26.3 二次函数与一元二次方程（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 初中数学26.3二次函数与一元二次方程同步练，新授课适用。以“基础达标+能力提升”分层设计，覆盖核心知识点与易错点，通过基础巩固到综合应用的递进路径，培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|二次函数与x轴交点、根的判别式、不等式、近似根4个知识点及2个易错点|选择/填空题为主，如交点坐标与方程根关系题，强化概念理解；易错点专项题（如混淆坐标轴交点）培养严谨思维| |能力提升|综合图像分析、方程根的个数判断、探究性问题|中考真题（如二次函数图像性质判断）与解答题（如函数图像绘制及性质探究），发展几何直观与创新意识，衔接阶段测评|

26.3 二次函数与一元二次方程 01 基础达标 知识点一 二次函数的图象和x轴的交点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系 1. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 2. 已知二次函数的图象与x轴两交点为，，则的值为________． 知识点二 二次函数的图象与x轴交点个数与对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系 3. 抛物线与x轴的交点个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 4. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 若二次函数的图象全部在x轴下方，则m的取值范围为______． 知识点三 二次函数与不等式 6. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________． 知识点四 利用二次函数求一元二次方程的根的近似值 7. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 易错点1 混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点” 8. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 易错点2 忽视函数是一次函数的情况 9. 若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　） A. ﹣2或3 B. ﹣2或﹣3 C. 1或﹣2或3 D. 1或﹣2或﹣3 02 能力提升 （广东中考） 10. 二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时， C. D. 11. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 不能确定 12. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 13. 已知二次函数． （1）求证：无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点； （2）如果该函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数图象的对称轴和顶点坐标． 14. 阅读与思考： 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … 其中，___________． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． ①___________ ②___________ （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有___________个交点，所以对应的方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根时的取值范围是___________． 26.3 二次函数与一元二次方程 01 基础达标 知识点一 二次函数的图象和x轴的交点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系 【1题答案】 【答案】 【解析】 【分析】函数的对称轴为：，则另外一个交点在：，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标为， ∴方程另一个解． 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到，，代入变形后的代数式计算即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴两交点为，， ，是方程的两个根， ，， ． 知识点二 二次函数的图象与x轴交点个数与对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，将问题转化为判断一元二次方程根的个数，通过计算根的判别式的值即可得到结果，掌握二次函数与轴交点个数和判别式的关系是解题的关键. 【详解】解：当时，得到一元二次方程 . ∵ , ∴ 方程有两个不相等的实数根， 即抛物线 与轴有个交点. 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的解析式化为顶点式，由顶点在轴下方，可得顶点纵坐标小于0，即可求出答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质. 知识点三 二次函数与不等式 【6题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的应用，能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键． 由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线， 与轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，，则与轴另一个交点是， ∴的解集为或， 故答案为：或． 知识点四 利用二次函数求一元二次方程的根的近似值 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 易错点1 混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点” 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 【详解】当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与坐标轴有2个交点． 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 易错点2 忽视函数是一次函数的情况 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答． 【详解】解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点， 当m≠1时，函数为二次函数， ∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点， ∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0， 解得，m＝﹣2或3， 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 02 能力提升 （广东中考） 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项C；令x=1,判断选项D,即可解答． 【详解】解：A、对称轴为：直线 ，故选项A正确，不符合题意； B、由函数图象知，当-1<x<2时，函数图象在x轴的下方， ∴当-1<x<2时，y<0，故选项B正确，不符合题意； C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0， ∴a +c=b，故选项C正确，不符合题意； D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0 ∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系． 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2-mx-5的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2-mx-5与x轴交点的个数；根据△与0的关系即可作出判断． 【详解】解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点， 二次函数y＝x2﹣mx﹣5， △＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣5）＝m2+20， ∵m2一定为非负数， ∴m2+20＞0， ∴二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数，对于任意二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【12题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 【13题答案】 【答案】（1）见解析 （2）对称轴为，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值得到＝（k−1）2≥0，然后根据判别式的意义可判断此二次函数的图象与x轴总有交点； （2）由可得的值，进而将二次函数化为顶点式即可求解． 【小问1详解】 证明：令y＝0，则kx2＋（k＋1）x＋1＝0 ∵a＝k，b＝k＋1，c＝1 ∴＝k2−2k＋1 ＝（k−1）2， ∵（k−1）2≥0，即≥0， ∴此二次函数的图象与x轴总有交点； 【小问2详解】 该函数的图象与x轴只有一个交点， =0 即（k−1）2=0 解得 二次函数 该函数图象的对称轴为：，顶点坐标为 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数． 【14题答案】 【答案】（1）0 （2）见解析 （3）①函数关于轴对称；②函数值取最小值时，有两个对应的值 （4）①3，3；②2；③ 【解析】 【分析】本题考查复杂函数的图像与性质，函数交点与方程的关系，掌握函数交点个数即为对应方程实数根的个数是解题的关键． （1）将代入，求出的值即可； （2）根据已给出的点坐标画图即可； （3）观察函数图像，描述正确即可； （4）观察函数图像，明确函数图像交点个数与对应方程实数解个数一致，即可判断出所求的实数根情况． 【小问1详解】 解：将代入， 解得， 即的值为0， 故答案为：． 【小问2详解】 按照表中信息，进行绘图，函数图形如下图： 【小问3详解】 解：观察函数图像可得出：①函数关于轴对称； ②函数值取最小值时，有两个对应的值． 【小问4详解】 解：①观察图像，可知当、、时，， 故函数图像与轴有个交点；即对应的方程有三个实数根， 则答案为：3，3． ②观察函数图像， 直线与函数有个交点， 故方程 有个实数根， 故答案为：2． ③观察函数图像，可知当时， 直线与函数有个交点，即方程有4个实数根， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $