26.2.3 第2课时 求二次函数的解析式（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 本练习通过基础达标、能力提升、思维拓展三层设计，以“单一知识点应用→综合技能迁移→实际情境创新”为主线，系统巩固二次函数解析式求法，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|一般式、顶点式/交点式及易错点|聚焦单一知识点直接应用，如用待定系数法求经过三点的解析式| |能力提升|平移、对称、几何图形结合|综合应用与新考法，如正方形顶点在抛物线上求解析式| |思维拓展|动态几何与二次函数|实际情境问题解决，如动点运动中正方形面积的二次函数关系|

第2课时 求二次函数的解析式 01 基础达标 知识点一 设一般式 1. 已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A. y=-6x2+3x+4 B. y=-2x2+3x-4 C. y=x2+2x-4 D. y=2x2+3x-4 2. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数（a，b是常数，）中的x，y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y m 1 1 （1）根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为_______________． （2）________，________，________． 知识点二 设顶点式或者交点式 4. 二次函数的图象如图所示，则其解析式为_________． 5. 已知二次函数（），当时，；当时，，则函数的解析式为________． 6. 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2， 图象与x轴的一个交点是，求这个二次函数的解析式. 易错点 未分类讨论 7. 已知抛物线过和两点，与轴交于点，且，则抛物线的解析式________． 02 能力提升 8. 如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点(－3，0)，则该二次函数的解析式为____________． 11. 已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）若将该抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式． [新考法·推理与运算] 12. 已知点和在二次函数（a，b是常数，）的图象上． （1）当时，求a和b的值． （2）若二次函数的图象经过点，且点A不在坐标轴上，当时，求n的取值范围． 03 思维拓展 13. 在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S． （1）如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，________； ②S关于t的函数解析式为_______________． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 第2课时 求二次函数的解析式 01 基础达标 知识点一 设一般式 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 【详解】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c， 把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入， 得：解得 所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4． 故选D 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法，重难点在于利用图象与坐标轴的交点坐标，通过待定系数法确定二次函数的表达式． 【详解】解：由图象可知，二次函数过点， 设二次函数表达式为， 将点代入可得 解得 ∴二次函数解析式为 整理可得． 【3题答案】 【答案】（1）上； （2）1；；5 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性，由值相等的两点横坐标计算对称轴，再根据的变化趋势判断开口方向； （2）利用待定系数法，将已知点坐标代入二次函数解析式，解方程组得到，的值，再将代入解析式计算的值． 【小问1详解】 解：由表格可知，点与点是二次函数图象上关于对称轴对称的点， 根据二次函数的对称性，对称轴为直线， 由表格可得，当时，随的增大而增大，因此抛物线开口向上． 【小问2详解】 解：将点与点代入得 整理得 解得 因此二次函数解析式为 当时，． 知识点二 设顶点式或者交点式 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的顶点式设出函数表达式，再代入图象上的点求出表达式中的参数，进而得二次函数解析式． 【详解】解：由图象可设二次函数表达式为， 将点和代入可得 ， 解得 ∴二次函数解析式为． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题已知二次函数图象上两个点的坐标，将两点坐标代入函数解析式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到函数解析式． 【详解】解：将和分别代入（），得 ， 整理得， 解得： ∴函数解析式为． 【6题答案】 【答案】 【解析】 【详解】解：设所求二次函数的解析式为 ∵图象的对称轴是，且函数有最大值为2 ∴ ∵图象与x轴的一个交点是 ∴ ∴ ∴所求二次函数的解析式为 易错点 未分类讨论 【7题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】首先由抛物线经过点B（3，0），与y轴交于点C，且BC=3，求出C点的坐标，然后设其解析式为交点式用待定系数法求得二次函数的解析式． 【详解】∵抛物线与y轴交于点C,B(3,0),且BC=3， C(0,3),或C(0,−3). 抛物线过A(−1,0)和B(3,0)两点 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3). 当C(0,3)时， 3=a×(0+1)(0−3)， a=−1. 故抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)； 当C(0,−3)时， −3=a×(0+1)(0−3)， a=1. 故抛物线的解析式为y=(x+1)(x−3) 所以抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)或y=(x+1)(x−3). 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求二次函数解析式. 02 能力提升 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，求出，，再利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：连接交于，如图所示： ∵正方形的边长为1， ∴，，，，B、C两点关于对称， ∴， ∴，， ∵ A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，B、C两点关于对称， ∴为抛物线顶点， ∴设抛物线表达式为， 把代入可得， 解得， ∴抛物线表达式为， 故选：B． 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：; 由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：. 故选：A． 【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数． 【10题答案】 【答案】y＝－4x2－16x－12 【解析】 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x==﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为(﹣2,4)， 又∵抛物线过点(﹣3,0)， ∴， 解得：a=﹣4，c=﹣12， 则抛物线的解析式为y＝－4x2－16x－12 故答案为y＝－4x2－16x－12 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，解此题的关键在于先根据顶点坐标与函数系数的关系，求得顶点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可． 【11题答案】 【答案】（1） （2）向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度， 【解析】 【分析】（1）已知抛物线的对称轴和两点坐标，可设顶点式，代入坐标求解即可； （2）先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移后的目标顶点计算平移方向和距离，得表达式即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的顶点式为， 代入点得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为， 要使顶点恰好落在原点，需要将顶点向右平移个单位，再向下平移个单位即可， 平移后的抛物线解析式为． [新考法·推理与运算] 【12题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】熟练掌握运用待定系数求二次函数解析式和二次函数的图像特征是本题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案； （2）先求出对称轴为，再根据图象经过点且点A不在坐标轴上，得到即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，图象经过点， ∴，解得． 【小问2详解】 解：∵函数图象过点和， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵函数图象过点和， ∴根据函数图象的对称性可得， ∵， ∴． 03 思维拓展 【13题答案】 【答案】（1）①3；② （2）的长为6，抛物线的解析式为（） 【解析】 【分析】（1）当点在上运动时，利用勾股定理表示出，进而得到正方形面积与时间的函数关系； （2）当点在上运动时，是关于的二次函数，需结合图象中的关键点（起点、顶点、终点）利用待定系数法求解析式，最后通过函数值求出运动时间，结合速度求出线段的长． 【小问1详解】 解：①当时，点在上，此时， 在中，由勾股定理可得， ∵正方形的面积 ∴； ②当点由点运动到点时，， 在中，由勾股定理可得， ∵正方形的面积， ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：设，将点代入， 得，解得， ∴， 令，则 解得， ∴当点由点运动到点时，关于的函数解析式为， ∴，即线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $