第09讲 函数及其概念表示 讲义-2026年初升高数学衔接

第09讲 函数概念及其表示 基●础●知●识 一、函数的定义及概念 1、函数的定义：设是两个非空数集， 如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数， 在集合中都有唯一确定的数和它对应， 称为从集合到集合的一个函数，记作： 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个值，必须有且仅有唯一的值与之对应. （1）特殊性：定义的集合必须是两个非空数集； （2）任意性：中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在中有唯一的值与之对应； （4）方向性： 2、函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域. （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 3、同一个函数 两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数. 二、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设是两个实数，而且，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集 可以用区间表示为，“"读作“无穷大”， “”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”. 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 三、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数必须大于等于零，即（其中）中，奇次方根的被开方数取全体实数，即（其中）中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集. 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“$⋃"连接. 题●型●破●译 题型01 函数关系的判断 【典例01】下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． B． C． D． 【变式01】设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【变式02】下列各图中，可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 题型02 具体函数定义域 【典例01】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式01】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式02】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型03 判断函数是否相等 【典例01】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式01】下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式02】下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型04求函数值 【典例01】已知，则（   ） A． B． C． D．4 【变式01】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式02】若函数，则（    ） A．2 B．0 C．12 D．20 题型05 抽象函数定义域 【典例01】已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式01】若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【变式02】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型06 求函数解析式 【典例01】若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例02】已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【典例03】定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式01】若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式03】已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型07 分段函数求值 【典例01】设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 【变式01】已知函数，则（   ） A．15 B．5 C． D．21 【变式02】已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 题型08分段函数值求参数 【典例01】已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 【变式01】设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【变式02】已知函数若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 题●型●巩●固 1.下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2.下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 3.函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 4.函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 6.下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7.若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8.已知，则（    ） A． B． C．3 D． 9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 10.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 11.已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 12.设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 13.若函数，则（     ） A． B． C． D． 14.已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 15.已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 16.已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 17.若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 18.已知函数，则（     ） A． B． C． D． 19.已知函数．若．则实数的值为（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 20.已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 21.设函数，若，则（   ） A．0或2 B．0或3 C．2 D．0或2或3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数概念及其表示 基●础●知●识 一、函数的定义及概念 1、函数的定义：设是两个非空数集， 如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数， 在集合中都有唯一确定的数和它对应， 称为从集合到集合的一个函数，记作： 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个值，必须有且仅有唯一的值与之对应. （1）特殊性：定义的集合必须是两个非空数集； （2）任意性：中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在中有唯一的值与之对应； （4）方向性： 2、函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域. （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 3、同一个函数 两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数. 二、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设是两个实数，而且，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集 可以用区间表示为，“"读作“无穷大”， “”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”. 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 三、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数必须大于等于零，即（其中）中，奇次方根的被开方数取全体实数，即（其中）中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集. 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“$⋃"连接. 题●型●破●译 题型01 函数关系的判断 【典例01】下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 【变式01】设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【知识点】函数关系的判断 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 【变式02】下列各图中，可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义，可得答案． 【详解】因为函数图象要满足对于定义域内任意一个x都有唯一的y与其相对应， 因此可知A，B，C不符合，D符合． 故选：D． 题型02 具体函数定义域 【典例01】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【详解】因为，所以的取值范围是，则定义域为：. 【变式01】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可. 【详解】由，解得或， 故的定义域是. 故选：B 【变式02】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域． 【详解】由题可知且， 所以函数的定义域为. 故选：D． 题型03 判断函数是否相等 【典例01】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 【变式01】下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 【变式02】下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 题型04求函数值 【典例01】已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】求函数值 【分析】根据函数的表达式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 【变式01】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值 【分析】令，得，带入计算即可得解. 【详解】， 令，得， . 故选：C. 【变式02】若函数，则（    ） A．2 B．0 C．12 D．20 【答案】A 【知识点】求函数值 【分析】令，得，进而代值计算即可. 【详解】令，得，则. 故选：A 题型05 抽象函数定义域 【典例01】已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 【变式01】若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 【变式02】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 题型06 求函数解析式 【典例01】若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法可求答案. 【详解】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 【典例02】已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解. 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 【典例03】定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 【变式01】若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式02】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求解析式. 【详解】令，则， 因为，所以． 由，可得， ∴． 故选：B． 【变式03】已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求解出的解析式. 【详解】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 题型07 分段函数求值 【典例01】设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【详解】因为函数， . 【变式01】已知函数，则（   ） A．15 B．5 C． D．21 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数解析式直接求解． 【详解】因为函数，所以． 【变式02】已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的定义，先判断自变量所在的区间，再代入对应的表达式逐步计算. 【详解】因为，所以代入，得， 因为，所以代入，得， 将代入，得. 故选：C. 题型08分段函数值求参数 【典例01】已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，得到，负根舍去； 当时，，得到，符合题意； 综上所述，或. 故选：D 【变式01】设，若，则等于（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】分、、三种情况解方程即可. 【详解】当时，由，解得（舍去）， 当时，由，可得，解得（舍去）或， 当时，由，可得（舍去）， 综上所述，. 故选：A. 【变式02】已知函数若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】由，再分和两种情况，代入解方程即可． 【详解】当时，，解得或（舍）， 当时，，解得（舍）. 故选：A. 题●型●巩●固 1. 下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2. 下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数关系的判断 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 3. 函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据二次根式有意义的条件得出被开方数大于或等于0，再解一元二次不等式即可. 【详解】要使有意义，只需，即， 解得或，所以函数的定义域为. 故选：C 4. 函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据题意结合分式、根式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：A. 5. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】根据同一函数的定义，分别逐一求解、验证定义域和对应法则是否相同，即可得到结论． 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：B 6. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】函数相同的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由可得，解得，则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 所以两函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数与函数的定义域都为， 与的对应法则不同，因此不是同一个函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，的定义域为，的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 7. 若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】求函数值 【分析】先计算，再将所得结果代入求值. 【详解】因，则，则. 故选：A 8. 已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】因为，令，则. 故选：B. 9. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 10. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】应用抽象函数定义域性质求解. 【详解】由，得， 又，可得，所以函数的定义域为． 故选：C. 11. 已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【知识点】求函数值、已知函数类型求解析式 【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解. 【详解】设， 则， 整理得， 所以，解， 所以，所以. 故选：A 12. 设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式. 【详解】设，其中，则， 所以，，解得或. 当时，，此时，合乎题意； 当时，，此时，不合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 13. 若函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】将函数右侧表达式配方，整理为关于​的完全平方形式，再替换变量得到并注明定义域． 【详解】， 所以． 故选：D． 14. 已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求解函数解析式即可. 【详解】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D 15. 已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】在条件式中以替代，得，代入原条件式，再令，求得答案. 【详解】由，代替,得， ， 令，得，解得. 故选：B. 16. 已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】以代x，利用解方程组法求解即可. 【详解】以代x，由①，得②， 则①②，得，则． 故选：A 17. 若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】先将已知等式中的与替换，列出方程组求得函数解析式，再赋值代入计算即得. 【详解】在中， 用替换，可得：，解得, 故 故选：A. 18. 已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】应用分段函数求解函数值. 【详解】因为函数，则. 故选：A. 19. 已知函数．若．则实数的值为（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据自变量所属的区间，代入相应段的解析式求值即可. 【详解】由题意可知，，解得. 故选：B 20. 已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】分类讨论求分段函数值解方程即可求解. 【详解】第一种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第二种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第三种情况：时,,, ,, 故选：B. 21. 设函数，若，则（   ） A．0或2 B．0或3 C．2 D．0或2或3 【答案】A 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】由和分别计算求解即可. 【详解】当时，，得， 当时，，得（舍去）或， 所以0或2， 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 $