第26章 专题五 二次函数的图象与字母系数之间的关系——全国中考热点（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 以表格化知识清单系统构建二次函数系数与图象特征的对应关系，通过中考真题实现从单一系数分析到多函数综合应用的逻辑进阶，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|1表|系数符号（a,b,c,Δ）与图象特征（开口/对称轴/交点）对应法则|从单一系数到判别式再到特殊关系（x=±1函数值/对称轴位置）的递进| |类型一|5题（贵州/广西/武汉中考）|图象特征反推系数符号、特殊值代入验证、根的判别式应用|静态图象与动态系数的互推，强化符号推理与代数变形| |类型二|1题|一次函数系数特征迁移二次函数图象判断|多函数图象特征关联，培养模型观念与跨知识应用|

专题五 二次函数的图象与字母系数之间的关系 ——全国中考热点 知识清单： 二次函数的图象与字母系数a，b，c之间的关系如表所示． 字母 字母的符号 图象的特征 a 开口向上 开口向下 b （b与a同号） 对称轴在y轴左侧 （b与a异号） 对称轴在y轴右侧 c 经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有一个公共点（顶点） 与x轴有两个公共点 与x轴没有公共点 特殊关系 当时，；当时， 当时，； 当时， 若，则当时， 若，则当时， 当对称轴为直线时，；当对称轴为直线时，；判断大于或小于0，看对称轴与直线的位置关系；判断大于或小于0，看对称轴与直线的位置关系 类型一 二次函数图象与系数的关系 （贵州中考） 1. 已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 2. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 3. 如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中： ①；②；③有两个相等的实数根；④.其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ （广西中考） 4. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的结论个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （武汉中考改编） 5. 已知二次函数（a为常数，且）．下列4个结论：①该函数图象经过点；②若，则当时，y随x的增大而减小；③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；④若，则关于x的方程有一个根大于0且小于1．其中正确的是________（填写序号）． 类型二 两函数图象共存 6. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 专题五 二次函数的图象与字母系数之间的关系 ——全国中考热点 知识清单： 二次函数的图象与字母系数a，b，c之间的关系如表所示． 字母 字母的符号 图象的特征 a 开口向上 开口向下 b （b与a同号） 对称轴在y轴左侧 （b与a异号） 对称轴在y轴右侧 c 经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有一个公共点（顶点） 与x轴有两个公共点 与x轴没有公共点 特殊关系 当时，；当时， 当时，； 当时， 若，则当时， 若，则当时， 当对称轴为直线时，；当对称轴为直线时，；判断大于或小于0，看对称轴与直线的位置关系；判断大于或小于0，看对称轴与直线的位置关系 类型一 二次函数图象与系数的关系 （贵州中考） 【1题答案】 【答案】三 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质判断及c的符号，从而得出点P 所在象限． 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴ ， ∵对称轴在y轴右边， ∴a，b异号即b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴ ， ∴ ＜0， ∴点P（ab，c）在第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是掌握开口方向、对称轴、y轴的交点与系数的关系． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；时，，可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A正确，该选项不符合题意； ∵有图可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 故选项B正确，该选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴， 故选项C错误，该选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根， 故选项D正确，该选项不符合题意；． 故选：C． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】①∵抛物线开口向上，且与y轴交点为(0,-1) ∴a＞0，c＜0 ∵对称轴＞0 ∴b＜0 ∴ ∴①正确； ②对称轴为x=t,1＜t＜2，抛物线与x轴的交点为x1,x2. 其中x1为（m,0）, x2.为(n,0) 由图可知2＜m＜3，可知n>-1， 则当x=-1时，y＞0， 则 则②错误； ③由图可知c=-1 △=b2—4a(c+1)=b2,且b≠0 ∴③错误 ④由图可知，对称轴x= 且1＜＜2 ∴ 故④正确； 故选D. 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键. （广西中考） 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】抛物线开口向上，则a＞0，故①正确； 由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ=b2-4ac＜0，故②错误； 由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x=1时，y=a+b+c=1，当x=3时，ax2+bx+c=9a+3b+c=3，则8a+2b=2，即b=1-4a，4a+b=1，故③正确； 点（1，1），（3，3）在直线y=x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y=x的下方，则ax2+（b-1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故④正确； 故答案为：C． 【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． （武汉中考改编） 【5题答案】 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键，分别代入验证结论①，根据开口方向和对称轴判断结论②，根据根的判别式判断结论③，利用根与系数的关系判断结论④即可． 【详解】解： 当时， 该函数图象经过点，故①正确； 当时， 抛物线开口向下，对称轴为直线 当时，随的增大而减小， 又∵ 当时，随的增大而减小，故②正确； 对于一元二次方程， 判别式 函数图象与轴有个或个公共点，故③错误； 当时，由①可知是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得 ，解得 ，即方程有一个根大于且小于，故④正确． 类型二 两函数图象共存 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可． 【详解】解：观察一次函数图像可知， ∴二次函数开口向下， 对称轴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $