限时作业（九）（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案限时作业（人教版·新教材）

**基本信息** 聚焦中心对称与旋转，分层设计从概念识别到综合应用，梯度合理，适配新授课巩固与能力提升，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中心对称图形识别、原点对称坐标|选择题1-4直接考查概念，填空题7开放举例，夯实基础| |中档|旋转角计算、旋转性质应用|选择题5-6结合图形变换，填空题9-10综合旋转与几何性质，衔接例题| |提升|旋转与综合几何证明|解答题14结合旋转、勾股定理及分类讨论，提升推理与创新意识|

限时作业（九） 一、选择题 1. 我国航天事业取得了跨越式发展，下列航天图标属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知和关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 请任写一个成中心对称图形的汉字、字母或数字______． 8. 将抛物线绕原点O旋转，则所得抛物线的解析式为________． 9. 如图，在中，，，，可以由绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且A、、在同一条直线上，则的长为______． 10. 如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是_____°时，CD∥AB． 三、解答题 11. 在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上． （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （3）写出经过怎样的旋转可直接得到． 12. 如图，中，，以为边向外作等边，把绕着点按顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 13. 如图，在中，，点D，E分别为，的中点，连接． （1）将绕点E旋转得到，画出图形． （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 14. （1）如图 1，O 是等边三角形 ABC 内一点，连接 OA，OB，OC，且 OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD． 填空：①旋转角为 °；②线段 OD 的长是 ；③∠BDC= °； （2）如图 2，O 是△ABC 内一点，且∠ABC＝90°，BA=BC． 连接 OA，OB，OC，将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，连接 OD．当 OA，OB，OC 满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由． 限时作业（九） 一、选择题 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． ． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，乘方运算，能够熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解决本题的关键． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴两点的横纵坐标都互为相反数， ∴，， ∴， 故选：B． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形， 故选B． 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转，牢记图形旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）是解题的关键．旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点，等于旋转角． 【详解】解：∵点的对应点为点，点的对应点为点，且对应点到旋转中心的距离相等， ∴旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点． 如图，作线段和线段的垂直平分线，其交点为旋转中心． 连接，． 根据旋转的性质，得 ． 故选：C． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解是关键． 【详解】由旋转可得：，， ∴， 故选C． 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，等腰三角形的判定；依据为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：C． 二、填空题 【7题答案】 【答案】田，N，0等 【解析】 【分析】直接利用中心对称图形的概念求解． 【详解】成中心对称图形的汉字、字母或数字可以为：田，N，0等． 故答案为田，N，0等． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先求得抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质得到旋转后的抛物线的顶点坐标，写出新的抛物线的解析式．掌握旋转只改变图像的位置、不改变图像的形状是解答本题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线绕原点O旋转后的顶点坐标为，且开口方向向上， ∴抛物线绕原点O旋转后的解析式为． 故答案为． 【9题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质等知识，得出是解答的关键．先根据含30度角的直角三角形的性质求得，再由旋转性质和等腰三角形的判定与性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由旋转性质得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【10题答案】 【答案】100或280 【解析】 【详解】分析：作出图形，分两种情况：①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角∠AOD；②两三角形在点O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得∠CEO=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角度数． 详解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO=∠B=40°， ∵∠C=60°，∠COD=90°， ∴∠D=90°-60°=30°， ∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°， ∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°； ②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO=∠B=40°， ∵∠C=60°，∠COD=90°， ∴∠D=90°-60°=30°， ∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°， ∴旋转角为270°+10°=280°， 综上所述，当旋转角为100°或280°时，边CD恰好与边AB平行． 故答案为100或280． 点睛：本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 三、解答题 【11题答案】 【答案】（1）作图见解析，点的坐标 （2）作图见解析，点的坐标 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）根据对称的性质即可画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）根据旋转的性质即可画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （3）根据旋转的性质即可写出绕点O顺时针旋转后可得到． 【小问1详解】 解：（1）如图，即为所求；点的坐标； 【小问2详解】 （2）如图，即为所求；点的坐标； 【小问3详解】 （3）绕点O顺时针旋转后得到． 【12题答案】 【答案】（1）∠BAD=60°，（2）AD=10． 【解析】 【分析】（1）先证明点A、C、E在一条直线上再说明△ADE为等边三角形即可； （2）利用△ADE为等边三角形，可得AD=AE=5． 【详解】（1）∵△BCD为等边三角形， ∴∠3=∠4=60°，DC=DB， ∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD， ∴∠5=∠1+∠4=∠1+60°， ∴∠2+∠3+∠5=∠2+∠1+120°， ∵∠BAC=120°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC=60°， ∴∠2+∠3+∠5=60°+120°=180°， ∴点A、C、E在一条直线上； ∵点A、C、E在一条直线上，而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠ADE=60°，DA=DE， ∴△ADE为等边三角形， ∴∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°， （2）∵点A、C、E在一条直线上， ∴AE=AC+CE， ∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD， ∴CE=AB， ∴AE=AC+AB=6+4=10， ∵△ADE为等边三角形 ∴AD=AE=10． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质． 【13题答案】 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）先根据旋转的性质得出，进而得出，，可判定四边形是平行四边形，根据，可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵点、点分别是、的中点， ∴，，由旋转的性质可知， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，且点D为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【14题答案】 【答案】(1)①60；②4;③150;(2) ,理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据△ABC是等边三角形可得旋转角为60°，根据旋转可得CD= OA＝3,△B OD是等边三角形，即可求出OD 的长，再根据勾股定理逆定理求出∠ODC＝90°即可求解； （2）先根据△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD，可得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD,CD=AO，故得到△OBD是等腰直角三角形，DO＝，再由勾股定理得到△OCD是直角三角形，∠ODC＝90°，即OA2+2OB2=OC2，再进行等量替换即可求解． 【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形 ∴BA=BC，∠ABC＝60° ∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD， ∴∠OBD=∠ABC＝60° ∴旋转角为60°， ②∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD， ∴BO= BD ∵∠OBD=60° ∴△B OD是等边三角形， ∴OD = OB=4， ③∵△B OD是等边三角形， ∴∠BDO=60° ∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD， ∴CD= AO=3 在△OCD中，CD=3,OD=4,OC=5 ∴CD2+OD2=OC2 ∴△OCD是直角三角形，∠ODC=90° ∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=150° 故答案为：①60；②4;③150； （2）当OA2+2OB2=OC2时，∠BDC＝135°， 理由如下： ∵将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD， ∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD,CD=AO ∴△OBD是等腰直角三角形，且∠BDO＝45°， ∴DO＝ ∵CD2+OD2=OC2时，△OCD是直角三角形，∠ODC＝90°， 即当OA2+2OB2=OC2时，∠ODC＝90°，∠BDC＝135°． 【点睛】此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及勾股定理的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $