29.2.1 垂直于弦的直径（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，以圆的对称性、垂径定理为核心，从基础概念辨析到综合应用再到思维拓展，构建“概念理解—技能应用—创新探究”的巩固路径，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|圆的对称性、垂径定理及推论、简单应用|含中考题、跨化学学科题，通过变式题强化定理直接应用，夯实基础| |能力提升|垂径定理与勾股定理、坐标系结合，实际问题（如卡车通道、圆盘半径）|综合解答题占比高，注重知识迁移，培养空间观念与运算能力| |思维拓展|尺规作图（过定点作弦）、弦长取值范围|融入新考法，通过开放探究题发展创新意识与逻辑推理|

29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径 01 基础达标 知识点一 圆的对称性 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 知识点二 垂径定理及其推论 2. 如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（　　） A. CE=DE B. AE=OE C. D. △OCE≌△ODE （湖北中考） 3. 如图，是直径，弦，垂足为E，若，，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【变式】 4. 如图，为的直径，与交于点E，若，，则的半径是________． 5. 如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度． 知识点三 垂径定理的应用 ［新考法·跨化学学科］ 6. 如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为， 瓶内液体的最大深度， 则截面圆中弦的长为_____________． 7. 小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm． 8. 如图所示，与坐标轴交于，两点，点的纵坐标为，求的半径． 02 能力提升 9. 如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（　　） A. 6 B. 6 C. 3 D. 3 10. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_______. 12. 如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___． 13. 如图，某小区在相邻两楼之间修建了一个上方是以为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，其中米，米，现有一辆装满家具的卡车高米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否顺利通过这个通道？请说明你的理由． 14. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 03 思维拓展 ［新考法·尺规作图］ 15. 如图，点P是内一定点． （1）过点P作弦，使点P是的中点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若的半径为13，，则过点P的弦的长度m的取值范围是 ． 29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径 01 基础达标 知识点一 圆的对称性 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，此说法正确，故A不合题意； B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合，说法正确，故B不合题意； C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确，故C不合题意； D．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 知识点二 垂径定理及其推论 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵⊙O的直径AB⊥弦CD， ∴CE=DE，，在Rt△CEO和Rt△DEO中， ∵CO=DO，OE=OE， ∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定， 故选B． 视频 （湖北中考） 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由的长根据垂径定理可知的长，利用勾股定理可将弦心距的长求出，进而可求出的长． 【详解】解：如图，连接． ∵弦于，， ． ， ． 在中，，即：， 解得：， ． 【变式】 【4题答案】 【答案】2.6 【解析】 【分析】连接，，由等腰三角形三线合一可得，再根据勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接，， ，， ，即， 设，则， 在中，， ， 解得：． 【5题答案】 【答案】48 【解析】 【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案： 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴OA=OC． ∵∠A=42°， ∴∠ACO=∠A=42°． ∵D为AC的中点， ∴OD⊥AC． ∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°． 故答案为：48． 知识点三 垂径定理的应用 ［新考法·跨化学学科］ 【6题答案】 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：16． 【7题答案】 【答案】10 【解析】 【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论． 【详解】如图， 记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D， ∴OC⊥AB，BD=AB， 由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm， ∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r， 在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2， ∴r2=36+（r﹣2）2， ∴r=10cm， 故答案为10． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 【8题答案】 【答案】的半径是 【解析】 【分析】过作于M，求出，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过作于M， 则， ，， ， ， ∵点的纵坐标为， ， 在中，由勾股定理得：， 即的半径是． 02 能力提升 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长． 【详解】解：如图所示，设OA与BC相交于D点 ∵AB=OA=OB=6， ∴△OAB是等边三角形 又根据垂径定理可得，OA平分BC， 利用勾股定理可得BD= 所以BC=2BD= 故选：A． 【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理. 解题的关键在于要利用好题中的条件圆O与圆A的半径相等，从而得出△OAB是等边三角形，为后继求解打好基础． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值． 【详解】解：， ， 在中，， 设半径为得：， 解得：， 这段弯路的半径为 故选A． 【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度． 【11题答案】 【答案】（3，2）． 【解析】 【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案． 【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP， ∵A（6，0），PD⊥OA， ∴OD=OA=3， 在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3， ∴PD=2 ∴P(3，2) . 故答案为（3，2）． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】方法一：连接OD,OD为半径是定值，在RT△OCD中，斜边为定值，则当OC最小的时，CD最大，而当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，即为所求. 方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为． 【详解】解：方法一：连接OD，即OD为定值， 又∵OC2+CD2=OD2, ∴当OC最小的时，CD最大， 当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大， CD=AB=. 方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图， ∴AH=BH=AB=， ∵CD⊥OC， ∴CD=CE， ∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA， ∴△BCD∽△ECA， ∴， ∴CD•CE=BC•AC， ∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2， ∴CD=， ∴当CH最小时，CD最大， 而C点运动到H点时，CH最小， 此时CD=，即CD的最大值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【13题答案】 【答案】卡车能通过，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，如图，卡车能否通过，关键是车高米与的比较，为米，只需求，在直角三角形中，半径为1米，车宽的一半为米，运用勾股定理求出即可． 【详解】解：卡车能通过，理由如下， 如图，设点O为半圆的圆心，则的中点为点O，为半圆的半径， 米， ，米， 在中，， 米， 米， ， 卡车能通过． 【14题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）8﹣ 【解析】 【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵AE=BE，CE=DE， ∴BE﹣DE=AE﹣CE， 即AC=BD （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD， 连接OC，OA， ∵OA=10，OC=8，OE=6， ∴. ∴AC=AE﹣CE=8﹣． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 视频 03 思维拓展 ［新考法·尺规作图］ 【15题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，连接并延长，过点作即可； （2）依据题意，过点的所有弦中，直径最长为，与垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，连接并延长，过点作，则弦即为所求； 【小问2详解】 解：过点的所有弦中，直径最长为，与垂直的弦最短， 连接， ， ． ， ∴过点的弦的长度的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $