第26章 专题六 二次函数与几何图形的综合（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 以“问题类型-方法提炼-逻辑递进”构建二次函数与几何综合训练体系，通过典例实现从基础计算到综合探究的能力提升，发展推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与线段长最值|1题|坐标参数法表示线段，二次函数顶点求最值|从函数解析式求解到几何量表达，建立代数与几何的转化| |二次函数与三角形面积最值|1题|宽高原理转化“两定一动”面积为线段最值|迁移线段最值方法，深化数形结合思想| |角度数量关系问题|1题|对称性分析+斜率分类讨论角度相等|结合函数性质与几何判定，发展逻辑推理| |存在性探究问题|1题|方程求解+几何性质验证（菱形/正方形判定）|综合运用函数、方程与几何知识，提升综合应用能力|

专题六 二次函数与几何图形的综合 类型一 二次函数与线段长最值 1. 如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； （3）在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 类型二 二次函数与三角形的面积最值 知识清单 利用宽、高原理求“两定一动”型三角形面积，示意图如图，在中，三角形的一个顶点在抛物线上（一动点），另两个顶点是定点（两定点），则可以将的面积转化为，故求面积的最大值就转化为求线段的最大值，实质就是类型之一中线段的最值问题． 2. 如图，直线分别与x，y轴交于B，C两点，点A的坐标为，抛物线过A，B，C三点，点D是线段上的一动点，过D点作一条与y轴平行的直线l，分别与线段、抛物线交于点E、P，设点，其中． （1）求点B，点C的坐标以及抛物线的解析式． （2）当t取何值时，的面积最大？最大值为多少？ 类型三 角度数量关系问题 3. 如图，已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点，对称轴是直线，连接． （1）________，________，________． （2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当时，求直线l的表达式． 类型四 存在性探究问题 4. 如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． （1）求抛物线解析式及顶点坐标． （2）设点是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求的面积S与x之间的函数关系式． （3）①当（2）中的的面积为24时，请判断是否为菱形； ②是否存在点E，使为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 专题六 二次函数与几何图形的综合 类型一 二次函数与线段长最值 【1题答案】 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）已知在直线上，可求得的值，抛物线图象上的、两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标， （3）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标，进而得到关于与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：，在直线上， ， ， ，在抛物线上， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 设动点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴当时，线段最大为 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 类型二 二次函数与三角形的面积最值 知识清单 利用宽、高原理求“两定一动”型三角形面积，示意图如图，在中，三角形的一个顶点在抛物线上（一动点），另两个顶点是定点（两定点），则可以将的面积转化为，故求面积的最大值就转化为求线段的最大值，实质就是类型之一中线段的最值问题． 【2题答案】 【答案】（1）点，点， （2）当时，最大，最大值为32 【解析】 【分析】（1）先求直线与坐标轴交点坐标，再用交点式求抛物线解析式 ； （2）用含的式子表示长度，再写出面积关于的二次函数，求其最大值． 【小问1详解】 解：∵ 直线与轴交于，令，则 ，解得， 直线与轴交于，令，则，   抛物线过、， ∴设解析式为  抛物线过，代入得，解得 抛物线解析式为 ，展开得 ． 【小问2详解】 解：，直线轴，  、横坐标为，  在抛物线上， 在直线上，   ，  面积 ， 二次函数，，开口向下，  当 时，最大． 代入得． 类型三 角度数量关系问题 【3题答案】 【答案】（1）；；2 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与轴交点求，再由对称轴公式和过点列方程求； （2）先由对称性求点坐标，再根据分直线在轴上下方两种情况，求直线斜率和表达式． 【小问1详解】 解： 抛物线与轴交于， 代入得 对称轴为 ，由对称轴公式得，即； 抛物线过 ，代入得，即 将 代入，得，解得 ， 则 ，，． 【小问2详解】 解： 抛物线对称轴为，与关于对称，  的横坐标为1 ，即 设直线与轴交于点，  ， 为等腰三角形，，， ，直线的斜率 分情况讨论直线： 当直线在轴上方时： ，直线与关于对称，直线的斜率为，过， ，即 当直线在轴下方时，直线的斜率为，过， ，即 直线的表达式为或 ． 类型四 存在性探究问题 【4题答案】 【答案】（1）解析式为  ，顶点  （2）  （3）①当面积为  时，可能是菱形 ②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据对称轴和已知点坐标列方程组，求抛物线解析式及顶点坐标； （2）利用平行四边形面积与三角形面积的关系，结合抛物线上点的坐标，推导面积函数关系式； （3）① 代入面积值求点坐标，再通过边长判断是否为菱形； ② 根据正方形的性质，假设存在点，验证坐标是否满足条件． 【小问1详解】 解：∵抛物线对称轴为，过、， 设，则，， 解得， ，  ∴ 解析式为 ， ∴顶点坐标为  【小问2详解】 解：∵在第一象限抛物线上，， 以为对角线， ，面积 ， ∴ 代入得：  【小问3详解】 解：①令 ，则  ，化简得 ，解得 或  当 时，， ， ， ∴ ， 为菱形 当时，，   ， ，  ， ∴ 不是菱形． ∴当面积为  时，可能是菱形； ②不存在，理由如下： 若为为正方形，则 且，中点为 ， 横坐标为 代入  ， ，   此时 ，  ， ， ∴ 不存在点使 为正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $