26.2.2 第3课时 二次函数 y=a(x−h)²+k 的图象和性质（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 分层递进设计，覆盖二次函数平移与性质，从基础概念到综合应用，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|二次函数平移、顶点式性质|含中考题变式，聚焦易错点（顶点坐标辨析）| |能力提升|跨知识综合（与一次函数结合）、实际应用|课本改编题（火箭高度问题），强化动态分析| |思维拓展|几何与代数综合（等腰三角形存在性）|复杂情境探究，提升创新意识与模型观念|

第3课时 二次函数的图象和性质 01 基础达标 知识点一 二次函数与之间的平移 1. 将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　） A. y=（x+2）2﹣5 B. y=（x+2）2+5 C. y=（x﹣2）2﹣5 D. y=（x﹣2）2+5 【变式】 （牡丹江中考） 2. 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 知识点二 二次函数的图象和性质 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. （浙江中考） 4. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ） A. y的最小值为1 B. 图象顶点坐标为，对称轴为直线 C. 抛物线与y轴交于点 D. 它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 5. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点A的坐标为 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴为直线 6. 抛物线的开口向________，对称轴是直线________，当x________时，y随x的增大而减小，当x________时，函数y有最________值，为________． 7. 已知抛物线经过点． （1）求a的值． （2）若点，（）都在抛物线上，试比较与的大小． 易错点 将顶点式的顶点坐标弄错 8. 抛物线的顶点坐标是________． 02 能力提升 9. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 10. 二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（   ） A. 1     B. －1   C. 2    D. －2 11. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为__________． 13. 当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_______． [课本改编题] 14. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数表达式． （1）求火箭模型升空的最大高度． （2）求点火后，第几秒火箭模型升空的高度为． （3）求火箭模型发射塔的高度． 15. 已知二次函数的顶点为． （1）求二次函数的解析式及图象与x轴交于A、B两点的坐标； （2）将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式． 03 思维拓展 16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E，交抛物线于点． （1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标． （2）D是直线l上的点且在第一象限内，若是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标． 第3课时 二次函数的图象和性质 01 基础达标 知识点一 二次函数与之间的平移 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0）， 先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键． 【变式】 （牡丹江中考） 【2题答案】 【答案】2或4##4或2 【解析】 【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为， 令，则， 解得，， ∴抛物线与的交点坐标为和， ∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点． 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 知识点二 二次函数的图象和性质 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点，理解二次函数的顶点式是解题关键． 题目中已给顶点式，直接读取即可． 【详解】由题可知，顶点坐标为： 故选：B． （浙江中考） 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，图象平移规律，以及抛物线与坐标轴交点的求法，根据顶点式判断最值，顶点坐标，对称轴，结合平移规律判断选项，计算抛物线与轴交点验证即可得到错误选项. 【详解】解：∵二次函数解析式为 ，二次项系数 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ∴抛物线开口向上， 的最小值为 ，故选项A，B说法正确，不符合题意； 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”， 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到解析式为 ，故选项D说法正确，不符合题意； 求抛物线与 轴交点，令 ，代入得 ， ∴抛物线与 轴交于点 ，不是 ，故选项C说法错误，符合题意. 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断． 【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误； ∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确 ∵ ∴A点坐标为（-3，0），故B错误； 由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误； 故选D． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点． 【6题答案】 【答案】 ①. 下 ②. ③. ④. ⑤. 大 ⑥. 3 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质即可解答本题. 【详解】解：∵抛物线是顶点式，其中，，. 又∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线. 抛物线开口向下时，在对称轴右侧，随的增大而减小， 因此当时，随的增大而减小. 当时，函数有最大值，最大值为. 【7题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧，随增大而减小，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点 ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，随增大而减小， ∵点，（）都在抛物线上， ∴． 易错点 将顶点式的顶点坐标弄错 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，先将已知抛物线解析式整理为顶点式的标准形式，再根据顶点式的性质确定顶点坐标. 【详解】二次函数的顶点式为，其顶点坐标为. 对原解析式变形： 对比顶点式可得，， 因此抛物线的顶点坐标为. 02 能力提升 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0． ∴＜0， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限． 故选C． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y＝a(x－4)2－4(a≠0)可求出a=1. 故选A 视频 【11题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选：． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题要比较，，的大小，由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而减小，便可得出，，的大小关系． 【详解】解：抛物线， 对称轴为， ， 点关于的对称点， ， 在的右边随的增大而减小， ，，，， ， 故答案选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，解题的关键是熟记二次函数的性质：时，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大；时，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】直线与抛物线有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算． 【详解】解:法一：与抛物线有交点 则有，整理得 解得 ，对称轴 法二：由题意可知， ∵抛物线的 顶点为，而 ∴抛物线y的取值为 ，则直线y与x轴平行， ∴要使直线与抛物线有交点， ∴抛物线y的取值为，即为a的取值范围， ∴ 故答案为 【点睛】考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算． [课本改编题] 【14题答案】 【答案】（1） （2）第和 （3）2m 【解析】 【分析】（1）根据顶点式，可直接得到火箭模型升空的最大高度； （2）将，代入，解方程，即可求解； （3）令，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数表达式． ∵， ∴当时，取得最大值为， 即火箭模型升空的最大高度为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， 即点火后，第和火箭模型升空的高度为； 【小问3详解】 解：当时，， 即火箭模型发射塔的高度为． 【15题答案】 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的图象与x轴的交点坐标，轴对称变换，熟练掌握二次函数解析式的顶点式为解题的关键． （1）直接利用顶点坐标得出二次函数解析式，进而可求出图象轴坐标； （2）利用轴对称点的坐标性质得出新的抛物线的顶点坐标，进而得出新的抛物线解析式． 【小问1详解】 二次函数的顶点为， 二次函数的解析式为：， 当，则， 解得， A、B两点的坐标为：； 【小问2详解】 由题可知，新的抛物线顶点坐标为，， 新的抛物线的解析式为：． 03 思维拓展 【16题答案】 【答案】（1）点A，B的坐标分别为， （2）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的解析式，再令可得点，的坐标； （2）设点坐标为，分两种情况：①当时，②当时，根据两点的距离公式列方程可得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴l交x轴于点E，交抛物线于点． ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 令，， 解得：，， ∴点A，B的坐标分别为，． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为：， 设点坐标为， ①当时，如图， 由题意得：， 解得：， 点坐标为； ②当时，如图2， 由题意得：， 解得：， 点在第一象限， ， 点坐标为， 综上所述，点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $