限时作业（一）（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案限时作业（人教版·新教材）

**基本信息** 聚焦一元二次方程全体系，以概念辨析为起点，通过解法训练、根的性质探究到综合应用，形成“概念-解法-性质-应用”四层逻辑链，渗透抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1/填空9|一般形式转化、定义要素（二次项系数非零）|从方程形式抽象概念，建立“标准式”认知基础| |解法应用|选择2-3/解答15|因式分解法特征判断、配方法步骤（配方常数计算）|依据方程结构选择解法，体现运算能力的层次性| |根的性质|选择5/7/填空12/解答16|判别式符号分析、根与系数关系（降次应用）|通过代数推理建立根的性质与方程参数的关联| |综合应用|选择4/8/解答17-18|实际问题建模（单价关系）、几何与方程融合（线段长度）|从现实情境与几何背景抽象数学模型，发展应用意识|

限时作业（一） 一、选择题 1. 将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣x化成一般形式ax2＋bx＋c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ） A. ﹣1，2 B. x，﹣2 C. ﹣x，2 D. 3x2，2 2. 下列方程最适合用因式分解法求解的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 化学实验室需购买烧杯和导管两种耗材（如图），已知烧杯的单价比导管贵8元，购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍．设导管的单价为元，则列出的方程可化为（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 6. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2026 D. 7. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. a＞2 B. a＜2 C. a＜2且a≠1 D. a＜－2 8. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 二、填空题 9. 关于的方程是一元二次方程，则的值为________． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根为2，则a的值为 ________________． 11. 已知为一元二次方程的根，则以、、为三边边长的三角形的周长为_________． 12. 已知：m、n是方程 的两根，则_____． 13. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则求方程的解为_____． 14. 若a2+1＝3a，b2+1＝3b，则代数式的值为 _____． 三、解答题 15. 解方程： （1）． （2）． （3）． 16. 关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及该方程的根． 17. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 限时作业（一） 一、选择题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，将一元二次方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣x化成一般形式3x2﹣x＋2＝0后， 一次项和常数项分别是﹣x，2． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基本性质是解题的关键． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】把各方程整理乘右边等于0的形式，即可求解． 【详解】解：A、整理得：，不适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； B、整理得：，不适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； C、，不适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； D、整理得：，适合运用因式分解法求解，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将给定的一元二次方程通过配方法使方程左边成为完全平方式的形式即可． 【详解】解：∵方程, ∴配方需加于两边, 得, 即. ∴变形后结果为． 故选：C. 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得烧杯的单价为元，根据购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍，即可列出方程． 【详解】解：设导管的单价为元，则烧杯的单价为元， 根据题意，得，即． 故选：D． 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解. 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系化简，即可计算出结果． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两根， ∴ 由根的定义可得 ，整理得 ， 由一元二次方程根与系数的关系可得 ， ∵ ， 是方程 的两根，且常数项为， 且， ∴变形得 ，则， ， 因此结果为 ． 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】当△=b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2－4ac<0时，方程没有实数根． 【详解】解：Δ＝4−4（a−1）＝8−4a＞0， 得a＜2． 又a−1≠0， 所以a＜2且a≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的零点以及方程根的关系，是基础题． 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由方程的解结合线段的和差可以得到答案． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 线段的长是的根． 二、填空题 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数不为零，最高次项的次数为2，求解即可． 【详解】∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入方程得到关于的一元二次方程，解题即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得：． 故答案为：． 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次方程求出的值为3或1，接着分类讨论，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，看能否构成三角形即可求解． 【详解】解：解方程得或 当时，三角形的三边分别为：3，4，5，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知，可以构成一个三角形，此时周长为：3+4+5=12； 当时，三角形的三边分别为：1，4，5，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知，不可以构成一个三角形； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识点，熟练掌握这些知识点是解决此题的关键． 【12题答案】 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系，可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m、n是方程 的两根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【13题答案】 【答案】x1=x2=5 【解析】 【详解】∵ ， ∴方程 可化为： ，即，解得：. 故答案为. 【14题答案】 【答案】7或2##2或7 【解析】 【分析】根据题目所给的条件，知道a，b是一元二次方程的两个不等实数根，得到a+b和ab的值，把代数式变形为含有a+b和ab的形式，求出代数式的值． 【详解】， 当时，代数式， 当时，根据题意，a，b是方程的两个根， 故， 则， 故代数式的值为2或7， 故答案为：2或7． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题目的条件得到两根的和与两根的积，代入代数式求出代数式的值． 三、解答题 【15题答案】 【答案】（1），． （2），． （3），． 【解析】 【分析】（1）两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； （2）利用十字相乘法进行因式分解后即可求解； （3）先用平方差公式进行因式分解，然后求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ，, 解得：，． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ，， 解得：，． 【16题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】根据根的判别式的值为1，求出的值，再利用求根公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）或； ∴一元二次方程化为：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根的判别式，公式法解一元二次方程．解题的关键是掌握根的判断式为． 【17题答案】 【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1． 【解析】 【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【详解】（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 【18题答案】 【答案】（1）见解析 （2）0，-2 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案. 【详解】(1)证明：∵， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得，． 【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $