学情监测（四）第二十五-二十七章（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 覆盖九年级数学上册第二十五至二十七章，融合中考真题与现实情境，梯度设计适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|反比例函数定义、一元二次方程根与系数关系、抛物线对称轴|结合河北中考真题，考查概念辨析与图象应用| |填空|5题|因式分解法构造方程、抛物线平移、等腰三角形与方程根|苏州中考改编，注重知识迁移与分类讨论| |解答|8题|方程解法、函数实际应用、二次函数与几何综合|甲流传染、喷水池水流等真实情境，南充中考改编题强化模型意识，压轴题融合函数与几何提升思维能力|

九年级数学（上册）学情监测（四） （监测范围：第二十五~二十七章） 一、选择题 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 （河北中考） 3. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 已知反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 当，y的值随x值的增大而增大 B. 图象必经过点， C. 图象是轴对称图形，也是中心对称图形 D. 图象分别位于第二、四象限内 6. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 3秒 B. 6秒 C. 9秒 D. 10秒 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A. B. 或 C. D. 或 8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程与一元一次方程有一个公共解，若一元二次方程有两个相等的实根，则（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 10. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　） A. AI B. AI C. AI D. AI 二、填空题 （苏州中考） 11. 结合因式分解法写出一个两个实数根分别为2和的一元二次方程：______ 12. 抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是____． 13. 数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度________． 14. 已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是__________． 15. 如图，抛物线轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②； ③当时，y随x的增大而增大； ④若，为方程的两个根，则且．其中正确的结论为______．（填写序号） 三、解答题 16. 解方程： （1）（因式分解法）； （2）（配方法）． 17. 已知二次函数的对称轴为直线． （1）__________； （2）当时，求函数的取值范围． 18. 一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)． （1）求关于的函数解析式； （2）若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ （南充中考改编） 19. 设，是关于的方程的两根． （1）求证：不论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根． （2）当时，求及的值． （3）求证：． 20. 如图，在平面直角坐标中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）__________；__________． （2）将直线向上平移3个单位长度后与轴交于点，与反比例函数图象在第四象限内的交点为，连接、，求点的坐标及的面积． 21. 某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱． （1）求七，八两月的月平均增长率； （2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？ 22. 如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为． （1）①请直接写出水流的最高处的坐标__________； ②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，直接写出喷头高度的取值范围． 23. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2． （1）点A坐标为 　 　，点B坐标为 　 　． （2）求此抛物线所对应的函数解析式． （3）点P是抛物线上一点，点P与点B不重合，设点P的横坐标为m，过点P作轴，交直线于点C，设的长为h． ①若点P在直线的上方，求h关于m的函数解析式； ②若点P在x轴的上方，当h随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 九年级数学（上册）学情监测（四） （监测范围：第二十五~二十七章） 一、选择题 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A、不是反比例函数，故A选项符合题意； B、是反比例函数，故B选项不符合题意； C、是反比例函数，故C选项不符合题意； D、是反比例函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解的概念、正确计算是解题关键．把代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得，， 故选：A． （河北中考） 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的对称轴性质，根据顶点式的规律可直接得出结果． 【详解】解：∵二次函数顶点式形式为 ，该形式下抛物线的对称轴为直线 ， 本题中抛物线解析式为 ，对应得到 ， ∴抛物线的对称轴为直线 ． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可． 【详解】解：A、∵，∴每个象限内y随着x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、当时，，所以图象必经过点，故本选项错误，符合题意； C、反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确，不符合题意； D、∵，∴图象分别位于第二、四象限内，故本选项正确，不符合题意；   故选：B ． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题意易得当汽车停止时，汽车所行驶的距离最远，进而把函数解析式配成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值为9，此时汽车已停止行驶， ∴汽车从刹车到停止所用的时间为3秒； 故选A． 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象交点及不等式解集的结合，利用函数图象的位置关系确定不等式的解集，即一次函数图象在反比例函数图象上方(包括交点)时对应的的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在反比例函数图象上方(包括交点)时的取值范围． 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足； 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足． 综上，不等式的解集为或． 故答案为：B． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 故选：C． 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】求出一元一次方程的解确定出已知两方程的公共解，即为x1的值，代入方程3（x-x1）（x-x2）+（3x-3）=0整理后，根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出x2的值即可． 【详解】解：一元一次方程， 解得：， ∵关于的一元二次方程与一元一次方程有一个公共解， ∴公共解为， 把代入一元二次方程得：， 整理得：， ∵此方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：． 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b<0．所以反比例函数y的图象位于第二、四象限，故本选项错误； B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的左侧，则a，b同号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误； C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系． 二、填空题 （苏州中考） 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 根据给定实数根，利用因式分解法构造一元二次方程即可. 【详解】解：由根为和，可得方程因式分解形式为，展开后得， 故答案为（答案不唯一）． 【12题答案】 【答案】y=3（x﹣1）2﹣2 【解析】 【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，即可得答案． 【详解】抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得到的抛物线是y=3（x-1）2-2， 故答案为y=3（x-1）2-2. 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【13题答案】 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设，把，代入解析式，求得h关于的函数解析式；把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 故答案为：． 【14题答案】 【答案】3或4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系的应用，根据根与系数的关系，方程两根之和为4，两根之积为．分两种情况讨论：当3为底边时，两腰相等且为方程根，求；当3为腰时，另一腰为3，底边为方程另一根，求．并验证三角形三边存在条件． 【详解】解：设方程的两个根为和，则，． 由于是等腰三角形且一边长为3， ①若3为底边，则两腰和相等，即，此时，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）． ②若3为腰，则另一腰也为3，底边为方程的另一根，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系． 故的值为3或4， 故答案为：3或4． 【15题答案】 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系，①根据图像得出，即可判断①；②根据二次函数的对称轴得出，与x轴另一个交点为，进而得出，当时，，则，推出，即可判断②；③由图可知，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，即可判断③；④根据二次函数与x轴交点坐标为，，得出，结合图象得出当时，对应x的值在左侧，右侧，即可判断④ ． 【详解】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点， ∴，与x轴另一个交点为， ∴， ∴当时，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 即，故②正确，符合题意； ③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意； ④∵二次函数与x轴交点坐标为，， ∴， 当时，对应x的值在左侧，右侧， ∴若，为方程的两个根，则且．故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）移项化简后，利用提公因式进行因式分解，然后求解即可； （2）将常数项移到右边，系数化为，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， , 解得：，． 【17题答案】 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴求出的值即可； （2）根据开口方向和对称轴可得时最小，时最大，进而求解． 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴二次函数开口向上， 在时，取得最小值，， 当时，, 当时，， ∵二次函数开口向上，在时，离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，取得最大值， ∴当时，． 【18题答案】 【答案】（1） （2）平均每小时至少要卸货吨 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据实际问题建立反比例函数模型，并利用函数性质解决不等式问题． （1）根据实际问题中的数量关系建立反比例函数模型； （2）利用反比例函数的增减性解决实际最值问题，根据反比例函数的性质可知，在的范围内，随的增大而减小；因此要使卸货速度最小，需取的最大值，将代入函数解析式计算，即可得到平均每小时至少要卸货的吨数． 【小问1详解】 解：根据题意，卸货总量为吨，卸货速度为吨/小时，时间为小时， 由“卸货总量=卸货速度×时间”，得，变形可得， 因此关于的函数解析式为； 【小问2详解】 已知卸货时间不超过小时，即， 由，可知随的增大而减小， 因此当取最大值时，取得最小值， 将代入，得， 所以平均每小时至少要卸货吨． （南充中考改编） 【19题答案】 【答案】（1）见解析 （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）证明一元二次方程的根的判别式恒为正即可； （2）将代入方程求出的值，再求解方程即可得到另一个根； （3）利用根与系数的关系得到，，把变形为，整体代入即可得到关于的不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 证明：方程可化为． ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入方程， 得， ∴． ∴，即． ∴． ∴，． ∴，． 【小问3详解】 解：由题意，得，． ∴． ∵， ∴，即． 【20题答案】 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）把点的坐标分别代入正比例函数、反比例函数解析式，求出、，得到答案； （2）根据直线的平移规律得到平移后的直线解析式，解方程组求出点的坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得, 解得，， 把点代入，得， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 直线向上平移3个单位长度后解析式为：， 则点的坐标为， 解方程组， ∴或， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为， ∵， ∴． 【21题答案】 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】（1）设七，八两月的月平均增长率为，利用八月的销售量六月的销售量七，八两月的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 设七，八两月的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七，八两月的月平均增长率为． 【小问2详解】 设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【22题答案】 【答案】（1）① ；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得：点的横坐标为，纵坐标为，即可求解； ②依据题意，设抛物线的解析式为，由点坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式; （2）设抛物线的解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，求出的值，进而求出的取值范围即可. 【小问1详解】 解：①∵水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为， ∴点坐标为； ②由题意，点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ， 解得：， ∴ 【小问2详解】 解：由题意，可设抛物线为， 当最小，此时为， ∴， 当最大时，此时点坐标为， ∴， ∴， ∴， 将，代入得， 综上，的取值范围为． 【23题答案】 【答案】（1）2， （2）①见解析；②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 【24题答案】 【答案】（1）， （2） （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）当时，，故点B的坐标为，令，解得，即可求解； （2）用待定系数法即可求解； （3）①，即可求解；②列出函数表达式，利用函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 当时，，故点B的坐标为， 令，解得，故点A的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 把，代入，得， 解得 ∴； 【小问3详解】 ①设点，点， 则， ②上式为点P在直线上方的情况，当点P在x轴的上方且在点B的右侧时， 令，解得或3， 故抛物线和x轴另外一个交点坐标， ， 由①知，当时，，此时函数h的对称轴为， ∵，故时，当h随m的增大而增大， ∴； 当时，，此时函数h的对称轴为， ∵，故时，当h随m的增大而增大， ∴， 即或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数基本知识等，有一定的综合性，但难度不大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $