第26章 二次函数--二次函数与方程、不等式综合 重点题型归纳练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章 二次函数--二次函数与方程、不等式综合 重点题型归纳练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、由函数图像求一元二次方程根 1．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（    ） A．或0 B．或 C．3或 D．或1 2．已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 二、图像法解一元二次不等式 4．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 5．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 6．已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 7．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图像，当时，直接写出的取值范围． (3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 三、直线与抛物线交点个数判断 8．抛物线与轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．有且只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法确定 9．如果关于的不等式组至少有四个整数解；且y关于t的二次函数的图像与横轴有交点，则符合条件的所有整数的个数为______个． 10．已知y关于x的二次函数． (1)判断该二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由； (2)若该二次函数的图象经过点和，当时，求y的取值范围． 11．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 四、由交点个数求参数取值或取值范围 12．当时，函数与的图象有且只有一个交点，其中为常数．则的取值为（    ） A．或 B． C． D． 13．若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是______． 14．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行于对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点，求的取值． 15．如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图像写出关于的不等式的解集； (3)已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 五、含参不等式综合判断 16．已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 17．已知二次函数（为常数且），下列五个结论： ①该函数图象过； ②当时，该函数与轴有两个不同的交点； ③若，且当时，随的增大而增大，则的取值范围为； ④若，且该二次函数与轴负半轴交于，则； ⑤若，则关于的方程的正根只有一个． 其中正确的有_____． 18．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 4 8 12 16 答案 D C C A D 1．D 根据二次函数的性质和图象中的数据，可以得到函数的对称轴为直线，进而得到该函数与x轴的两个交点的坐标，从而可以写出一元二次方程的解． 解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， 由图象可知：二次函数与x轴的一个交点为， ∴该函数与x轴的另一个交点为， ∴当时，对应的x的值为或1， 故选：D． 2．， 本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与轴的交点关于对称轴对称，求出另一交点的坐标，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 解：抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点的坐标为， 关于的方程的两个根为和． 故答案为：，． 3．(1) 二次函数和一次函数的图象如下图所示， (2) 本题考查二次函数和一次函数图象即性质， （1）根据二次函数和一次函数的解析式画图即可； （2）找出两个图象的交点即可得到答案． （1）解：， ∴二次函数的对称轴为：，顶点为， 当时，，， ∴二次函数过点，，， 一次函数过点，， （2）解：的解为两个图像的交点，即，， ∴． 4．C 令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 5．或 先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 6．(1) (2)；或 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． （1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 7．(1) (2)或 (3) （1）根据函数图像上点的坐标特征及二次函数对称轴的定义可得关于、的方程组，求解即可； （2）先确定当时的值，再结合函数图像写出抛物线在直线下方所对应的的范围即可； （3）根据（1）所得的二次函数的表达式，利用五点作图法直接画出图像即可． （1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴，即， 联立：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知：二次函数的表达式为， 当时，得：， 解得：或， 由（3）的图像可知：当或时，抛物线在直线的下方， ∴当时，的取值范围是或； （3）解：列表如下： 在直角坐标系中描点、连线即可． 8．C 本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据的取值情况来进行判断． 解：∵， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， 故选：C． 9．5 本题主要考查一元一次不等式组的解，二次函数图像与x轴的交点问题，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键．先解不等式组，得到，根据不等式组至少有四个整数解，得出，根据y关于t的二次函数的图像与横轴有交点，得出且，从而得出符合条件的所有整数的值为，，1，2，3，即可得出答案． 解：解不等式组，得：， 不等式组至少有四个整数解， ， 解得：， ∵y关于t的二次函数的图像与横轴有交点， ∴有实数解， ∴，且， 解得：且， ∴且， 符合条件的所有整数的值为，，1，2，3， 符合条件的所有整数的个数为5个． 故答案为：5． 10．(1)二次函数的图象与x轴有2个交点，理由如下： ∵ ， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点； (2) 本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程根的判别式和数形结合思想是解答本题的关键． （1）计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义确定该函数的图象与x轴的交点的个数； （2）根据对称性求出m的值，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）解：略； （2）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象开口向下， ∴当时，y有最大值为1， ∵， ∴当时，y有最小值为， ∴当时，y的取值范围为． 11．(1) (2) 证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． （1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）略 12．A 本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 利用直线与（，n为常数）的图象有且只有一个交点，有根的判别式求出c的值，即可求出直线的解析式； 将代入， 整理得：， 当时，函数与的图象有且只有一个交点， 有一个实数根， 即， 解得：， 把代入与中得，， 把代入与中得，， 当或时，函数与的图象有且只有一个交点， 故选：A． 13．或 此题考查了函数图象与轴只有一个公共点，熟练掌握二次函数根的判别式为，分类讨论是解题关键． 分和两种情况解答，当时，是一次函数；当时，，解方程即可． 解：关于的函数的图象与x轴仅有一个公共点， ∴当时， ， 解得， 当时，是一次函数，图象与轴只有一个公共点， 故答案为：或． 14．(1) (2) 本题考查了抛物线的表达式求解及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求抛物线解析式，以及联立方程利用判别式判断交点个数． （1）将点、代入抛物线方程，解方程组得、的值； （2）联立直线与抛物线方程，整理为一元二次方程，由判别式求的值． （1）解：将，代入， 得， 解得，， 故抛物线表达式为． （2）解：联立， 得， 因直线与抛物线只有一个交点， 故， 整理得， 解得． 15．(1)， (2)或 (3) 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． （1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，， ∴二次函数开口向上， ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 16．D 先计算点M的纵坐标，可知当时，．再分a的正负讨论，结合抛物线的图像性质，推导出满足条件的a的取值范围． 解：∵，代入得：，由题意可得对于，，都有，此时当时，． ∵抛物线的对称轴为直线， 当 时，抛物线开口向下，对称轴 当时，随着的增大而减小，故最小值在处，此时， ∵， ∴， ∴，不满足条件； 当时，抛物线开口向上，对称轴 当时，随着的增大而增大，故最小值在处，此时， ∵， ∴要使，则有， 解得， ∴． 综上所述，． 17．②④⑤ 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①不正确； 当时，， ，该函数与轴有两个不同的交点，故②正确； 若， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴ 解得，故③不正确 若，且该二次函数与轴负半轴交于， ∴抛物线的开口向上， 时，， 当时，， ∴，故④正确； ∵， ∴当时，， ∵ ∴开口向上，对称轴，在轴的左侧， 与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， ∴有一个正根， 当时，与直线有两个交点，一个在轴上，一个在第三象限， 综上所述，，则关于的方程的正根只有一个．故⑤正确； 故答案为：②④⑤． 18．(1)， (2) 或 （1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． （1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 19．(1) ， (2) 的取值范围是且． （）先将点横坐标代入抛物线解析式，化简求出用表示的式子；再把含的点坐标代入直线解析式，通过移项、整理等式，推导出与的关系式； （），先分别把横坐标代入抛物线、直线解析式，得到；根据时列出不等式并整理因式分解；结合时的条件，将问题转化为在此区间恒成立，再分和两种情况讨论，利用一次函数单调性求出的取值范围，最后综合得到的取值范围． （1）解：∵点在抛物线上， ∴ ， ∵点在直线上， 再将代入直线方程， ∴， 整理得； （2）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线解析式为， ∵是抛物线上的点， ∴， ∵是直线上的点， ∴， ∵， ∴， 整理得， 当时，，要使，则必须恒成立， 即， 分两种情况讨论： 当时：， ∴，不等式恒成立，满足条件， 当时：是关于的一次函数，函数随增大而减小， 当时，最大， 即， 解得， ∴， 综上，的取值范围是且． 学科网（北京）股份有限公司 $