第09讲 函数的概念及其表示（培优讲义）新高一数学人教A版

第09讲 函数的概念及其表示（培优讲义） 2 知识点01 函数的基本概念 2 知识点02 函数的表示方法 3 知识点03 函数的定义域及其值域 3 知识点04 函数的解析式 4 知识点05 分段函数 4 知识点06 抽象函数及复合函数 4 5 题型1 判断对应关系是否为函数 5 题型2 求函数定义域 5 题型3 求函数解析式 6 题型4 基础函数值域求解 6 8 题型2 含参定义域 / 值域分类讨论 8 题型3 抽象函数定义域问题 9 题型4 分段函数含参零点 / 不等式恒成立 10 10 11 课标要点 1.通过集合对应实例抽象出函数定义，建立 “集合 — 对应 — 函数” 的逻辑框架。 2.在求定义域、值域、解析式过程中，训练代数变形、不等式求解、换元转化能力。 3.处理含参定义域、分段含参恒成立问题时，学会分类讨论的完整流程。 4.借助函数图象判断函数、求值域、分析分段函数，建立数形结合解题习惯。 5.解决复合函数、抽象函数题型时，学会整体代换思想。 知识点01 函数的基本概念 1. 函数定义 设非空实数集A、B，若按照某种确定对应关系f，使对于集合A中 ，在集合B中都有 与之对应，则称为从集合A到集合B的一个函数。 记作： x：自变量；A：定义域； y：函数值；函数值集合：值域；值域。 2. 函数三要素 、 、 ；两个函数相等定义域相同且对应关系完全一致。 3. 判断对应关系是否为函数核心标准 任取定义域内一个自变量x，只能对应唯一一个y； ：不是函数； 、 ：是函数。 练习 1．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 函数的表示方法 ：用代数式表达y与x关系，优点：便于计算、研究性质； ：平面直角坐标系中曲线 / 折线，优点：直观看出增减、最值； ：表格罗列x、y对应值，优点：直接读取对应数值。 知识点03 函数的定义域及其值域 函数的定义域 1. 常规基础限制条件（求定义域必考） 分式分母 偶次根式被开方数 零次幂底数 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）。 2. 复合函数定义域 已知定义域：令 解不等式； 已知定义域：求上的值域。 3. 含参数定义域分类讨论 解析式含字母参数时，分参数不同取值范围讨论不等式有无解，写出对应定义域。 函数值域基础求解方法 ：简单一次、反比例函数直接判断； ：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； ：分式一次比一次型； ：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； ：画图看y取值范围。 练习 1．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 知识点04 函数的解析式 ：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； ：已知，反解x代入，化简得，替换t为x； ：对整体，直接写出； ：含等式，联立方程消元求解。 练习 1．已知函数对任意的都有，则________． 知识点05 分段函数 定义：定义域分成多个区间，不同区间对应不同解析式； 求值规则：先判断自变量落在哪一段区间，再代入对应式子计算； 练习 1．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 知识点06 抽象函数及复合函数 1. 抽象函数 无具体解析式，仅给出满足的关系式； 常考题型：求函数值、推导单调性奇偶性、解抽象不等式。 2. 复合函数 形式：； 重难点：复合函数定义域、复合函数值域、复合函数单调性。 练习 1．函数的值域是_____. 题型1 判断对应关系是否为函数 1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 唯一对应准则：一个 x 只能对应一个 y，一对多直接排除 题型2 求函数定义域 1．函数的定义域为______. 2．函数的定义域为___________． 3．函数的定义域是________ 4．函数的定义域为__________. 题型3 求函数解析式 1．（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 2．（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 3．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 4．若一次函数满足，求的函数解析式. 方法技巧 · 待定系数法（已知函数类型：一次、二次、反比例） 步骤：①设标准解析式；②代入已知点 / 等式；③解方程求系数；④回代写出解析式。 · 换元法（已知f(g(x))求f(x)） 步骤：①令t=g(x)；②反解出x用t表示；③代入原式化简得到f(t)；④替换t为x，标注f(x)定义域。 · 题型4 基础函数值域求解 1．（1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 2．函数的值域为______． 3．已知，则的值域为________． 4．函数的值域为________. 5．函数的值域是______. 6．函数的值域是__. 方法技巧 · 观察法 适用：一次函数、反比例、简单根式；直接根据单调性、取值范围判断 y 范围。 · 配方法（二次函数 / 带二次根式） 步骤：①对二次式配方；②结合定义域看对称轴位置；③取最大、最小值，写出值域。 · 分离常数法（一次分式） 分子拆分出分母倍数，分离成常数 + 反比例型，利用反比例函数范围求值域。 · 换元法（含、复合根式） 令根式整体为t，写出t≥0等限制，转化为二次 / 一次函数求值域。 · 判别式法（分式二次比二次 整理为关于 x 的一元二次方程，方程有实数解→，解 y 的不等式；注意二次项系数为 0 单独验证。 题型5 分段函数综合问题 1．已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 2．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知函数，求； 7．已知函数，若，求实数的取值范围． 方法技巧 给自变量 x，先判断 x 落在哪一段定义域，再代入对应式子；多层嵌套f(f(x))从内向外逐层计算。 题型2 含参定义域 / 值域分类讨论 1．已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 2．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 3．已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 方法技巧 无解析式，只看括号内整体范围一致： 题型3 抽象函数定义域问题 1．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 3．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 第一步：先求内层u=g(x)在定义域上的值域（u 的范围）； 第二步：把 u 当作f(u)的自变量，求f(u)在 u 范围内的值域，即为复合函数值域。 题型4 分段函数含参零点 / 不等式恒成立 1．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 方法技巧 · 利用已知条件推导f(x)单调性； · 脱去f，转化括号内自变量大小关系； · 同时满足所有括号内自变量在f(x定义域内，联立不等式求解。 1．（2026·全国I卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合．若当时，，求； 2．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 3．下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 5．已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 8．函数的值域是______． 9．已知函数是一次函数，若，则______． 10．已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 11．函数，则__________． 12．已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的概念及其表示（培优讲义） 2 知识点01 函数的基本概念 2 知识点02 函数的表示方法 3 知识点03 函数的定义域及其值域 4 知识点04 函数的解析式 5 知识点05 分段函数 5 知识点06 抽象函数及复合函数 6 7 题型1 判断对应关系是否为函数 7 题型2 求函数定义域 8 题型3 求函数解析式 10 题型4 基础函数值域求解 13 19 题型2 含参定义域 / 值域分类讨论 19 题型3 抽象函数定义域问题 21 题型4 分段函数含参零点 / 不等式恒成立 23 25 25 课标要点 1.通过集合对应实例抽象出函数定义，建立 “集合 — 对应 — 函数” 的逻辑框架。 2.在求定义域、值域、解析式过程中，训练代数变形、不等式求解、换元转化能力。 3.处理含参定义域、分段含参恒成立问题时，学会分类讨论的完整流程。 4.借助函数图象判断函数、求值域、分析分段函数，建立数形结合解题习惯。 5.解决复合函数、抽象函数题型时，学会整体代换思想。 知识点01 函数的基本概念 1. 函数定义 设非空实数集A、B，若按照某种确定对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，则称为从集合A到集合B的一个函数。 记作： x：自变量；A：定义域； y：函数值；函数值集合：值域；值域。 2. 函数三要素 定义域、对应关系、值域；两个函数相等定义域相同且对应关系完全一致。 3. 判断对应关系是否为函数核心标准 任取定义域内一个自变量x，只能对应唯一一个y； 一对多：不是函数；一对一、多对一：是函数。 练习 1．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 知识点02 函数的表示方法 解析法：用代数式表达y与x关系，优点：便于计算、研究性质； 图象法：平面直角坐标系中曲线 / 折线，优点：直观看出增减、最值； 列表法：表格罗列x、y对应值，优点：直接读取对应数值。 知识点03 函数的定义域及其值域 函数的定义域 1. 常规基础限制条件（求定义域必考） 分式分母； 偶次根式被开方数； 零次幂底数； 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）。 2. 复合函数定义域 已知定义域：令解不等式； 已知定义域：求上的值域。 3. 含参数定义域分类讨论 解析式含字母参数时，分参数不同取值范围讨论不等式有无解，写出对应定义域。 函数值域基础求解方法 观察法：简单一次、反比例函数直接判断； 配方法：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； 分离常数法：分式一次比一次型； 换元法：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； 图象法：画图看y取值范围。 练习 1．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 知识点04 函数的解析式 待定系数法：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； 换元法：已知，反解x代入，化简得，替换t为x； 配凑法：对整体，直接写出； 方程组法：含等式，联立方程消元求解。 练习 1．已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 知识点05 分段函数 定义：定义域分成多个区间，不同区间对应不同解析式； 求值规则：先判断自变量落在哪一段区间，再代入对应式子计算； 高频题型： 分段函数不等式求解； 分段函数零点问题（含参数分类讨论）； 恒成立求参数范围。 练习 1．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【答案】 【详解】作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 作出图象如图所示． 利用数形结合易知的定义域为，值域为． 知识点06 抽象函数及复合函数 1. 抽象函数 无具体解析式，仅给出满足的关系式； 常考题型：求函数值、推导单调性奇偶性、解抽象不等式。 2. 复合函数 形式：； 重难点：复合函数定义域、复合函数值域、复合函数单调性。 练习 1．函数的值域是_____. 【答案】 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 题型1 判断对应关系是否为函数 1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 2．下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 方法技巧 唯一对应准则：一个 x 只能对应一个 y，一对多直接排除 题型2 求函数定义域 1．函数的定义域为______. 【答案】 【详解】要使有意义，则，解得且， 的定义域为. 2．函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解后取交集得到定义域. 【详解】要使函数有意义， ，解得 故答案为：. 3．函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 4．函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【详解】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型3 求函数解析式 1．（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 2．（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可； 【详解】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 3．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 4．若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 方法技巧 · 待定系数法（已知函数类型：一次、二次、反比例） 步骤：①设标准解析式；②代入已知点 / 等式；③解方程求系数；④回代写出解析式。 · 换元法（已知f(g(x))求f(x)） 步骤：①令t=g(x)；②反解出x用t表示；③代入原式化简得到f(t)；④替换t为x，标注f(x)定义域。 · 题型4 基础函数值域求解 1．（1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 2．函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 3．已知，则的值域为________． 【答案】 【分析】由二次函数的性质得出值域. 【详解】由，开口向上，对称轴为， 当时，，当时，， 则的值域为. 故答案为：. 4．函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 5．函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 6．函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 方法技巧 · 观察法 适用：一次函数、反比例、简单根式；直接根据单调性、取值范围判断 y 范围。 · 配方法（二次函数 / 带二次根式） 步骤：①对二次式配方；②结合定义域看对称轴位置；③取最大、最小值，写出值域。 · 分离常数法（一次分式） 分子拆分出分母倍数，分离成常数 + 反比例型，利用反比例函数范围求值域。 · 换元法（含、复合根式） 令根式整体为t，写出t≥0等限制，转化为二次 / 一次函数求值域。 · 判别式法（分式二次比二次 整理为关于 x 的一元二次方程，方程有实数解→，解 y 的不等式；注意二次项系数为 0 单独验证。 题型5 分段函数综合问题 1．已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． 2．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 3．设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 4．已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 5．已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 6．已知函数，求； 【答案】. 【分析】根据分段函数的定义域和值域求解. 【详解】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 7．已知函数，若，求实数的取值范围． 【答案】. 【详解】由，得或或， 解得或或或， 所以实数的取值范围是. 方法技巧 给自变量 x，先判断 x 落在哪一段定义域，再代入对应式子；多层嵌套f(f(x))从内向外逐层计算。 题型2 含参定义域 / 值域分类讨论 1．已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 2．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 3．已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 方法技巧 无解析式，只看括号内整体范围一致： 题型3 抽象函数定义域问题 1．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 3．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 4．若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 所以的定义域为． 方法技巧 第一步：先求内层u=g(x)在定义域上的值域（u 的范围）； 第二步：把 u 当作f(u)的自变量，求f(u)在 u 范围内的值域，即为复合函数值域。 题型4 分段函数含参零点 / 不等式恒成立 1．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据图象判断的解析式，列方程即可. 【详解】作出函数的图象，如图， 由图可知，若，则分别在轴的负半轴与正半轴上， 所以， 所以，解得. 故选：A. 2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 方法技巧 · 利用已知条件推导f(x)单调性； · 脱去f，转化括号内自变量大小关系； · 同时满足所有括号内自变量在f(x定义域内，联立不等式求解。 1．（2026·全国I卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合．若当时，，求； 【答案】 2．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 2．判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 3．下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义可判断AC中的关系为函数关系，BD中的关系不是函数关系. 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：BD． 4．下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 5．已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先作出函数图象；再利用数形结合思想，注意区间端点，即可得出答案. 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 6．已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 8．函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 9．已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 10．已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【答案】10 【分析】根据表格求出对应函数值即可. 【详解】当时，，则. 故答案为：10 11．函数，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以. 12．已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $