第10讲 函数的基本性质（培优讲义）新高一数学人教A版

第10讲 函数的基本性质（培优讲义） 2 知识点01 函数的单调性与单调区间 2 知识点02 函数的最值 3 知识点03 函数的奇偶性 3 4 题型1 判断或证明函数的单调性，求单调区间 4 题型2 单调性法求函数值域、最值 5 题型2 利用奇偶性求值、求解析式 5 题型3 判断奇偶函数 6 6 题型1 利用单调性解不等式 6 题型2 已知函数单调性，求参数的值 / 取值范围 7 题型3 根据函数性质比较大小 7 题型4 利用函数性质解决恒成立或有解的问题 8 题型五利用函数奇偶性求参 9 9 9 课标要点 1.会求一次、简单二次、反比例函数单调区间，能求闭区间上最值； 2.会判断简单整式、分式函数奇偶性，利用f(-x)进行简单求值； 3.结合单调性解不含参数的抽象不等式，同步考虑定义域约束； 4. 二次函数定轴动区间、动轴定区间求最值。 5.分段函数在R上单调，分段衔接处参数范围讨论； 6.奇偶性 + 单调性综合脱f解复杂抽象不等式； 知识点01 函数的单调性与单调区间 函数的单调性与单调区间 1. 定义 设函数： 增函数：在D上 ； 减函数在D上 。 区间D称为单调区间。 2. 判断 / 证明单调性常用方法 ：取值→作差 / 作商→变形→判符号→下结论； ：图象上升为增，下降为减； 运算性质 增 + 增 = ；减 + 减 = 增-减 = ；减-增 = ，单调性相反。 3. 重要注意点 单调区间不能随意取并集； 单调性必须指明区间，不能只说函数是增 / 减函数。 练习 1．已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 知识点02 函数的最值 函数的最值 1. 最值定义 设 最大值：为 ； 最小值：为 。 2. 求最值常用思路 单调函数：区间端点取最值； 二次函数：配方法结合定义域； 图象法：观察图象最高点、最低点； 复合函数：分层求值域得到最值 练习 1．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 知识点03 函数的奇偶性 函数的奇偶性 1. 前提条件 定义域关于原点对称，不满足则函数非奇非偶。 2. 定义 奇函数：，图象关于 中心对称；若在； 偶函数：，图象关于 对称； 特殊：定义域关于原点对称）既是奇函数又是偶函数。 3. 奇偶函数运算性质 奇 ± 奇 = ；偶 ± 偶 = ；奇 ± 偶 = 奇 × 奇 = ；偶 × 偶 = ；奇 × 偶 = 4. 拓展：奇偶性 + 单调性综合 奇函数在对称区间上单调性相同； 偶函数在对称区间上单调性相反。 练习 1．已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 题型1 判断或证明函数的单调性，求单调区间 1．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 3．已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 方法技巧 方法 1：定义法（证明题必用）标准步骤：任取，设；计算，因式分解、通分、配方变形；根据判断整体正负；则递增，反之递减。 方法 2：复合函数 “同增异减”步骤：求定义域→拆分内外层→分别判断单调性→同增异减写区间。 题型2 单调性法求函数值域、最值 1．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 方法技巧 · 单调函数：直接代入区间左右端点，一大一小即为最值； · 二次函数闭区间最值三步： ① 配方得对称轴；② 判断对称轴与区间位置；③ 分别算端点、顶点函数值对比； 对勾函数：先找极值点，对比极值点是否在给定区间内；复合函数：由内到外逐层求值域，值域边界即为最值。 题型2 利用奇偶性求值、求解析式 1．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 2．已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 3．已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 4．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 方法技巧 1. 已知x>0解析式，求x<0解析式通用模板 ① 设x<0，则-x>0，代入已知解析式求f(-x)； ② 奇函数：f(x)=-f(-x)；偶函数：f(x)=f(-x)； ③ 单独补充f(0)（奇函数定义域含0时f(0)=0）。 题型3 判断奇偶函数 1．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型1 利用单调性解不等式 1．已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 方法技巧 · 利用奇偶性统一自变量形式：偶函数f(a)<f(b)⇔f(|a|)<f(|b|)； · 利用单调性脱去f符号：增函数f(m)<f(n)⇒m<n，减函数f(m)<f(n)⇒m>n； · 必须附加定义域限制：所有自变量都要在函数定义域内； 题型2 已知函数单调性，求参数的值 / 取值范围 1．已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 · 偶函数统一转化为正数自变量：f(-m)=f(|m|)； · 奇函数对称区间单调性不变，直接转换正负； · 全部转化到同一个单调区间内； · 根据自变量大小结合单调性，比较函数值。 题型3 根据函数性质比较大小 1．设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    3．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．设是R上的奇函数且周期为3，，则（   ） A． B． C． D． 题型4 利用函数性质解决恒成立或有解的问题 1．设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 2．已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 3．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______． 4．若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 方法技巧 · 恒成立： · 存在有解： · 双函数存在任意型：对任意 题型五利用函数奇偶性求参 1．若函数是上的偶函数，则的值为______． 2．已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 2．（2026·全国2卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 10．若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 11．已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 12．函数的单调递增区间是__________. 13．设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 13．已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 14．已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 15．已知函数，证明：函数在上单调递减； 16．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 17．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 18．设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的基本性质（培优讲义） 2 知识点01 函数的单调性与单调区间 2 知识点02 函数的最值 3 知识点03 函数的奇偶性 4 5 题型1 判断或证明函数的单调性，求单调区间 5 题型2 单调性法求函数值域、最值 7 题型2 利用奇偶性求值、求解析式 8 题型3 判断奇偶函数 10 11 题型1 利用单调性解不等式 11 题型2 已知函数单调性，求参数的值 / 取值范围 13 题型3 根据函数性质比较大小 14 题型4 利用函数性质解决恒成立或有解的问题 16 题型五利用函数奇偶性求参 19 20 21 课标要点 1.会求一次、简单二次、反比例函数单调区间，能求闭区间上最值； 2.会判断简单整式、分式函数奇偶性，利用f(-x)进行简单求值； 3.结合单调性解不含参数的抽象不等式，同步考虑定义域约束； 4. 二次函数定轴动区间、动轴定区间求最值。 5.分段函数在R上单调，分段衔接处参数范围讨论； 6.奇偶性 + 单调性综合脱f解复杂抽象不等式. 知识点01 函数的单调性与单调区间 函数的单调性与单调区间 1. 定义 设函数： 增函数：在D上单调递增； 减函数在D上单调递减。 区间D称为单调区间。 2. 判断 / 证明单调性常用方法 定义法：取值→作差 / 作商→变形→判符号→下结论； 图象法：图象上升为增，下降为减； 运算性质 增 + 增 = 增；减 + 减 = 减 增-减 = 增；减-增 = 减 ，单调性相反。 3. 重要注意点 单调区间不能随意取并集； 单调性必须指明区间，不能只说函数是增 / 减函数。 练习 1．已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 知识点02 函数的最值 函数的最值 1. 最值定义 设 最大值：为最大值； 最小值：为最小值。 2. 求最值常用思路 单调函数：区间端点取最值； 二次函数：配方法结合定义域； 图象法：观察图象最高点、最低点； 复合函数：分层求值域得到最值 练习 1．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 知识点03 函数的奇偶性 函数的奇偶性 1. 前提条件 定义域关于原点对称，不满足则函数非奇非偶。 2. 定义 奇函数：，图象关于原点中心对称；若在； 偶函数：，图象关于y轴对称； 特殊：定义域关于原点对称）既是奇函数又是偶函数。 3. 奇偶函数运算性质 奇 ± 奇 = 奇；偶 ± 偶 = 偶；奇 ± 偶 = 非奇非偶 奇 × 奇 = 偶；偶 × 偶 = 偶；奇 × 偶 = 奇 4. 拓展：奇偶性 + 单调性综合 奇函数在对称区间上单调性相同； 偶函数在对称区间上单调性相反。 练习 1．已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 题型1 判断或证明函数的单调性，求单调区间 1．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 2．已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 3．已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 方法技巧 方法 1：定义法（证明题必用）标准步骤：任取，设；计算，因式分解、通分、配方变形；根据判断整体正负；则递增，反之递减。 方法 2：复合函数 “同增异减”步骤：求定义域→拆分内外层→分别判断单调性→同增异减写区间。 题型2 单调性法求函数值域、最值 1．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 方法技巧 · 单调函数：直接代入区间左右端点，一大一小即为最值； · 二次函数闭区间最值三步： ① 配方得对称轴；② 判断对称轴与区间位置；③ 分别算端点、顶点函数值对比； 对勾函数：先找极值点，对比极值点是否在给定区间内；复合函数：由内到外逐层求值域，值域边界即为最值。 题型2 利用奇偶性求值、求解析式 1．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 2．已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 3．已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由为奇函数，得，令即可求解． 【详解】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 4．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 方法技巧 1. 已知x>0解析式，求x<0解析式通用模板 ① 设x<0，则-x>0，代入已知解析式求f(-x)； ② 奇函数：f(x)=-f(-x)；偶函数：f(x)=f(-x)； ③ 单独补充f(0)（奇函数定义域含0时f(0)=0）。 题型3 判断奇偶函数 1．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 2．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 题型1 利用单调性解不等式 1．已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 2．已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 3．若函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为，再由单调性求解． 【详解】由，则，得， 因为函数在上单调递增，所以， 故选：D 4．已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性及定义域得到不等式组，解得即可. 【详解】因为是定义在上的减函数， 则不等式等价于， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：D 方法技巧 · 利用奇偶性统一自变量形式：偶函数f(a)<f(b)⇔f(|a|)<f(|b|)； · 利用单调性脱去f符号：增函数f(m)<f(n)⇒m<n，减函数f(m)<f(n)⇒m>n； · 必须附加定义域限制：所有自变量都要在函数定义域内； 题型2 已知函数单调性，求参数的值 / 取值范围 1．已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 方法技巧 · 偶函数统一转化为正数自变量：f(-m)=f(|m|)； · 奇函数对称区间单调性不变，直接转换正负； · 全部转化到同一个单调区间内； · 根据自变量大小结合单调性，比较函数值。 题型3 根据函数性质比较大小 1．设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，， 所以， 则. 2．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 3．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用是上的偶函数可知，，再根据在区间上单调递增即可判断大小. 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 4．设是R上的奇函数且周期为3，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由奇函数的性质及周期性依次求出对应函数值，判断各项的正误. 【详解】由题设可得且，， 由，则，且，A错，B对， 由，则，C错， 由，且，则，D对. 题型4 利用函数性质解决恒成立或有解的问题 1．设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【分析】将不等式转化为，根据对勾函数的单调性求解. 【详解】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需，的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减，则， 解得，不合题意； 当时，在上单调递增，则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，． 2．已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 3．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据已知条件化简得出，对于恒成立，再构造函数应用单调性得出最大值即可求出参数范围. 【详解】函数，对任意，有恒成立， 即对任意，，则，对于恒成立， 令，在上单调递减， 所以，则实数的取值范围是. 故答案为： 4．若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 【答案】 【分析】把不等式化为，先由右侧非负得到，从而，从而原不等式恒成立问题可转化为在上恒成立，.通过分析函数的最大值和最小值可求参数的取值范围. 【详解】不等式整理为.因，两边同除以得. 该式成立要求，即.故，否则在时无解. 故在上恒成立， 即存在实数，使得在上恒成立（▲）， 设，，其中， 因单调递增，故 . 在处取得最小值，在单调递减，在单调递增. ①时， . 由▲可得，解得，即，故. ②时， . 由▲可得，化简得，解得. 结合，得. 综上，实数的取值范围为 方法技巧 · 恒成立： · 存在有解： · 双函数存在任意型：对任意 题型五利用函数奇偶性求参 1．若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 2．已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求解，并验证即可； （2）由函数的单调性和奇偶性，通过去“”法，结合分离参数、基本不等式求最值，即可求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且函数是奇函数， 由，得，则， 经检验是奇函数，满足题意，故． （2） 由解析式可知在上单调递增，且为奇函数， ∴由恒成立，得， 所以，时恒成立，即在上恒成立， 令，，则 又，当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围为． 1．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 2．（2026·全国2卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 3．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 4．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 6．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 7．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 8．函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 9．已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性得出，再结合函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 10．若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域及其单调性，结合已知不等式求参数范围. 【详解】由题意，则，可得. 故选：C 11．已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 12．函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以对勾函数的单调递增区间是. 故答案为： 13．设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 13．已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【分析】对二次项系数分类讨论并结合二次函数的性质建立方程，进而求解参数即可. 【详解】对于二次函数，先讨论的正负， 当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得， 当时，， 当时，， 因为，所以，即最大值为， 而函数有最大值，则，解得， 当时，最大值在对称轴处取得， 当时，， 可得，解得，不符合题意，排除， 综上，的值为. 故答案为： 14．已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由对勾函数的单调性得到在和的单调性上，讨论与情况下，的最大值和最小值，再根据的值域为，列出的方程或不等式，求解即得. 【详解】， 由对勾函数的单调性知， 时，单调递减；时，单调递增； ∴在处取得极小值 若，则在上单调递减，，， 因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为的值域为，所以，解得， 又，所以. 综上， 故答案为：. 15．已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 16．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 17．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 18．设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求时的函数解析式，即可得. 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $