学情监测（二）第二十六章 二次函数（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 九年级数学上册第二十六章（二次函数）单元卷，融合多省市中考真题，覆盖二次函数定义、图像、性质及实际应用，注重基础巩固与综合能力提升，适配单元复习学情监测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|顶点坐标、最值、图像与系数关系、新定义“倍值点”|结合沈阳、浙江中考真题，基础与创新结合| |填空题|5|抛物线平移、不等式解集、动态几何|融入广西中考真题，实际情境与几何综合| |解答题|8|配方法、最值应用、利润问题、函数与几何综合|分层设计，从计算到探究，强调数学建模与推理|

九年级数学（上册）学情监测（二） （监测范围：第二十六章） 一、选择题 （沈阳中考） 1. 抛物线的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6（　　） A. 最小值为﹣6 B. 最大值为﹣6 C. 最小值为3 D. 最大值为3 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. （浙江中考） 4. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 5. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ （河南中考） 7. 已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知二次函数（）的图像如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 抛物线y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，则m=_____． （广西中考） 12. 抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位所得的抛物线的表达式为________． 13. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______． 14. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 15. 如图1，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，将点运动的路程记为，的长记为，若与的对应函数关系如图2所示，点是函数图象的最低点，则的值是________． 三、解答题 16. 已知二次函数，用配方法把该函数化为（其中，，都是常数，且）的形式，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标． 17. 二次函数的图象顶点是，且过点． （1）求函数的解析式． （2）将该二次函数图象向右或向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？ 18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，． （1）__________，__________． （2）求当时，的最大值与最小值的差． 20. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆．设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积． 21. 已知二次函数（m为常数）. （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴必有两个公共点； （2）若点，在二次函数的图像上，且，则m的取值范围是 . 22. 某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下： 售价x（元） 42 45 50 55 … 销售量y（件） 480 450 400 350 … （1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是______（填一次函数或二次函数），求这个函数关系式； （2）若当月销售量不低于300件，售价为多少时，当月利润最大？最大利润是多少？ 23. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）________，________． （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值． 九年级数学（上册）学情监测（二） （监测范围：第二十六章） 一、选择题 （沈阳中考） 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题可根据二次函数顶点式的性质直接得到抛物线顶点坐标，再根据象限内点的坐标特征判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵，， ∴顶点位于第二象限． 故选：B． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给二次函数的顶点式和图象开口方向即可解答. 【详解】根据二次函数解析式y＝2（x－3）2－6可知它的开口方向向上，故应该有最小值，它的顶点是（3,﹣6），故最小值是﹣6.故选A. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，正确理解二次函数的顶点式是解题关键. 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点，将代入解析式求出对应的y值即可． 【详解】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标是， 故选C． （浙江中考） 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的开口方向与对称轴，再根据开口向下的抛物线的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小，即可比较的大小． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的值越小， 根据抛物线对称轴公式，得对称轴为：， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：， ∵， ∴． 故选：C． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可． 【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4． A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确； B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确； C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确； D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键． （河南中考） 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据二次函数图象开口向下，可以判断，再根据对称轴判断出b的符号，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：根据二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：抛物线的对称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴，解得：．故选D． 考点：二次函数的性质． 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象经过原点，得到c=0，即可判断①正确；根据图象得到当x=1时，y＜0，故②不正确；根据抛物线开口和对称轴得到a＜0，b＜0，b=3a，即可得到③正确；根据抛物线与x轴有两个交点得到，得到④正确，问题得解． 【详解】解：∵二次函数图象经过原点，∴c=0，∴abc=0，∴①正确； ∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确； ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是，∴，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确； ∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴，，∴④正确； 故选：C 视频 【点睛】本题考查了根据二次函数图象判断式子的符号，熟知二次函数的性质，并结合图象灵活应用是解题关键 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据“倍值点”定义，倍值点满足，代入二次函数得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有两个不相等实根时判别式大于，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由“倍值点”的定义，倍值点满足，将代入二次函数得： ∵ 整理得 ∵ 二次函数总有两个不同的倍值点， ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得 ． 故选： C． 二、填空题 【11题答案】 【答案】﹣2． 【解析】 【详解】解：∵抛物线y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点， ∴0=m2﹣4， ∴m=±2， 当m=2时，m﹣2=0， ∴m=﹣2． 故答案为﹣2． （广西中考） 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象平移的规律即可求解. 【详解】解: 根据二次函数图象平移规律: 左加右减，上加下减. 将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线. 再将该抛物线向下平移个单位长度，所得抛物线的表达式为. 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，． 故答案为： 【14题答案】 【答案】10 【解析】 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 【15题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先理解题意，得，，再观察函数图象，当点从点运动到点的过程中，的长，且的长是一次函数，则当点从点运动到点时，点运动的路程记为，即，再结合勾股定理算出，则，根据等面积法，求出，运用勾股定理，求得，即，即可作答． 【详解】解：由图（2）得当时，，当时，， ∵点从点出发沿折线运动到点停止，将点运动的路程记为，的长记为， ∴，， 观察函数图象，当点从点运动到点的过程中，的长， ∵、都是常量， ∴的长是一次函数； 观察函数图象，当点从点运动到点时，点运动的路程记为，即， ∵四边形是矩形 ∴， 则， ∴ 则， ∵点是函数图象的最低点， ∴当时，， 此时， ∴， 当时，由勾股定理可得， 即， ∴． 三、解答题 【16题答案】 【答案】 对称轴为直线 顶点坐标为 【解析】 【分析】用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标． 【详解】解： 则二次函数可化为 对称轴为直线， 顶点坐标为． 【17题答案】 【答案】（1） （2）向右平移3个单位或向左平移1个单位 【解析】 【分析】（1）设顶点式为，再将点代入算出的值即可； （2）令，计算出，则为抛物线与轴交点的横坐标，再根据点的平移规律得出结论即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点为， ∴设二次函数解析式为 把点代入二次函数解析式， 得：，解得， ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：令，解得，， 故可将图象向右平移个单位或向左平移个单位，新图象经过坐标原点． 【18题答案】 【答案】（1）x1=1，x2=3；（2）x＞2；（3）k＜2． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数与x轴的交点坐标与对应一元二次方程的解的关系即可写出； （2）由图像可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； （3）方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y=k有两个交点，画图分析即可. 【详解】解：（1）当y=0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的两个根， 由图可知，方程的两个根为x1=1，x2=3． （2）根据函数图象，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 此时，x＞2 （3）方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y=k有两个交点，如图所示： 当k＞2时，y=ax2+bx+c（a≠0）与y=k无交点； 当k=2时，y=ax2+bx+c（a≠0）与y=k只有一个交点； 当k＜2时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y=k有两个交点， 故k＜2． 【点睛】此题考查的是（1）二次函数与x轴的交点坐标与对应一元二次方程的解的关系;(2)通过图像观察抛物线的增减性；（3）利用画图解决抛物线与直线的交点个数问题. 【19题答案】 【答案】（1）-1； -2 （2） 【解析】 【分析】（1）将点，代入二次函数解析式，即可求解； （2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得时取最小值，时取最大值，进而求解． 【小问1详解】 解：∵关于的二次函数的图象过点，， ∴ 解得： 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值，， 当时，, 当时，， ∵二次函数开口向上，在时，离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，取最大值，， 的最大值与最小值的差为． 【20题答案】 【答案】方案：垂直于墙的边为，平行于墙的边为 花园面积最大为 【解析】 【分析】设垂直于墙的边为米，根据矩形面积公式得：，配方后由二次函数性质可得答案． 【详解】解：设垂直于墙的边为米，围成的矩形面积为平方米，则平行于墙的边为米， 根据题意得：， ， ∴当时，取最大值， ， ∴方案：垂直于墙的边为，平行于墙的边为，花园面积最大为． 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了通过一元二次方程根的判别式判断根的情况，二次函数的性质， （1）把代入二次函数，再利用根的判别式判断根的情况，即可解答； （2）把，代入二次函数，再利用，即可解答； 熟练利用根的判别式求一元二次方程根的情况是解题的关键． 【小问1详解】 证明：把代入二次函数，可得， 整理后得到， 根据，可得， 有两个不同的根， 则可证明不论m为何值，该函数的图像与x轴必有两个公共点； 【小问2详解】 解：， 把，代入二次函数，可得 ，， ， ， 即， 解得， 故答案为：． 【22题答案】 【答案】（1）一次函数， （2）当售价定为60元时，利润最大，最大值为6000元 【解析】 【分析】（1）由x的值每增加1元时，y的值均减小10件知这个函数为一次函数，待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，再配方成顶点式依据二次函数的性质和x的取值范围求函数最值． 【小问1详解】 一次函数， 由表可知，x的值每增加3元时，y的值均减小30件， 据此可知y与x的函数关系为一次函数， 设该一次函数为，代入（42，480）和（45，450）， 得：，解得：， ∴． 故答案为：一次函数 【小问2详解】 设月利润为元， ． ∵月销售量不低于300件， ∴， ∴． ∵， ∴时，w随x的增大而增大， ∴时，w有最大值6000． 答：当售价定为60元时，利润最大，最大值为6000元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出函数解析式是解题的关键． 【23题答案】 【答案】（1），， （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【解析】 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【小问1详解】 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 【24题答案】 【答案】（1）4 3 （2）存在 或或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用一次函数解析式求出点和点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点的坐标即可； （2）设，由两点距离计算公式可得，，，再分三种情况，分别建立方程求解即可； （3）图象翻折后点对应点的坐标为，①当直线恰好经过，直线与该形状的图象部分恰好有三个公共点，②当直线与轴上方的部分沿轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该形状的图象部分恰好有三个公共点；据此讨论求解即可． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，；当时，； ∴点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得： ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，，； ①当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； ②当时，则， ∴， 解得或， ∴此时点的坐标为或； ③当时，则， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：图象翻折后点对应点的坐标为， ①当直线恰好经过，直线与该形状的图象部分恰好有三个公共点， ∴ ∴； ②当直线与轴上方的部分沿轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该形状的图象部分恰好有三个公共点； 设点为原抛物线轴上方的部分沿轴向下翻折后的图象上一点，则点是原抛物线轴上方的部分的图象上一点， ∴， ∴， ∴原抛物线轴上方的部分沿轴向下翻折后的图象对应的函数解析式为， 联立得， 则， 解得． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $