第二十三章《一次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

**基本信息** 本卷为初中数学一次函数单元复习卷，120分钟120分，融合基础巩固与培优提升，通过实际情境与几何综合题，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一次函数定义、性质、图像及应用|结合弹簧实验（第3题）、电子体重秤（第8题）等真实情境，培养数学眼光| |填空题|5/15|直线平移、数形结合、规律探究|网约车收费函数（第13题）体现模型意识，第15题规律探究发展创新思维| |解答题（一）|3/24|函数表达式、面积计算、销售问题|第18题销售利润最值问题，强化数学思维的逻辑性| |解答题（二）|3/27|函数与方程不等式综合、实际建模|第20题墨盒容量与利润综合，提升应用意识| |解答题（三）|2/24|函数与几何综合、动态问题|第23题正方形与函数结合，发展空间观念与创新意识|

第二十三章《一次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中y一定是x的一次函数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①符合一次函数的定义， ②符合一次函数的定义， ③符合一次函数的定义， ④不符合一次函数的定义， ⑤不符合一次函数的定义， ⑥不符合一次函数的定义， 故选：B． 2．点，，在一次函数(m是常数)的图象上，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴中y的值随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选A． 3．在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体的质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论正确的为（  ） A．弹簧的长度与悬挂物体质量成正比例函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂的物体质量为时，弹簧长度为 【答案】C 【详解】解：∵图象是一条直线，但不过原点， ∴弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系，但不成正比例函数关系，∴A不正确，不符合题意； 当时，，即没有悬挂物体时，弹簧的长度为， ∴B不正确，不符合题意； 当时，，， ∴悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了， ∴C正确，符合题意； 悬挂的物体弹簧的伸长量为， 当时，， ∴当悬挂的物体质量为时，弹簧的长度为， ∴D不正确，不符合题意． 4．下列有关一次函数的说法中，正确的是（    ） A．的值随着值的增大而减小 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【详解】解：对于一次函数，可得， ∵， ∴的值随值的增大而增大，A选项错误； 令，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，B选项正确； ∵，随的增大而增大， ∴当时，，即，C选项错误； ∵， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，D选项错误； 5．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 当时，，解得，即直线与x轴交于， 观察图象可知：关于的不等式的解集为． 6．已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象经过不同的两点和， ∴，且， ∴得， ∵， ∴， ∴随的增大而增大，观察四个选项，选项A符合题意． 7．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 【答案】D 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 8．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（   ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【详解】解：将，代入可得：， 解得：， ∴与踏板上人的体重之间的函数关系式为， 由题意可得：电流为， 两端的电压为：， 故的电阻为（欧）， 在中，当时，， 解得：， 故此人的体重是． 9．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，点是直线上一点．直线与x轴交于点E，当点B到直线的距离最大时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于直线，当，， ∴， ， 当时，， ∴直线经过定点，记为点， 过点作，垂足为点， ∵， ∴当点重合时，点B到直线的距离最大，如图： 记直线与轴交点，连接， 对于直线，当，， 解得， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵ ∴， ∴设直线为， 代入，则， 解得， ∴直线， 当时，则， 解得， ∴此时， 故选：A． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．将直线沿y轴向下平移6个单位长度后得到的直线的表达式是______． 【答案】 【详解】解：将直线沿y轴向下平移6个单位长度后得到的直线的表达式是． 12．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，直线和相交于点．则不等式的解集为____． 【答案】 【详解】解∶∵点在直线上， ∴，解得， ∴直线和的交点为， 由图象可得，不等式的解集为． 13．图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系．根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元．若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其他因素（红绿灯，堵车等），他从家到机场需要的时间是_____小时． 【答案】 【详解】解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米，设当时，y与x的函数关系式为， 把点代入得：，解得， ∴y与x的函数关系式为，当时，，解得， 即他从家到机场需要的时间是小时． 14．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为_______． 【答案】或 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：，∴点，∴，∵，∴，即点； ①如图，当平行x轴时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当不平行x轴时，如下图所示，，    ∵， ∴， ∴， ∴轴，且， ∴， 故答案为：或． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即 ⋯⋯ 观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4为周期循环变化，且数值部分与2的幂次有关， 对于偶数点： 当为奇数时，点在第一象限，坐标为； 当为偶数时，点在第三象限，坐标为； ∵，且1013为奇数 ∴点符合中为奇数的情况，其中， ∴点的坐标为． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数表达式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴． 17．如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【详解】（1）解：设直线的解析式为，将点，代入可得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）知：直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：∵的面积是， ∴的面积是， 设点， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 18．年月日，坦克最新训练画面罕见公开，其作为陆军新一代装甲装备，具有智能化程度高、协同能力强等优势．某模型专卖店计划购进两种坦克模型共个进行销售，已知坦克模型的进价如下表： 类型 进价（元/个） 坦克模型 坦克模型 设购入坦克模型的数量为个，购入坦克模型的总费用为元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)若该模型专卖店购入坦克模型的数量不少于个，求购入坦克模型的总费用至少为多少元？ 【答案】(1) （且为整数） (2)元 【详解】（1）解：由题意得，， ∴与之间的函数关系式为 （且为整数）； （2）解：∵专卖店购入坦克模型的数量不少于个， ∴， ∵ 中，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，的值最小，， 答：购入坦克模型的总费用至少为元． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 20．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 21．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：由图象可知，当时，x的取值范围为； （2）解：将点，代入，得：，解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． （3）解：∵，∴．设，把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得或． ∴或 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点 (1)如图1．过点作，且，连接．求点的坐标 (2)如图2．已知，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点， 当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 根据点在第二象限， ∴； （2）解：①当时，， 如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当时，， 如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 即； ③当时，， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得，， ∴， 假设， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 即； 综上，点的坐标为或或． 23．如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点，联立，解得； ∴；延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，，∴，此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章《一次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中y一定是x的一次函数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．点，，在一次函数(m是常数)的图象上，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 3．在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体的质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论正确的为（  ） A．弹簧的长度与悬挂物体质量成正比例函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂的物体质量为时，弹簧长度为 4．下列有关一次函数的说法中，正确的是（    ） A．的值随着值的增大而减小 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第一、二、四象限 5．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 7．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 8．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（   ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．50 B．55 C．60 D．65 9．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，点是直线上一点．直线与x轴交于点E，当点B到直线的距离最大时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．将直线沿y轴向下平移6个单位长度后得到的直线的表达式是______． 12．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，直线和相交于点．则不等式的解集为____． 13．图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系．根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元．若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其他因素（红绿灯，堵车等），他从家到机场需要的时间是_____小时． 14．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为_______． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 18．年月日，坦克最新训练画面罕见公开，其作为陆军新一代装甲装备，具有智能化程度高、协同能力强等优势．某模型专卖店计划购进两种坦克模型共个进行销售，已知坦克模型的进价如下表： 类型 进价（元/个） 坦克模型 坦克模型 设购入坦克模型的数量为个，购入坦克模型的总费用为元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)若该模型专卖店购入坦克模型的数量不少于个，求购入坦克模型的总费用至少为多少元？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 20．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 21．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点 (1)如图1．过点作，且，连接．求点的坐标 (2)如图2．已知，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，求出点的坐标． 23．如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $