26.2.3 专题二 二次函数的自变量取值范围内的增减性与最值（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 以“对称轴与自变量范围位置关系”为核心，构建“知识清单-解题技巧-分层训练”三阶体系，系统提炼二次函数增减性与最值的判定方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|3种情况归纳|“三步判定法”：定开口方向→找对称轴→判范围位置|从二次函数基本性质（开口、对称轴）到范围与对称轴位置关系，构建“性质-关系-应用”逻辑链| |解题应用|7题（含参数/比较大小等）|端点距离比较法、数形结合法|通过基础辨析（第1题）、参数讨论（第3题）、综合应用（第7题），实现从概念到复杂问题的能力迁移|

专题二 二次函数在自变量取值范围内的 增减性与最值 知识清单 1．当自变量在特定取值范围内时，二次函数有最小值或最大值． 2．最值的取得和确定可分为三种情况（当时）． （1）自变量取值范围在对称轴左边时，则在离对称轴近的端点（右端点）处取得最小值（或最大值）． （2）自变量取值范围在对称轴两边时，则在顶点处取得最小值（或最大值）． （3）自变量取值范围在对称轴右边时，则在离对称轴近的端点（左端点）处取得最小值（或最大值）． 归纳：最值的取得与“自变量取值范围”和“对称轴”的相对位置有关． 解题技巧 求最值时先确定开口方向与对称轴的位置，再根据图象确定增减性，求出最值． 1. 已知二次函数． （1）若，y随x的增大而________；当________时，y有最小值为________；当________时，y有最大值为________． （2）若，y随x的增大而________；当________时，y有最小值为________；当________时，y有最大值为________． （3）若，当________时，y有最小值为________；当________时，y有最大值为________． 2. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 3. 二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x<时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是_____． 4. 已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 (　　) A. a＞1 B. －1＜a≤1 C. a＞0 D. －1＜a＜2 6. 二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知函数在上的最大值是1，最小值是，求m的取值范围． 专题二 二次函数在自变量取值范围内的 增减性与最值 知识清单 1．当自变量在特定取值范围内时，二次函数有最小值或最大值． 2．最值的取得和确定可分为三种情况（当时）． （1）自变量取值范围在对称轴左边时，则在离对称轴近的端点（右端点）处取得最小值（或最大值）． （2）自变量取值范围在对称轴两边时，则在顶点处取得最小值（或最大值）． （3）自变量取值范围在对称轴右边时，则在离对称轴近的端点（左端点）处取得最小值（或最大值）． 归纳：最值的取得与“自变量取值范围”和“对称轴”的相对位置有关． 解题技巧 求最值时先确定开口方向与对称轴的位置，再根据图象确定增减性，求出最值． 【1题答案】 【答案】 ①. 减小 ②. 0 ③. 2 ④. -1 ⑤. 5 ⑥. 增大 ⑦. 2 ⑧. 2 ⑨. 3 ⑩. 5 ⑪. 1 ⑫. 1 ⑬. 3 ⑭. 5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，先将二次函数配方，确定开口方向、对称轴和顶点，再根据的取值范围与对称轴的位置关系，判断增减性，进而求解各范围内的最值． 【详解】解：已知 ∵ ∴ 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 性质：当时，随的增大而减小；当时， 随的增大而增大． （1）∵范围在对称轴的左侧， ∴随的增大而减小 ∴ 当取最大值时， 有最小值为2； 当取最小值时， 有最大值为5； 故答案为：① 减小； ② ； ③ ； ④ ； ⑤． （2）∵范围在对称轴的右侧， ∴随的增大而增大 ∴当取最小值时，有最小值为； 当取最大值时，有最大值为； 故答案为：⑥增大；⑦ ；⑧；⑨；⑩ ． （3）∵对称轴在范围之内，且抛物线开口向上， ∴当 时， 有最小值为； ∵离对称轴越远函数值越大，比较端点距离： ，，因为，所以离对称轴更远， ∴当时，有最大值为． 故答案为：⑪ ；⑫ ；⑬；⑭． 【2题答案】 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【3题答案】 【答案】0＜m≤3． 【解析】 【分析】根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案． 【详解】∵当x时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线开口向上，m＞0，且对称轴≥，解得：m≤3． 故答案为0＜m≤3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且≥是解题的关键． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 视频 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：由题可知，二次函数开口向下，对称轴为 ，所以在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，那么 ，又 ，所以取值范围是 . 故本题应选B. 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的区间最值，掌握二次函数的图像性质和利用顶点、对称点分析区间最值的方法是解题的关键． 先将函数配方，得到对称轴和顶点，解方程求函数值为的点，结合最值条件，确定区间需包含对称轴且不超出函数值为的左端点，进而确定的范围． 【详解】解：，对称轴为​，顶点为，开口向上； 令，解得或； 最小值为​，说明必须包含对称轴，故； 最大值为，右端点已满足，需保证区间内无大于的函数值，故； 综上，的取值范围为​． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $