辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（二）

**基本信息** 辽宁葫芦岛市高二下学期数学期末复习卷，聚焦向量、数列、导数、概率统计核心知识，通过促销活动、AI知识竞赛等真实情境设计解答题，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量夹角、数列前n项和、导数极值|基础概念辨析，如向量夹角计算| |多选题|3/18|随机变量分布、函数极值与零点、不等式求最值|多维度能力考查，如函数零点与参数范围分析| |填空题|3/15|回归直线残差、不等式恒成立、函数零点个数|抽象问题具体化，如回归残差计算| |解答题|5/77|概率期望、数列通项与求和、统计分布、函数单调性与最值|情境化综合应用，如AI知识竞赛统计分布列及期望，函数零点与极值点证明|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平面向量，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 4．已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 5．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则 10．已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 11．已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为_______． 13．，若不等式在上恒成立，则正数的取值范围是__________. 14．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 16．（15分）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 17．（15分）2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； (3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 18．（17分）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 19．（17分）已知函数 (1)求的值． (2)讨论的单调性． (3)若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平面向量，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【分析】求出向量与的坐标，利用夹角公式求解即可. 【详解】因为，，所以，， 设与的夹角为，则，所以，所以. 2．已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【详解】已知， 当时，， 当时，， 时，，， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 3．已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 【答案】C 【难度】0.75 【分析】利用，可求得，再利用求解即可. 【详解】因为，即，所以， 可得数列为等比数列，首项为，公比， 所以， 所以. 4．已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【分析】先求导，再求，利用导数研究单调性进而求得函数的极大值，进而求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以， 所以， 令，解得或， 由或，由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为：. 5．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【分析】根据条件概率及全概率知识点求解即可． 【详解】由题可知，，， ，， 则， 综上，选项B错误． 6．若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.54 【分析】根据题意由推得，代入函数解析式消元后，求出导数，根据的取值分类讨论验证，即得参数的范围. 【详解】由求导得， 因是函数的极大值点，则，即， 所以， 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取极大值，符合题意； 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取极小值，不符合题意； 若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意； 则的取值范围是. 7．若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足，代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 8．已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数在上为增函数，结合函数的奇偶性定义判断其为偶函数，将不等式化为，利用单调性即可求解. 【详解】设，求导得，因， 则当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递减. 又为偶函数，，则，即函数是偶函数， 又，则， 则（*），由可得，则， 将（*）两边同除以，可得，即， 由是偶函数可得，又因函数在上单调递增， 可得且，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则 【答案】ACD 【难度】0.73 【分析】本题结合正态分布、二项分布、古典概型、离散型随机变量分布列的性质，对各选项逐一计算判断即可。 【详解】对于A：随机变量，因与关于对称，故，故A正确. 对于B：随机变量，，则，故B错误； 对于C：“至少有一名女生”的对立事件为“选取的4人全是男生”，而全是男生的概率为， 故至少有一名女生的概率为，故C正确； 对于D：由离散型随机变量分布列性质，所有概率之和为，即， 裂项化简得，解得，因此，故D正确. 10．已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 【答案】AC 【难度】0.55 【详解】已知，求导得， 选项A：因为，有两个不同的实根， 且在两侧导数符号改变，因此有两个极值点，A选项正确； 选项B：令，得，即，解得， 因此直线与图象有个公共点，B选项错误； 选项C：的极大值为（恒成立）， 极小值为有三个零点等价于极小值小于， 即，结合得，即，C选项正确； 选项D：当时，，所以在上恒成立， 在单调递减，， 当时，，不满足，D选项错误. 11．已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.42 【详解】对于A，因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为_______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】由回归方程求出，再求出新样本的平均数，，从而求出回归直线方程，再求出预测值，即可得到残差. 【详解】将代入，， 去除两个样本点和后，所以，，， 故去除样本点和后的回归直线方程为， 当时，，则样本的残差为． 13．，若不等式在上恒成立，则正数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.5 【分析】先证时，故原不等式恒成立等价于在上递增，求导后分离参数得，构造函数，求得函数值域即可得的取值范围. 【详解】设，则， ∴在上单调递增，∴，∴， ，∴，又在上恒成立， ∴需要在上为增函数，即对，恒成立， 即在上恒成立； 令，，则， 当时，，在上单调递减，故， ∴，解得正数． 14．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】依题意作出函数的图象和值域，结合函数图象，根据函数与方程的关系，分类讨论解的个数，即可求解. 【详解】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【难度】0.74 【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可. （2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 16．（15分）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，求当时的最小值． 【答案】(1) (2)16 【难度】0.65 【分析】（1）根据与的关系求解即可. （2）根据（1）求出，再利用对数的性质得到，进而求出的最小值. 【详解】（1）， ． ，．     当时，．     当时，．     经检验，当时，也符合此式， ． （2），     ．     又，，解得． ，的最小值为16． 17．（15分）2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； (3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 【答案】(1) (2) 的分布列为 0 1 2 数学期望为 (3) 的分布列为 0 1 2 3 方差为 【难度】0.66 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解； （2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数， 服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望； （3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率， 服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差. 【详解】（1）依题意，得 ，解得 ． （2）依题意，成绩在的人有 （人）， 成绩在的人有 （人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以 的所有可能取值为0，1，2， 则，， 所以 的分布列为 0 1 2 所以． （3）因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有 （人）， 所以 的可能取值为0，1，2，3，且． 所以，， ，． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以． 18．（17分）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增 (2) 【难度】0.62 【分析】（1）对进行求导，然后分类讨论确定的单调性. （2）分和三种情况讨论，确定在上的最小值，然后解关于的方程，求解出即可. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，此时在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，恒成立，此时在上单调递增，，不合题意，舍去. ②当时，恒成立，此时在上单调递减，，解得，不合题意，舍去. ③当时，解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，，解得. 综上，实数的值为. 19．（17分）已知函数 (1)求的值． (2)讨论的单调性． (3)若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 【答案】(1)0 (2)时，在单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增. (3)证明见解析 【难度】0.24 【分析】（1）根据解析式直接计算得解； （2）求出函数导数，分类讨论求单调性即可； （3）利用极值点的概念转化为证明，再由函数的零点的定义得出，转化为证明，构造函数证明即可. 【详解】（1）. （2）定义域为，． 令， 1°时,，即，则在单调递增； 2°时，当，即时，，在单调递增； 当，即时，由可解得， 所以或时， 在，上单调递增， 时，，在上单调递减． 综上，时，在单调递增； 时，在上单调递减， 在，上单调递增. （3）由（2）知若存在两个极值点，则，且和为的两根， 不妨令，，，且． 在上单调递增，上单调递减，上单调递增，且， 在上存在零点，上存在零点，上存在零点， 则有， 要证， 只要证， ，，， 又， 也是的零点，即， 下证 ，． 只要证， 只要证：， 令，， 在上单调递增，． 即，得证． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $