公路（米）， 公路的总长度为（米）， 由题意得：， 解得， 答：若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需6天完成． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键． 27．某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题： （1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间； （2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出自变量的取值范围． 【答案】（1）6h；（2）y=189t﹣2079，（11＜t≤21） 【分析】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间； （2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可． 【详解】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3）， ∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h）， 由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h）， 由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h）， ∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h）， （2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b． 将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得， 解得：k=189，b=﹣2079， 即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，能够准确理解题意并列出解析式是解题关键． 28．已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，图见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为，直线的关系式为，图见解析 (3)的面积为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键． ()对于，当时，，当时，，由此可得点，点的坐标，然后画出直线即可； ()根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点的坐标，画出直线即可； ()根据点在直线上，可设点的坐标为再根据点到轴的距离为得，由此解得，， 进而得点的坐标，然后再求出的面积即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为直线如图所示： （2）解：对于直线，向上平移个单位得：，即直线的关系式为：， 对于，当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 直线如图所示： （3）解：∵点在直线上，∴可设点的坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴，解得，， 此时点的坐标为，， ①当点的坐标为时，如图所示： ； ②当点的坐标为时，如图所示： ∴． 综上所述：的面积为或． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（－1，0）、交y轴于点B（0，3）． (1)求直线l对应的函数表达式； (2)在直线l沿x轴正方向平移t个单位长度，得到直线m．若直线m上存在点C，使得△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值． 【答案】(1)y＝3x＋3； (2)t＝． 【分析】（1）用待定系数法求解析式； （2）过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H，易证△BCH≌△CAG（AAS），设OG＝x，根据全等三角形的性质可得方程2−x＝x，解方程可得C点坐标，即可求出t的值． 【详解】（1）解：设直线l的函数表达式：y＝kx＋b， 代入A（−1，0），B（0，3）， 得， 解得， ∴直线l对应的函数表达式：y＝3x＋3； （2）过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H，图象如下： 则∠BHC＝∠CGA＝90°， ∴∠HBC＋∠HCB＝90°， ∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BCA＝90°，BC＝AC， ∴∠BCH＋∠GCA＝90°， ∴∠HBC＝∠GCA， ∴△BCH≌△CAG（AAS）， ∴BH＝CG，HC＝AG， 设OG＝x，则AG＝HC＝1＋x， ∴CG＝3−（1＋x）＝2−x， ∴2−x＝x， 解得x＝1， ∴C（1，1）， 设直线l平移后的解析式为y＝3（x−t）＋3， 代入C点坐标，得3（1−t）＋3＝1， 解得t＝． 【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，熟练掌握一次函数的性质与等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键，本题综合性较强． 30．如图，平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象为直线，直线，的交点为点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若点为轴上一动点，当时，求点坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析数，函数交点的运算，三角形面积的运算，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数求出的解析式，再联立和运算即可； （2）利用三角形的面积公式列式运算即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 所以，直线的解析式， 联立和可得：， 解得， 则， 所以； （2）点为轴上的点，且， ， 解得：， 点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数（解答题30题） 1．如图，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求这个一次函数的表达式． 2．已知． (1)化简A； (2)若点是直线上的一点，求A的值． 3．如图，直线分别交x轴、轴于点，，直线交轴于点，两直线交于点． (1)求直线与坐标轴围成的的面积． (2)求点的坐标和的面积． 4．在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，． (1)求直线的函数解析式； (2)在正方形的边上有一点，若，求点坐标； (3)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标； (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系在中，A，B两点的坐标分别为，． 计算：求直线的解析式； 尝试：直线与直线l关于x轴对称，求直线l的解析式； 发现：观察直线和直线l，两条直线在系数上有什么规律？ 猜想：若直线a为，则直线a与x轴对称的直线b的解析式是______； 验证：证明你的猜想． 7．已知某个等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)写出y与x的函数解析式； (2)确定x的取值范围； (3)画出y与x之间的函数图象． 8．如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一点，使得的值最小，作出点并写出点的坐标． 9．已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，求出它与x轴，y轴交点的坐标； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围，并把图象上对应的部分描粗． 10．小王家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示． 新能源汽车充电小常识： 1．新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量充电功率充电时间（） 2．电动汽车电池剩余电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色 表②：已知该新能源汽车在满电状态下行驶过程中仪表盘已行驶里程（千米）与显示电量的部分数据如下表：（不考虑续航缩水问题） 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 0 200 300 350 显示电量（） 100 60 40 30 (1)在直角坐标系中，通过描点连线判断与之间的函数关系，并求出该函数表达式． (2)请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？ (3)已知小王驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，则该汽车在服务区充电的时长为________分钟． 11．已知一次函数．请解答下列问题． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是______． 12．已知：一次函数的图象如图所示：    (1)求出的表达式； (2)请在同一直角坐标系中画出函数的图象，并求出与的交点坐标，根据图象直接写出不等式的解集； (3)求，与y轴所围成三角形的面积． 13．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．求： x(元) 15 20 25 y(件) 25 20 15 (1)日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式； (2)求销售价定为30元时，每日的销售利润． 14．【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）． ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． (1)用含x的代数式表示y，则___________；写出总收益W（元）关于x的函数关系式，___________； 【优化决策】 (2)为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？ 15．为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作基地农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？ (3)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 16．某商店分两次购进两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） 第一次 第二次 (1)求两种商品每件的进价分别是多少元? (2)为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进两种商品共件，其中种商品的数量不少于种商品数量的倍，且种商品以每件元出售，种商品以每件元出售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 17．某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 18．某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商店用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价 (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．    (1)求证：； (2)如图2，将沿轴正方向平移得，当经过点时，求平移的距离及点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知：如图，A、B两点坐标为（0，4），B（4，0），P 为线段AB上的任一点，过P作OP的垂线与过B点的x轴的垂线交于点Q，OQ与直线AB交于点M．请探究解答下列问题： (1)判断△OPQ的形状并证明； (2)三条线段AP、PM、BM 之间存在何种相等的数量关系？证明你的结论． (3)当点P在线段 AB上运动时，请问：BP﹣BQ的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 21．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 22．如图，平面直角坐标系中A（2，0），D（0，1），过O作OB⊥AD于点E，B为第一象限的点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接BC． （1）求直线AD的解析式； （2）若OD＝BC，求证：△OBC≌△ADO； （3）在第（2）问条件下若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上存在另一个点N，且以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请求出点N的坐标． 23．（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 24．如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点的坐标为，，过点的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式及点的坐标． （2）点在轴上从点向点以每秒1个单位长的速度运动（），过点分别作，，交、于点、，连接，点为的中点． ①判断四边形的形状并证明； ②求出为何值时线段的长最短． （3）点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 25．甲、乙两个仓库要向A，B两地调运小麦，已知甲库可以调出80吨，乙库可以调出40吨．A地需要小麦50吨，B地需要70吨，甲、乙两库运往A、B两地的费用如表： A地(元/吨) B地(元/吨) 甲库 10 40 乙库 20 30 (1)设甲库运往A地x吨，总运费为y元，求y与x之间的函数关系式； (2)哪种方案总运费最省？哪种方案总运费最多？并求最省和最多的运费． 26．为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路_________米． (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 27．某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题： （1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间； （2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出自变量的取值范围． 28．已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． ∴． 综上所述：的面积为或． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（－1，0）、交y轴于点B（0，3）． (1)求直线l对应的函数表达式； (2)在直线l沿x轴正方向平移t个单位长度，得到直线m．若直线m上存在点C，使得△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值． 30．如图，平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象为直线，直线，的交点为点． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若点为轴上一动点，当时，求点坐标． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $