第10讲 函数的单调性与最大（小）值（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第10讲 函数的单调性与最大（小）值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 函数单调性的判断与证明 题型2 求函数的单调区间 题型3 利用函数的单调性比较大小、解不等式、求参数范围 题型4 利用函数的单调性求最值 题型5 根据函数的最值求参数值（范围） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 增（减）函数 单调区间 单调性应用 最大（小）值 1. 从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性； 2. 会用函数单调性的定义判断(或证明）一些函数的单调性； 3. 会求一些具体函数的单调区间； 4. 会利用函数单调性求参数范围、比较大小、解不等式等 学习重点：理理解增函数与减函数、单调区间的概念，会用定义法证明函数单调性. 学习难点：定义法证明函数的单调性，以及函数单调性的灵活应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的单调性 1、函数单调性的定义 （1）设函数 的定义域为 .如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ： 当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是单调递增函数； 当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是单调递减函数. （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 即时即练 下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（ ） A. 必须取自同一个单调区间内 B. 可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C. 通常规定 来比较对应函数值的大小 D. 需是区间内任意的两个值 【答案】D 【详解】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 【方法总结】 单调性定义中 和 的三个特性： (1) 同区间性： 和 同属于一个单调区间 ； (2) 任意性：任取 和 ，不可用特殊值代替； (3) 有序性：需要区分 的大小，通常规定 . 2、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 即时即练 若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确. 【方法总结】 根据函数图象写单调区间的方法： 1、看趋势定增减：图像从左到右上升 → 递增区间；下降 → 递减区间； 2、按转折点分段：以图像的顶点、分段点、间断点为界，把图像分成连续段； 3、规范书写：①区间用逗号隔开，禁止用 “∪” 连接多个单调区间；②定义域内的端点可写闭区间，不在定义域内的端点只能写开区间. 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当 时，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递减. 反比例函数 当 时，在 和 上单调递减； 当 时，在 和 上单调递增. 二次函数 当 时，在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递增，在 上单调递减. 4、定义法证明函数单调性的步骤 ① 取值：设 为该区间内任意的两个值，且 ； ② 作差变形：作差 ，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③ 定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④ 判断：根据定义做出结论. 知识点02 单调函数的运算性质 若函数 与 在区间 上具有单调性，则在区间 上具有以下性质： （1） 与 （ 为常数）具有相同的单调性. （2） 与 的单调性相反. （3） 当 时， 与 单调性相同；当 时， 与 单调性相反. （4） 若 ，则 与 具有相同的单调性. （5） 若 恒为正值或恒为负值，则：当 时， 与 具有相反的单调性；当 时， 与 具有相同的单调性. （6） 与 的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：增 + 增 = 增；减 + 减 = 减；增 - 减 = 增；减 - 增 = 减. 即时即练 （多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． 【方法总结】 熟悉以上六条单调函数的运算性质，注意每个性质的应用条件，然后即可逐一判断得解. 知识点03 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在 ，，使得对于任意的 ，都有 ，那么我们称 是函数 的最大值，即当 时， 是函数 的最大值，记作 . （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标. 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在 ，，使得对于任意的 ，都有 ，那么我们称 是函数 的最小值，即当 时， 是函数 的最小值，记作 . （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. 3、利用函数的单调性求最值的常用结论 (1) 若函数 在区间 上单调递增，则最小值为 ，最大值为 ，值域为 ； (2) 若函数 在区间 上单调递减，则最小值为 ，最大值为 ，值域为 ； (3) 如果函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，那么函数 的最大值为 ，最小值为 和 中的较小者； (4) 如果函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，那么函数 的最小值为 ，最大值为 和 中的较大者. 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值. 即时即练 函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时取最大值为. 【方法总结】 利用函数的单调性求最大（小）值的一般步骤： 第 1 步：判断函数的单调性； 第 2 步：利用函数的单调性求出最大（小）值. 常用的四个结论如上面所示. 题型1 函数单调性的判断与证明 【例1】讨论函数，在上的单调性 【答案】答案见解析 【详解】∵函数= ∴任取，且， 则 =- = ， ∴当，即时， ，即，是减函数； 当，即 时， ，即，是增函数. 【方法总结】 利用定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤： 1、取值：设, 是该区间内的任意两个值，且. 2、作差变形：作差或，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. 3、定号：确定或的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论. 4、结论：根据定义得出结论. 【变式1-1】利用定义证明函数在区间上为减函数. 【答案】证明见解析 【详解】任取且， 则， 因为且，可得， 所以，即，即， 所以函数是上的减函数. 题型2 求函数的单调区间 【例2】（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间. 【详解】由已知，函数为偶函数， 当时，；当时，； 可画出函数图像，图下图所示： 所以函数的单调递减区间为、. 【方法总结】 求函数单调区间的注意事项与策略： (1) 函数的单调区间是函数定义域的子区间，故求函数的单调区间时，必须先求函数的定义域； (2) 一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，一般不能用 “∪” 连接两个单调区间，而要用 “和” 或 “,” 连接； (3) 求函数的单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其性质得出单调区间。若所给函数不是上述函数，但函数图象可以作出，则根据图象写出单调区间. 【变式2-1】（多选）已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为函数的定义域为，对称轴为直线，开口向下，所以函数满足，所以. 又且图象的对称轴为直线，所以由二次函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间是和. 题型3 利用函数的单调性比较大小、解不等式、求参数范围 【例3】（1）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. （2）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：当时，， 则函数在上单调递减，且 当时，，则函数在上单调递减， 且， 所以函数在上是减函数， 又， 所以，解得：， 实数的取值范围是. （3）若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【详解】因为在区间上是增函数， 所以在区间上是增函数， 则，即， 同时在区间上恒成立， 又在区间上是增函数， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （4）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】根据题意得，解得，所以实数的取值范围是. 【方法总结】 1、求已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是： （1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间D（带参数）， （2）已知单调区间一定会是D的子集，然后利用集合子集关系求参数范围. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 3、求解函数不等式时，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. 4、利用分段函数单调性求参数的取值（范围）：根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 【变式3-1】已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对都有，所以 又因为在上单调递减，且， 所以，即． 题型4 利用函数的单调性求最值 【例4】函数在区间上的最大值为________；最小值为________． 【答案】 【详解】易知函数在区间上单调递减，在区间上也是单调递减， 所以函数在该区间上是单调递减， 所以，. 【方法总结】 利用单调性求最值：首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值. 【变式4-1】已知函数，则当时；的最大值为______． 【答案】9 【详解】易知，所以， 由反比例函数性质可知当时，取最大值，； 题型5 根据函数的最值求参 【例5】已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可知开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2， 所以. 【方法总结】 对于函数解析式中含参数的最值问题，一般需要用参数表示出最大（小）值，进而列出方程或不等式求解，注意不等式中等号的取舍. 【变式5-1】已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，， 则当时，， 当时，， 所以根据二次函数和一次函数的值域可知：的值域是； 当时，由一次函数在区间上单调递增，故无最大值， 当时，，可得有最大值，故不符合题意， 当时，二次函数对称轴为， 故二次函数在区间上有最大值， 一次函数在区间上单调递减，即， 所以必有最大值，故不符合题意， 综上的取值范围是， 一、单选题 1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数分别在及上单调递增， 但存在，使，故A不符合题意； 对于C，函数分别在及上单调递增， 但存在，使，故C不符合题意； 对于D，函数分别在及上单调递减， 但存在，，使，故D不符合题意； 只有B完全符合增函数的定义，具有单调性. 2．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 3．若函数是上的增函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上单调递增，且，即，解得，实数的取值范围是. 4．用长度为的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设隔墙的长为，场地面积为，则， 所以当时，有最大值，为，故隔墙的长为时，矩形场地的面积最大． 5．若，是，这两个函数中的较小者，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】BD 【详解】如图，作出函数和函数的图象，联立易得，， 根据图象易知，所以函数在处取得最大值，无最小值. 6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 【答案】B 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 观察可得函数有最小值0，没有最大值. 二、多选题 7．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项A，易知在上单调递减，所以选项A错误； 对于选项B，因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数， 又的对称轴为，在区间上单调递增，所以选项B正确； 对于选项C，因为的定义域为，关于原点对称，但， 故为奇函数，所以选项C错误； 对于选项D，因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数， 当时，又在区间上单调递增，所以选项D正确； 8．如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是 A． B． C．若，则 D． E． 【答案】CD 【详解】因为在上是增函数，所以对于任意的，与的符号相同，故A，B正确，D不正确； C中，若，则，所以C不正确，E正确. 9．函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【详解】当时，的对称轴为，函数在上单调性递增，此条件对无限制； 若函数是上的增函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 三、填空题 10．已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______． 【答案】 和 【详解】由图象知在上，单调递增区间为和，单调递减区间为． 11．已知二次函数的图像关于y轴对称，且在上为增函数，则，，的大小关系为______________________. 【答案】>>. 【详解】因为二次函数的图像关于y轴对称，所以， 因为在上为增函数，且 0<3<4，所以<< 12．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 四、解答题 13．已知函数是定义域为(－2，2)的奇函数，且． (1)求a，b的值； (2)判断函数f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明； (3)若函数f(x)满足＞0，求m的取值范围． 【答案】(1)或，；(2)单调增函数，证明见解析；(3) 【详解】（1）因为是定义在(－2，2)的奇函数，故可得，则； 因为，故可得，解得或； 综上所述：或，. （2）是(－2，2)上的单调增函数，证明如下： 由（1）可知：，不妨设， 则，即， 故是上的单调增函数，即证. （3）＞0等价于， 是奇函数，故可得， 由可知，是单调增函数，故 即，解得或. 又的定义域为，则，且 解得，且. 综上所述：. 14．已知函数，为实数. （1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）若对任意，都有成立，求实数的值； （3）若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2)-4.(3) 见解析. 【详解】解：（1）函数在区间上是单调函数， 函数的对称轴为， 所以对称轴或 ，所以或. （2）因为函数对任意，都有成立， 所以的图像关于直线对称， 所以， 得． （3）若即时， 函数在单调递增， 故.   若即时， 函数在单调递减， 故.   若即时， 函数在单调递减， 函数在单调递增， 故. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的单调性与最大（小）值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 函数单调性的判断与证明 题型2 求函数的单调区间 题型3 利用函数的单调性比较大小、解不等式、求参数范围 题型4 利用函数的单调性求最值 题型5 根据函数的最值求参数值（范围） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 增（减）函数 单调区间 单调性应用 最大（小）值 1. 从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性； 2. 会用函数单调性的定义判断(或证明）一些函数的单调性； 3. 会求一些具体函数的单调区间； 4. 会利用函数单调性求参数范围、比较大小、解不等式等 学习重点：理理解增函数与减函数、单调区间的概念，会用定义法证明函数单调性. 学习难点：定义法证明函数的单调性，以及函数单调性的灵活应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的单调性 1、函数单调性的定义 （1）设函数 的定义域为 .如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ： 当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是单调递增函数； 当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是单调递减函数. （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 即时即练 下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（ ） A. 必须取自同一个单调区间内 B. 可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C. 通常规定 来比较对应函数值的大小 D. 需是区间内任意的两个值 【答案】D 【详解】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 【方法总结】 单调性定义中 和 的三个特性： (1) 同区间性： 和 同属于一个单调区间 ； (2) 任意性：任取 和 ，不可用特殊值代替； (3) 有序性：需要区分 的大小，通常规定 . 2、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 即时即练 若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确. 【方法总结】 根据函数图象写单调区间的方法： 1、看趋势定增减：图像从左到右上升 → 递增区间；下降 → 递减区间； 2、按转折点分段：以图像的顶点、分段点、间断点为界，把图像分成连续段； 3、规范书写：①区间用逗号隔开，禁止用 “∪” 连接多个单调区间；②定义域内的端点可写闭区间，不在定义域内的端点只能写开区间. 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当 时，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递减. 反比例函数 当 时，在 和 上单调递减； 当 时，在 和 上单调递增. 二次函数 当 时，在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递增，在 上单调递减. 4、定义法证明函数单调性的步骤 ① 取值：设 为该区间内任意的两个值，且 ； ② 作差变形：作差 ，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③ 定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④ 判断：根据定义做出结论. 知识点02 单调函数的运算性质 若函数 与 在区间 上具有单调性，则在区间 上具有以下性质： （1） 与 （ 为常数）具有相同的单调性. （2） 与 的单调性相反. （3） 当 时， 与 单调性相同；当 时， 与 单调性相反. （4） 若 ，则 与 具有相同的单调性. （5） 若 恒为正值或恒为负值，则：当 时， 与 具有相反的单调性；当 时， 与 具有相同的单调性. （6） 与 的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：增 + 增 = 增；减 + 减 = 减；增 - 减 = 增；减 - 增 = 减. 即时即练 （多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． 【方法总结】 熟悉以上六条单调函数的运算性质，注意每个性质的应用条件，然后即可逐一判断得解. 知识点03 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在 ，，使得对于任意的 ，都有 ，那么我们称 是函数 的最大值，即当 时， 是函数 的最大值，记作 . （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标. 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在 ，，使得对于任意的 ，都有 ，那么我们称 是函数 的最小值，即当 时， 是函数 的最小值，记作 . （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. 3、利用函数的单调性求最值的常用结论 (1) 若函数 在区间 上单调递增，则最小值为 ，最大值为 ，值域为 ； (2) 若函数 在区间 上单调递减，则最小值为 ，最大值为 ，值域为 ； (3) 如果函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，那么函数 的最大值为 ，最小值为 和 中的较小者； (4) 如果函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，那么函数 的最小值为 ，最大值为 和 中的较大者. 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值. 即时即练 函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时取最大值为. 【方法总结】 利用函数的单调性求最大（小）值的一般步骤： 第 1 步：判断函数的单调性； 第 2 步：利用函数的单调性求出最大（小）值. 常用的四个结论如上面所示. 题型1 函数单调性的判断与证明 【例1】讨论函数，在上的单调性 【答案】答案见解析 【详解】∵函数= ∴任取，且， 则 =- = ， ∴当，即时， ，即，是减函数； 当，即 时， ，即，是增函数. 【方法总结】 利用定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤： 1、取值：设, 是该区间内的任意两个值，且. 2、作差变形：作差或，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. 3、定号：确定或的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论. 4、结论：根据定义得出结论. 【变式1-1】利用定义证明函数在区间上为减函数. 【答案】证明见解析 【详解】任取且， 则， 因为且，可得， 所以，即，即， 所以函数是上的减函数. 题型2 求函数的单调区间 【例2】（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间. 【详解】由已知，函数为偶函数， 当时，；当时，； 可画出函数图像，图下图所示： 所以函数的单调递减区间为、. 【方法总结】 求函数单调区间的注意事项与策略： (1) 函数的单调区间是函数定义域的子区间，故求函数的单调区间时，必须先求函数的定义域； (2) 一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，一般不能用 “∪” 连接两个单调区间，而要用 “和” 或 “,” 连接； (3) 求函数的单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其性质得出单调区间。若所给函数不是上述函数，但函数图象可以作出，则根据图象写出单调区间. 【变式2-1】（多选）已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为函数的定义域为，对称轴为直线，开口向下，所以函数满足，所以. 又且图象的对称轴为直线，所以由二次函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间是和. 题型3 利用函数的单调性比较大小、解不等式、求参数范围 【例3】（1）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. （2）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：当时，， 则函数在上单调递减，且 当时，，则函数在上单调递减， 且， 所以函数在上是减函数， 又， 所以，解得：， 实数的取值范围是. （3）若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【详解】因为在区间上是增函数， 所以在区间上是增函数， 则，即， 同时在区间上恒成立， 又在区间上是增函数， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （4）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】根据题意得，解得，所以实数的取值范围是. 【方法总结】 1、求已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是： （1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间D（带参数）， （2）已知单调区间一定会是D的子集，然后利用集合子集关系求参数范围. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 3、求解函数不等式时，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. 4、利用分段函数单调性求参数的取值（范围）：根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 【变式3-1】已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对都有，所以 又因为在上单调递减，且， 所以，即． 题型4 利用函数的单调性求最值 【例4】函数在区间上的最大值为________；最小值为________． 【答案】 【详解】易知函数在区间上单调递减，在区间上也是单调递减， 所以函数在该区间上是单调递减， 所以，. 【方法总结】 利用单调性求最值：首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值. 【变式4-1】已知函数，则当时；的最大值为______． 【答案】9 【详解】易知，所以， 由反比例函数性质可知当时，取最大值，； 题型5 根据函数的最值求参 【例5】已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可知开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2， 所以. 【方法总结】 对于函数解析式中含参数的最值问题，一般需要用参数表示出最大（小）值，进而列出方程或不等式求解，注意不等式中等号的取舍. 【变式5-1】已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，， 则当时，， 当时，， 所以根据二次函数和一次函数的值域可知：的值域是； 当时，由一次函数在区间上单调递增，故无最大值， 当时，，可得有最大值，故不符合题意， 当时，二次函数对称轴为， 故二次函数在区间上有最大值， 一次函数在区间上单调递减，即， 所以必有最大值，故不符合题意， 综上的取值范围是， 一、单选题 1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数分别在及上单调递增， 但存在，使，故A不符合题意； 对于C，函数分别在及上单调递增， 但存在，使，故C不符合题意； 对于D，函数分别在及上单调递减， 但存在，，使，故D不符合题意； 只有B完全符合增函数的定义，具有单调性. 2．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 3．若函数是上的增函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上单调递增，且，即，解得，实数的取值范围是. 4．用长度为的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设隔墙的长为，场地面积为，则， 所以当时，有最大值，为，故隔墙的长为时，矩形场地的面积最大． 5．若，是，这两个函数中的较小者，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】BD 【详解】如图，作出函数和函数的图象，联立易得，， 根据图象易知，所以函数在处取得最大值，无最小值. 6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 【答案】B 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 观察可得函数有最小值0，没有最大值. 二、多选题 7．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项A，易知在上单调递减，所以选项A错误； 对于选项B，因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数， 又的对称轴为，在区间上单调递增，所以选项B正确； 对于选项C，因为的定义域为，关于原点对称，但， 故为奇函数，所以选项C错误； 对于选项D，因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数， 当时，又在区间上单调递增，所以选项D正确； 8．如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是 A． B． C．若，则 D． E． 【答案】CD 【详解】因为在上是增函数，所以对于任意的，与的符号相同，故A，B正确，D不正确； C中，若，则，所以C不正确，E正确. 9．函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【详解】当时，的对称轴为，函数在上单调性递增，此条件对无限制； 若函数是上的增函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 三、填空题 10．已知函数的图象如图．根据图象写出的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______． 【答案】 和 【详解】由图象知在上，单调递增区间为和，单调递减区间为． 11．已知二次函数的图像关于y轴对称，且在上为增函数，则，，的大小关系为______________________. 【答案】>>. 【详解】因为二次函数的图像关于y轴对称，所以， 因为在上为增函数，且 0<3<4，所以<< 12．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 四、解答题 13．已知函数是定义域为(－2，2)的奇函数，且． (1)求a，b的值； (2)判断函数f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明； (3)若函数f(x)满足＞0，求m的取值范围． 【答案】(1)或，；(2)单调增函数，证明见解析；(3) 【详解】（1）因为是定义在(－2，2)的奇函数，故可得，则； 因为，故可得，解得或； 综上所述：或，. （2）是(－2，2)上的单调增函数，证明如下： 由（1）可知：，不妨设， 则，即， 故是上的单调增函数，即证. （3）＞0等价于， 是奇函数，故可得， 由可知，是单调增函数，故 即，解得或. 又的定义域为，则，且 解得，且. 综上所述：. 14．已知函数，为实数. （1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）若对任意，都有成立，求实数的值； （3）若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2)-4.(3) 见解析. 【详解】解：（1）函数在区间上是单调函数， 函数的对称轴为， 所以对称轴或 ，所以或. （2）因为函数对任意，都有成立， 所以的图像关于直线对称， 所以， 得． （3）若即时， 函数在单调递增， 故.   若即时， 函数在单调递减， 故.   若即时， 函数在单调递减， 函数在单调递增， 故. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $