第12讲 幂函数（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第12讲 幂函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求幂函数的解析式（利用幂函数定义求参数值） 题型2 求幂函数的定义域 题型3 幂型函数过定点问题 题型4 比较幂值大小 题型5 利用幂函数的单调性解不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 幂函数 1. 理解概念：通过具体实例，引导学生观察、归纳、抽象出幂函数的共同特征，理解幂函数的概念，并能判断一个函数是否为幂函数. 2. 掌握图象与性质：会画出 、 、 、 、 这五个常见幂函数的图象，并结合图象掌握它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等核心性质. 3. 体会思想方法：在探究幂函数图象与性质的过程中，体会“从特殊到一般”、“数形结合”的数学思想. 4. 应用解决问题：能够运用幂函数的性质解决一些简单问题，如比较大小、求解析式等. 学习重点：幂函数的概念，及五个常见幂函数（ 、 、 、 、 ）的图象及其性质. 学习难点：（1）从五个具体幂函数的解析式中观察共性，抽象概括出幂函数的概念. （2）观察、归纳五个幂函数图象的共同特征与差异，并由此概括出幂函数的一般性质，特别是指数 的取值对图象形状、位置及单调性的影响. （3）灵活运用幂函数的性质解决比较大小、解不等式等综合性问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 幂函数的概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 即时即练 下列函数是幂函数的是（ ） A. y＝(2x)α B. y＝2x5 C.y＝x6＋6 D.y＝x0.5 【答案】D 【详解】由幂函数的定义可得，A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数；B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数；C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数，D选项是幂函数. 【方法总结】 判断函数是幂函数的方法： 函数解析式必须满足以下特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量，且只有x；（3）xα的指数α为常数，（4）必须是xα的单一形式，不能加减任何数或式子； 辅助记忆口诀：“系数为1底为 x ，指数为常无加减.” 知识点02 幂函数的图象与性质 1、五个具体幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数 、 、 、 、 ，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2、五个具体幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 即时即练 如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性结合特值法进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递减， 当时，幂函数在上单调递增， 可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数， 当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为， 当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为， 令，分别代入，，得到，， 因为，可知曲线、对应的值分别为、. 故选：A. 【方法总结】 解决幂函数图象问题应把握的原则： (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于， 或)来判断． 题型1 求幂函数的解析式（利用幂函数定义求参数值） 【例1】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【答案】 【详解】设幂函数为，则，，得，得， 所以，定义域为. 故所求幂函数的解析式为： 【方法总结】 1、待定系数法求幂函数的解析式： 关键在于：幂函数的形式是固定的 ，因此我们只需确定指数 的值即可. 具体步骤如下： （1）设出标准形式:根据幂函数的定义，首先设所求的幂函数解析式为： （2）代入已知条件：题目通常会给出一个该函数图像经过的点 .将这些点的坐标代入上一步设出的方程中. （3）解方程求参数：通过解上述方程求出 的值. （4）写出最终解析式：将简单验证以下所求的 值是否满足题意，然后得出幂函数的解析式. 2、利用幂函数定义求参数的方法步骤： （1）令系数为 1：比如函数 是幂函数 ，则令括号内的部分等于 1，即 . （2）解方程：求出参数 的值. （3）检验：将求出的 值代回原函数，检查是否符合幂函数的其他特征（比如单调性、奇偶性）. 【变式1-1】“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，可得，所以函数为幂函数， 反之，由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 故“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 题型2 求幂函数的定义域 【例2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 【方法总结】 求幂函数定义域的3条黄金法则： 第1条：指数 是正整数（如 ）：求定义域规则：底数 取 全体实数，即定义域：R 第2条：指数 是零或负整数（如 ）：求定义域规则：底数不能为 0，即定义域： 第3条：指数 是分数（如 ）：求定义域规则：先约分，再看分母奇偶. （1）分母为偶数（如 ）：相当于开偶次方，底数必须 ,（若指数为负，则 ）; （2）分母为奇数（如 ）：相当于开奇次方，若指数为负分数，则；若指数为正分数，则R）. 【变式2-1】已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】因为函数为幂函数，所以， 计算可得或， 当时，，定义域为，所以舍去，所以. 题型3 幂型函数过定点问题 【例3】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________． 【答案】 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 【方法总结】 幂型函数过定点问题的解法： 对形如的幂型函数，三步求该类型函数过的定点坐标： 第1步：令底数，解方程可得定点的横坐标 第2步，将代入函数解析式，即可求得定点的纵坐标： 第3步：下结论，该类型函数过的定点坐标为 【变式3-1】函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 题型4 比较幂值大小 【例4】若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 【方法总结】 比较幂值大小的3种方法： 直接法：当幂的指数相同时，可利用幂函数的单调性来比较； 转化法：当幂的指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小； 中间量法：底数、指数均不同，无法用单调性时，选取 0、1 等中间值搭桥，间接比较大小． 【变式4-1】若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 题型5 利用幂函数的单调性解不等式 【例5】若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得. 【方法总结】 解与幂函数相关的不等式的步骤 第 1 步：确定可利用的幂函数. 第 2 步：借助相应幂函数的单调性，将不等式大小关系转化为自变量的大小关系. 注意：幂函数的定义域以及分类讨论. 【变式5-1】已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是． 一、单选题 1．下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】形如（为常数）的函数为幂函数，故A、B、C均为幂函数，D错误. 2．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数为增函数，所以， 所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为， 由图可知，曲线相应n值为. 3．已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【答案】C 【详解】设，则，所以，故，， 又，所以是奇函数，且在上单调递增. 4．在同一坐标系内，函数和 的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾. 综上，只有选项C符合条件. 5．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 6．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 二、多选题 7．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 8．幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 9．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 三、填空题 10．已知幂函数的定义域为，则_________. 【答案】4 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以或， 又因为函数的定义域为， 当时，定义域为不符合题意； 当时，符合题意； 所以，则。 11．幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________． 【答案】 【详解】因为幂函数过点，可解得， 所以， 故， 当时，， 故恒过定点. 12．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则关于的不等式的实数取值范围为_____． 【答案】 【详解】因为幂函数的图像关于轴对称，则函数是偶函数， 即为偶数，所以为奇数，又在上单调递减， ，解得，又，， 故不等式可化为， 函数的定义域为，且在与上均单调递减， 因而或或， 解得或或， 即满足所求不等式的实数取值范围为. 四、解答题 13．已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的解析式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 14．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1)；(2)；(3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求幂函数的解析式（利用幂函数定义求参数值） 题型2 求幂函数的定义域 题型3 幂型函数过定点问题 题型4 比较幂值大小 题型5 利用幂函数的单调性解不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 幂函数 1. 理解概念：通过具体实例，引导学生观察、归纳、抽象出幂函数的共同特征，理解幂函数的概念，并能判断一个函数是否为幂函数. 2. 掌握图象与性质：会画出 、 、 、 、 这五个常见幂函数的图象，并结合图象掌握它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等核心性质. 3. 体会思想方法：在探究幂函数图象与性质的过程中，体会“从特殊到一般”、“数形结合”的数学思想. 4. 应用解决问题：能够运用幂函数的性质解决一些简单问题，如比较大小、求解析式等. 学习重点：幂函数的概念，及五个常见幂函数（ 、 、 、 、 ）的图象及其性质. 学习难点：（1）从五个具体幂函数的解析式中观察共性，抽象概括出幂函数的概念. （2）观察、归纳五个幂函数图象的共同特征与差异，并由此概括出幂函数的一般性质，特别是指数 的取值对图象形状、位置及单调性的影响. （3）灵活运用幂函数的性质解决比较大小、解不等式等综合性问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 幂函数的概念 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 即时即练 下列函数是幂函数的是（ ） A. y＝(2x)α B. y＝2x5 C.y＝x6＋6 D.y＝x0.5 【方法总结】 判断函数是幂函数的方法： 函数解析式必须满足以下特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量，且只有x；（3）xα的指数α为常数，（4）必须是xα的单一形式，不能加减任何数或式子； 辅助记忆口诀：“系数为1底为 x ，指数为常无加减.” 知识点02 幂函数的图象与性质 1、五个具体幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数 、 、 、 、 ，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2、五个具体幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、一般幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减， 在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴， 当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 即时即练 如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决幂函数图象问题应把握的原则： (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于， 或)来判断． 题型1 求幂函数的解析式（利用幂函数定义求参数值） 【例1】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【方法总结】 1、待定系数法求幂函数的解析式： 关键在于：幂函数的形式是固定的 ，因此我们只需确定指数 的值即可. 具体步骤如下： （1）设出标准形式:根据幂函数的定义，首先设所求的幂函数解析式为： （2）代入已知条件：题目通常会给出一个该函数图像经过的点 .将这些点的坐标代入上一步设出的方程中. （3）解方程求参数：通过解上述方程求出 的值. （4）写出最终解析式：将简单验证以下所求的 值是否满足题意，然后得出幂函数的解析式. 2、利用幂函数定义求参数的方法步骤： （1）令系数为 1：比如函数 是幂函数 ，则令括号内的部分等于 1，即 . （2）解方程：求出参数 的值. （3）检验：将求出的 值代回原函数，检查是否符合幂函数的其他特征（比如单调性、奇偶性）. 【变式1-1】“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 求幂函数的定义域 【例2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 求幂函数定义域的3条黄金法则： 第1条：指数 是正整数（如 ）：求定义域规则：底数 取 全体实数，即定义域：R 第2条：指数 是零或负整数（如 ）：求定义域规则：底数不能为 0，即定义域： 第3条：指数 是分数（如 ）：求定义域规则：先约分，再看分母奇偶. （1）分母为偶数（如 ）：相当于开偶次方，底数必须 ,（若指数为负，则 ）; （2）分母为奇数（如 ）：相当于开奇次方，若指数为负分数，则；若指数为正分数，则R）. 【变式2-1】已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 题型3 幂型函数过定点问题 【例3】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________． 幂型函数过定点问题的解法： 对形如的幂型函数，三步求该类型函数过的定点坐标： 第1步：令底数，解方程可得定点的横坐标 第2步，将代入函数解析式，即可求得定点的纵坐标： 第3步：下结论，该类型函数过的定点坐标为 【变式3-1】函数的图象过定点______. 题型4 比较幂值大小 【例4】若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 比较幂值大小的3种方法： 直接法：当幂的指数相同时，可利用幂函数的单调性来比较； 转化法：当幂的指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小； 中间量法：底数、指数均不同，无法用单调性时，选取 0、1 等中间值搭桥，间接比较大小． 【变式4-1】若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型5 利用幂函数的单调性解不等式 【例5】若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 解与幂函数相关的不等式的步骤 第 1 步：确定可利用的幂函数. 第 2 步：借助相应幂函数的单调性，将不等式大小关系转化为自变量的大小关系. 注意：幂函数的定义域以及分类讨论. 【变式5-1】已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 一、单选题 1．下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 4．在同一坐标系内，函数和 的图像可能是（    ） A． B． C． D． 5．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 6．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 二、多选题 7．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 8．幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 9．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 三、填空题 10．已知幂函数的定义域为，则_________. 11．幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________． 12．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则关于的不等式的实数取值范围为_____． 四、解答题 13．已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 14．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $