3.1空间向量及其运算(课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

3.1空间向量及其运算 第 3 章空间向量及其应用 沪教版2020选修第一册 01空间向量及其线性运算 03共线向量 02空间向量数量积及其应用 目录 2 与平面的情况一样，在空间中所讨论的向量也是既有大小、又 有方向的量．注意到，在“平面向量”一章中，虽然仅仅讨论平面上的向量，但许多定义都没有特别冠以“平面”二字，有关的概念实际上都适合于本章的讨论，这些概念包括：向量的模、单位向量、零向量、平行向量、相等向量、负向量等． 在某些情况下，可以把空间向量问题归结到平面上来讨论，为 此需要引入一个共面向量的概念：如果一组向量可以通过平行移 动放到同一个平面内，那么称这组向量是共面的．显然任何两个向量都是共面的． 一组共面向量的问题都可当作平面向量来处理和讨论．特别地，空间中任何只涉及一个或两个向量的运算、概念和相关性质，都可直接套用平面向量情形的有关结论．这些运算和概念包括向量的和、向量的差、向量与实数的乘法等，与这些运算相联系的运算律也全部适用．空间中一个向量在一个非零向量方向上的投影以及向量的夹角也可以在一个平面内实现，所以空间向量的数量积与向量的夹角也都可以套用平面向量数量积的定义与有关的计算公式．特别地，空间中两向量垂直的充要条件是其数量积为零． 需要说明的是，虽然加法结合律的证明涉及三个向量，它们可以不共面，但每一步加法都只涉及两个向量，因而有关的结论依旧成立． 类似地，平面向量加法的“首尾规则”在空间依然成立：若干个起点、终点依次相接的向量的和是以第一个向量的起点为起点、以最后一个向量的终点为终点的向量． 1.空间向量及其 线性运算 1、定义：平面内既有大小又有方向的量。 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量 A B C D 2、表示法： 知识回顾 向量加法的三角形法则 a b 向量加法的平行四边形法则 b a 向量减法的三角形法则 a b a － b a ＋ b a (k>0) k a (k<0) k 向量的数乘 a 首尾相接,首尾连 共起点,对角线 共起点,连终点,指向被减向量 知识回顾 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和 为零向量。 知识回顾 2.空间向量数量积 及其应用 与 反向 O A B O A 与 同向 O A B B 记作 与 垂直， O A B 注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的 1.平面向量的夹角： 知识回顾 平面向量的数量积的定义： 2.平面向量的数量积 15 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角， 当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量， 再代入计算. O A B 注意： 　①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　②零向量与任意向量的数量积等于零。 对于非零向量　　 ，有： 思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量 在向量 上的投影有什么意义？向量 向向量 的投影呢？向量 向向量 的投影呢？ 图1.1-11 3. 共线向量 问题1　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在 实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因 此也适用于空间向量. 1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于 直线l上任意一点P，可知 ＝λa，把与向量a平行的非零 向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示. a＝λb 方向向量 归纳总结 　平行(共线)向量 平行或重合 a＝λb 方向向量 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同 一条直线上. 反思感悟　向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ， 使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的 线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否 存在实数λ， THANKS “ ” 思考　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法